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14.(★★)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(1,1),C(4,3).
(1)画出△ABC关于原点对称的△A₁B₁C₁；
(2)画出△ABC绕点B顺时针旋转90°后的△A₂B₂C₂,并写出点C₂的坐标.
(1)画出△ABC关于原点对称的△A₁B₁C₁；
(2)画出△ABC绕点B顺时针旋转90°后的△A₂B₂C₂,并写出点C₂的坐标.
答案
解：
(1) 根据关于原点对称的点的坐标性质，横、纵坐标均互为相反数，可得对称点坐标：$A_1(-2,-4)$，$B_1(-1,-1)$，$C_1(-4,-3)$，在坐标系中描出三点，顺次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 旋转中心为点$B$，因此点$B_2$与点$B$重合，将线段$BA$、$BC$绕点$B$顺时针旋转$90°$得到对应线段$BA_2$、$BC_2$，顺次连接$A_2$、$B_2$、$C_2$，即可得到$△ A_2B_2C_2$。
点$C_2$的坐标为$(3,-2)$。
(1) 根据关于原点对称的点的坐标性质，横、纵坐标均互为相反数，可得对称点坐标：$A_1(-2,-4)$，$B_1(-1,-1)$，$C_1(-4,-3)$，在坐标系中描出三点，顺次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 旋转中心为点$B$，因此点$B_2$与点$B$重合，将线段$BA$、$BC$绕点$B$顺时针旋转$90°$得到对应线段$BA_2$、$BC_2$，顺次连接$A_2$、$B_2$、$C_2$，即可得到$△ A_2B_2C_2$。
点$C_2$的坐标为$(3,-2)$。
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系中的对称作图与旋转作图，解题思路如下：
(1) 作关于原点对称的三角形，需先依据“关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数”的性质，求出△ABC三个顶点的对称点坐标，再在坐标系中描出对应点，顺次连接即可得到对称图形。
(2) 作绕点B顺时针旋转90°的三角形，首先明确旋转中心为点B，旋转后点B的位置不变；再根据旋转90°的性质，分别确定点A、点C绕点B顺时针旋转90°后的对应点A₂、C₂的位置，顺次连接三个对应点得到旋转后的图形，最后根据坐标系读出C₂的坐标即可。
【解析】
(1) 关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，因此三个顶点的对应点坐标为：
$A_1(-2,-4)$，$B_1(-1,-1)$，$C_1(-4,-3)$，
在平面直角坐标系中描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三点，顺次连接三点，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 旋转中心为点B，因此旋转后点B的对应点$B_2$与B重合，坐标为$(1,1)$；
将线段$BA$、$BC$分别绕点B顺时针旋转$90°$，得到对应线段$BA_2$、$BC_2$，确定$A_2$、$C_2$的位置后，顺次连接$A_2$、$B_2$、$C_2$，即可得到$△ A_2B_2C_2$。
观察坐标系可得，点$C_2$的坐标为$(3,-2)$。
【答案】
(1) 画出$△ A_1B_1C_1$（$A_1(-2,-4)$，$B_1(-1,-1)$，$C_1(-4,-3)$，顺次连接即可）；
(2) 画出$△ A_2B_2C_2$，点$C_2$的坐标为$\boldsymbol{(3,-2)}$。
【知识点】
1. 关于原点对称的点的坐标特征
2. 旋转作图
3. 旋转的性质
【点评】
本题是坐标系中图形变换的基础题型，重点考查对称与旋转变换的作图方法，解题核心是准确找到变换后对应点的位置，注意旋转方向和旋转角度不要混淆。
【难度系数】
0.7
本题考查平面直角坐标系中的对称作图与旋转作图，解题思路如下：
(1) 作关于原点对称的三角形，需先依据“关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数”的性质，求出△ABC三个顶点的对称点坐标，再在坐标系中描出对应点，顺次连接即可得到对称图形。
(2) 作绕点B顺时针旋转90°的三角形，首先明确旋转中心为点B，旋转后点B的位置不变；再根据旋转90°的性质，分别确定点A、点C绕点B顺时针旋转90°后的对应点A₂、C₂的位置，顺次连接三个对应点得到旋转后的图形，最后根据坐标系读出C₂的坐标即可。
【解析】
(1) 关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，因此三个顶点的对应点坐标为：
$A_1(-2,-4)$，$B_1(-1,-1)$，$C_1(-4,-3)$，
在平面直角坐标系中描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三点，顺次连接三点，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 旋转中心为点B，因此旋转后点B的对应点$B_2$与B重合，坐标为$(1,1)$；
将线段$BA$、$BC$分别绕点B顺时针旋转$90°$，得到对应线段$BA_2$、$BC_2$，确定$A_2$、$C_2$的位置后，顺次连接$A_2$、$B_2$、$C_2$，即可得到$△ A_2B_2C_2$。
观察坐标系可得，点$C_2$的坐标为$(3,-2)$。
【答案】
(1) 画出$△ A_1B_1C_1$（$A_1(-2,-4)$，$B_1(-1,-1)$，$C_1(-4,-3)$，顺次连接即可）；
(2) 画出$△ A_2B_2C_2$，点$C_2$的坐标为$\boldsymbol{(3,-2)}$。
【知识点】
1. 关于原点对称的点的坐标特征
2. 旋转作图
3. 旋转的性质
【点评】
本题是坐标系中图形变换的基础题型，重点考查对称与旋转变换的作图方法，解题核心是准确找到变换后对应点的位置，注意旋转方向和旋转角度不要混淆。
【难度系数】
0.7
15. (★★)请自选一个基本图形,借助平移、轴对称、旋转设计一幅适合用作黑板报边框的连续图案. 要求同时满足以下条件:①图案整体美观;②至少用到两种图形变换;③说明你的设计意图.
