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8. (★)如图,△ABP是由△ACD顺时针方向旋转某一角度得到的,若∠BAP = 60°,∠CAP=30°,则在这旋转过程中,旋转中心和旋转角的度数分别为 【 】
A.$P,30°$
B.$A,30°$
C.$P,90°$
D.$A,90°$
(第8题) (第9题)
A.$P,30°$
B.$A,30°$
C.$P,90°$
D.$A,90°$
(第8题) (第9题)
答案
D
解析
【分析】首先回忆旋转的核心概念：旋转中心是旋转过程中保持固定不动的点，旋转角是旋转前后对应点与旋转中心连线的夹角，也等于对应边的夹角。首先观察两个三角形，△ABP由△ACD旋转得到，二者有公共顶点A，因此A是旋转中心；接下来找对应边的夹角计算旋转角即可。
【解析】
1. 确定旋转中心：旋转前后两个三角形的公共顶点为A，旋转过程中点A位置不变，因此旋转中心是点A，可排除选项A、C。
2. 计算旋转角：旋转前后对应边的夹角为旋转角，△ACD的边AC旋转后对应△ABP的边AB，因此旋转角为∠BAC。已知∠BAP=60°，∠CAP=30°，可得∠BAC=∠BAP+∠CAP=60°+30°=90°，即旋转角为90°。
综上旋转中心为A，旋转角为90°。
【答案】D
【知识点】旋转的概念；旋转的性质
【点评】本题是旋转的基础考查题，解题关键是准确识别旋转中心和对应边的夹角，熟练掌握旋转的基本性质就能快速得出答案。
【难度系数】0.85
【解析】
1. 确定旋转中心：旋转前后两个三角形的公共顶点为A，旋转过程中点A位置不变，因此旋转中心是点A，可排除选项A、C。
2. 计算旋转角：旋转前后对应边的夹角为旋转角，△ACD的边AC旋转后对应△ABP的边AB，因此旋转角为∠BAC。已知∠BAP=60°，∠CAP=30°，可得∠BAC=∠BAP+∠CAP=60°+30°=90°，即旋转角为90°。
综上旋转中心为A，旋转角为90°。
【答案】D
【知识点】旋转的概念；旋转的性质
【点评】本题是旋转的基础考查题，解题关键是准确识别旋转中心和对应边的夹角，熟练掌握旋转的基本性质就能快速得出答案。
【难度系数】0.85
9. (★★)如图,在 Rt△DBE 中,∠DBE=90°,∠E=40°,将△DBE 绕点 B 逆时针旋转得到△ABC,若 AB//DE,则旋转角的度数为
【】
A.80°
B.60°
C.50°
D.40°
【】
A.80°
B.60°
C.50°
D.40°
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要明确旋转角的定义：旋转前后对应点与旋转中心连线的夹角即为旋转角，本题中BD旋转后对应边为BA，因此旋转角为∠ABD。第一步先利用直角三角形两锐角互余求出∠D的度数，第二步根据AB平行DE的条件，利用平行线内错角相等的性质求出∠ABD的度数，即可得到旋转角的大小。
【解析】
在Rt△DBE中，∠DBE=90°，∠E=40°，
∴∠D=90°-∠E=90°-40°=50°，
∵AB//DE，
∴∠ABD=∠D=50°（两直线平行，内错角相等），
∵△DBE绕点B逆时针旋转得到△ABC，边BD旋转后对应边为BA，
∴旋转角的度数即为∠ABD的度数，为50°。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；平行线的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何题，解题的核心是准确找到旋转角，再结合直角三角形的内角性质和平行线的角度关系转化计算即可，主要考查学生对基础几何性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确旋转角的定义：旋转前后对应点与旋转中心连线的夹角即为旋转角，本题中BD旋转后对应边为BA，因此旋转角为∠ABD。第一步先利用直角三角形两锐角互余求出∠D的度数，第二步根据AB平行DE的条件，利用平行线内错角相等的性质求出∠ABD的度数，即可得到旋转角的大小。
【解析】
在Rt△DBE中，∠DBE=90°，∠E=40°，
∴∠D=90°-∠E=90°-40°=50°，
∵AB//DE，
∴∠ABD=∠D=50°（两直线平行，内错角相等），
∵△DBE绕点B逆时针旋转得到△ABC，边BD旋转后对应边为BA，
∴旋转角的度数即为∠ABD的度数，为50°。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；平行线的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何题，解题的核心是准确找到旋转角，再结合直角三角形的内角性质和平行线的角度关系转化计算即可，主要考查学生对基础几何性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
10. (★★)如图,在△ABC中,AB=√2,将△ABC绕点B逆时针旋转45°得到△A₁BC₁,则阴影部分的面积为.
答案
解：由旋转的性质可知，$△ ABC ≌ △ A_1BC_1$，
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ A_1BC_1}$，$BA=BA_1=\sqrt{2}$，旋转角$∠ ABA_1=45°$。
观察图形可得：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=S_{△ A_1BC_1} + S_{\mathrm{扇形}BAA_1} - S_{△ ABC}\\&=S_{\mathrm{扇形}BAA_1}\\&=\frac{45π × (\sqrt{2})^2}{360}\\&=\frac{π}{4}\end{aligned}$
故答案为：$\boldsymbol{\frac{π}{4}}$。
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ A_1BC_1}$，$BA=BA_1=\sqrt{2}$，旋转角$∠ ABA_1=45°$。
观察图形可得：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=S_{△ A_1BC_1} + S_{\mathrm{扇形}BAA_1} - S_{△ ABC}\\&=S_{\mathrm{扇形}BAA_1}\\&=\frac{45π × (\sqrt{2})^2}{360}\\&=\frac{π}{4}\end{aligned}$
故答案为：$\boldsymbol{\frac{π}{4}}$。
解析
【分析】
解题时先回忆旋转的性质：旋转前后的图形全等，对应边相等，旋转角相等。观察阴影部分的构成，可采用割补法计算面积：阴影部分面积等于△A₁BC₁的面积加扇形BAA₁的面积减去△ABC的面积，结合旋转前后两个三角形面积相等的性质，可消去两个三角形的面积，直接转化为求扇形BAA₁的面积。再确定扇形的半径（等于AB的长）和圆心角（等于旋转角45°），代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
由旋转的性质可知，$△ ABC ≌ △ A_1BC_1$，
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ A_1BC_1}$，$BA=BA_1=\sqrt{2}$，旋转角$∠ ABA_1=45°$。
观察图形可得阴影部分面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=S_{△ A_1BC_1} + S_{\mathrm{扇形}BAA_1} - S_{△ ABC}\\&=S_{\mathrm{扇形}BAA_1}\\&=\frac{45π × (\sqrt{2})^2}{360}\\&=\frac{π}{4}\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{π}{4}}$
【知识点】
旋转的性质，扇形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题重点考察图形旋转的性质和不规则图形面积的求解方法，解题的核心是通过面积转化将不规则的阴影面积转化为规则的扇形面积，简化计算过程，是几何中面积计算的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆旋转的性质：旋转前后的图形全等，对应边相等，旋转角相等。观察阴影部分的构成，可采用割补法计算面积：阴影部分面积等于△A₁BC₁的面积加扇形BAA₁的面积减去△ABC的面积，结合旋转前后两个三角形面积相等的性质，可消去两个三角形的面积，直接转化为求扇形BAA₁的面积。再确定扇形的半径（等于AB的长）和圆心角（等于旋转角45°），代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
由旋转的性质可知，$△ ABC ≌ △ A_1BC_1$，
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ A_1BC_1}$，$BA=BA_1=\sqrt{2}$，旋转角$∠ ABA_1=45°$。
观察图形可得阴影部分面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=S_{△ A_1BC_1} + S_{\mathrm{扇形}BAA_1} - S_{△ ABC}\\&=S_{\mathrm{扇形}BAA_1}\\&=\frac{45π × (\sqrt{2})^2}{360}\\&=\frac{π}{4}\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{π}{4}}$
【知识点】
旋转的性质，扇形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题重点考察图形旋转的性质和不规则图形面积的求解方法，解题的核心是通过面积转化将不规则的阴影面积转化为规则的扇形面积，简化计算过程，是几何中面积计算的常见题型。
【难度系数】
0.7
11. (★)下列图形是中心对称图形,但不是轴对称图形的是 【 】
(第11题)
(第11题)答案
解：
根据轴对称图形、中心对称图形的定义逐一判断：
1. 选项A：既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
2. 选项B：是轴对称图形，旋转180°后无法与自身重合，不是中心对称图形，不符合题意；
3. 选项C：绕图形中心旋转180°后能与自身重合，是中心对称图形，不存在能使图形沿直线折叠后完全重合的对称轴，不是轴对称图形，符合题意；
4. 选项D：是轴对称图形，旋转180°后无法与自身重合，不是中心对称图形，不符合题意。
最终答案选【C】。
根据轴对称图形、中心对称图形的定义逐一判断：
1. 选项A：既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
2. 选项B：是轴对称图形，旋转180°后无法与自身重合，不是中心对称图形，不符合题意；
3. 选项C：绕图形中心旋转180°后能与自身重合，是中心对称图形，不存在能使图形沿直线折叠后完全重合的对称轴，不是轴对称图形，符合题意；
4. 选项D：是轴对称图形，旋转180°后无法与自身重合，不是中心对称图形，不符合题意。
最终答案选【C】。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确两个核心定义：①轴对称图形：沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合的图形；②中心对称图形：绕图形的中心旋转180°后，能够与自身完全重合的图形。解题时只需根据这两个定义，对四个选项逐一进行判断，筛选出符合“是中心对称图形，但不是轴对称图形”条件的选项即可。
【解析】
我们按照定义逐个分析选项：
1. 选项A：图形存在多条对称轴，沿对称轴折叠后两侧完全重合，是轴对称图形；同时绕中心旋转180°后能与自身重合，也是中心对称图形，不符合题意。
2. 选项B：图形存在过中心的对称轴，是轴对称图形；将其绕中心旋转180°后和原图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意。
3. 选项C：将该图形绕中心旋转180°后，各部分都能和原图形对应重合，是中心对称图形；同时找不到任何一条直线使得图形沿直线折叠后两侧完全重合，不是轴对称图形，符合题意。
4. 选项D：图形存在过中心的竖直对称轴，是轴对称图形；绕中心旋转180°后和原图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形识别；中心对称图形识别
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对轴对称图形和中心对称图形两个概念的区分能力，只要准确掌握两类图形的判定标准，逐一验证选项即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确两个核心定义：①轴对称图形：沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合的图形；②中心对称图形：绕图形的中心旋转180°后，能够与自身完全重合的图形。解题时只需根据这两个定义，对四个选项逐一进行判断，筛选出符合“是中心对称图形，但不是轴对称图形”条件的选项即可。
【解析】
我们按照定义逐个分析选项：
1. 选项A：图形存在多条对称轴，沿对称轴折叠后两侧完全重合，是轴对称图形；同时绕中心旋转180°后能与自身重合，也是中心对称图形，不符合题意。
2. 选项B：图形存在过中心的对称轴，是轴对称图形；将其绕中心旋转180°后和原图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意。
3. 选项C：将该图形绕中心旋转180°后，各部分都能和原图形对应重合，是中心对称图形；同时找不到任何一条直线使得图形沿直线折叠后两侧完全重合，不是轴对称图形，符合题意。
4. 选项D：图形存在过中心的竖直对称轴，是轴对称图形；绕中心旋转180°后和原图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形识别；中心对称图形识别
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对轴对称图形和中心对称图形两个概念的区分能力，只要准确掌握两类图形的判定标准，逐一验证选项即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
12. (★★)如图,在等边三角形ABC中,D为BC的中点,AC=2,△BFE与△BAD关于点B对称,连接CF,则CF的长为.
答案
$2\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题可分三步思考：①首先利用等边三角形的性质，求出BD的长度，同时由三线合一得到AD⊥BC，再用勾股定理算出AD的长度；②根据关于点B对称的性质，可得△BFE与△BAD全等，进而推出对应边BE=BD、FE=AD，对应角∠E=∠ADB=90°，确定△CEF为直角三角形；③先计算直角边CE的长度，最后在Rt△CEF中用勾股定理求出CF的长度即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AC=2，
∴AB=BC=AC=2，
∵D为BC的中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=1，AD⊥BC，即∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∵△BFE与△BAD关于点B对称，
∴△BFE≌△BAD，
∴BE=BD=1，FE=AD=$\sqrt{3}$，∠E=∠ADB=90°，
∴CE=BC+BE=2+1=3，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：
$CF=\sqrt{CE^2+FE^2}=\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质；中心对称的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，将等边三角形、中心对称和勾股定理结合考查，解题的突破口是利用中心对称的性质得到直角三角形的边长，只要熟练掌握相关基础性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.65
解题可分三步思考：①首先利用等边三角形的性质，求出BD的长度，同时由三线合一得到AD⊥BC，再用勾股定理算出AD的长度；②根据关于点B对称的性质，可得△BFE与△BAD全等，进而推出对应边BE=BD、FE=AD，对应角∠E=∠ADB=90°，确定△CEF为直角三角形；③先计算直角边CE的长度，最后在Rt△CEF中用勾股定理求出CF的长度即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AC=2，
∴AB=BC=AC=2，
∵D为BC的中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=1，AD⊥BC，即∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∵△BFE与△BAD关于点B对称，
∴△BFE≌△BAD，
∴BE=BD=1，FE=AD=$\sqrt{3}$，∠E=∠ADB=90°，
∴CE=BC+BE=2+1=3，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：
$CF=\sqrt{CE^2+FE^2}=\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质；中心对称的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，将等边三角形、中心对称和勾股定理结合考查，解题的突破口是利用中心对称的性质得到直角三角形的边长，只要熟练掌握相关基础性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.65
13.(★★)在平面直角坐标系中,已知点A(a−b,−5)与点B(−3,a+b)关于原点对称,
则ab的值为。
则ab的值为。
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆关于原点对称的点的坐标性质：平面直角坐标系中，两个关于原点对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。我们可以根据这个性质结合点A、B的坐标，列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的取值，最后代入计算ab的值即可。
【解析】
∵ 点$A(a−b,−5)$与点$B(−3,a+b)$关于原点对称，
根据关于原点对称的点的坐标特征可得：
$\begin{cases}a - b = -(-3) \\-5 = -(a + b)\end{cases}$
整理得到方程组：
$\begin{cases}a - b = 3 \quad ① \\a + b = 5 \quad ②\end{cases}$
①+②得：$2a=8$，解得$a=4$，
将$a=4$代入②得：$4+b=5$，解得$b=1$，
∴ $ab=4×1=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
1. 原点对称的坐标性质
2. 解二元一次方程组
3. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查原点对称的坐标规律的应用，解题关键是根据对称性质列出方程组，计算量小，掌握对应知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆关于原点对称的点的坐标性质：平面直角坐标系中，两个关于原点对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。我们可以根据这个性质结合点A、B的坐标，列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的取值，最后代入计算ab的值即可。
【解析】
∵ 点$A(a−b,−5)$与点$B(−3,a+b)$关于原点对称，
根据关于原点对称的点的坐标特征可得：
$\begin{cases}a - b = -(-3) \\-5 = -(a + b)\end{cases}$
整理得到方程组：
$\begin{cases}a - b = 3 \quad ① \\a + b = 5 \quad ②\end{cases}$
①+②得：$2a=8$，解得$a=4$，
将$a=4$代入②得：$4+b=5$，解得$b=1$，
∴ $ab=4×1=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
1. 原点对称的坐标性质
2. 解二元一次方程组
3. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查原点对称的坐标规律的应用，解题关键是根据对称性质列出方程组，计算量小，掌握对应知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.8