答案
解：
选取基本图形：直角边长为1cm的等腰直角三角形，在其一条直角边外侧绘制一个直径等于该直角边长的小圆点作为装饰。
变换过程：
① 先将该基本图形以它的斜边所在直线为对称轴作轴对称变换，得到由两个全等基本图形拼接成的组合单元，整体形似一枚小巧的蝴蝶结图案。
② 将得到的蝴蝶结单元沿水平方向向右连续平移，每次平移的距离等于蝴蝶结单元的水平总宽度，重复平移若干次后，即可得到连续的长条状边框图案。
设计意图：本次设计先后使用了轴对称变换、平移两种图形变换，图案整齐连贯，造型清新明快，长条状的连续样式适配黑板报边框的使用需求，整体美观醒目，绘制简便。
选取基本图形：直角边长为1cm的等腰直角三角形，在其一条直角边外侧绘制一个直径等于该直角边长的小圆点作为装饰。
变换过程：
① 先将该基本图形以它的斜边所在直线为对称轴作轴对称变换，得到由两个全等基本图形拼接成的组合单元，整体形似一枚小巧的蝴蝶结图案。
② 将得到的蝴蝶结单元沿水平方向向右连续平移，每次平移的距离等于蝴蝶结单元的水平总宽度，重复平移若干次后，即可得到连续的长条状边框图案。
设计意图：本次设计先后使用了轴对称变换、平移两种图形变换，图案整齐连贯，造型清新明快，长条状的连续样式适配黑板报边框的使用需求，整体美观醒目，绘制简便。
解析
【分析】
解题时首先明确核心要求：一是图案需为连续长条状、美观易绘制，适配黑板报边框；二是至少用到平移、轴对称、旋转中的两种图形变换；三是要说明设计意图。思考步骤如下：第一步选择简单易操作的基础几何图形，方便后续变换与绘制；第二步优先选平移变换实现连续重复的边框效果，再搭配轴对称或旋转变换将基础图形调整为更美观的组合单元，避免图案单调；最后结合图案特点、黑板报使用场景说明设计意图即可。
【解析】
1. 选取基本图形：直角边长为1cm的等腰直角三角形，在其一条直角边外侧绘制一个直径等于该直角边长的小圆点作为装饰。
2. 变换过程：
① 先将该基本图形以它的斜边所在直线为对称轴作轴对称变换，得到由两个全等基本图形拼接成的组合单元，整体形似一枚小巧的蝴蝶结图案。
② 将得到的蝴蝶结单元沿水平方向向右连续平移，每次平移的距离等于蝴蝶结单元的水平总宽度，重复平移若干次后，即可得到连续的长条状边框图案。
3. 设计意图：本次设计先后使用了轴对称变换、平移两种图形变换，图案整齐连贯，造型清新明快，长条状的连续样式适配黑板报边框的使用需求，整体美观醒目，绘制简便。
【答案】
选取基本图形：直角边长为1cm的等腰直角三角形，在其一条直角边外侧绘制一个直径等于该直角边长的小圆点作为装饰。
变换过程：
① 先将该基本图形以它的斜边所在直线为对称轴作轴对称变换，得到由两个全等基本图形拼接成的组合单元，整体形似一枚小巧的蝴蝶结图案。
② 将得到的蝴蝶结单元沿水平方向向右连续平移，每次平移的距离等于蝴蝶结单元的水平总宽度，重复平移若干次后，即可得到连续的长条状边框图案。
设计意图：本次设计先后使用了轴对称变换、平移两种图形变换，图案整齐连贯，造型清新明快，长条状的连续样式适配黑板报边框的使用需求，整体美观醒目，绘制简便。
【知识点】
图形的轴对称；图形的平移；图案设计
【点评】
本题属于开放性实践题型，考查对图形变换的灵活应用能力，将数学知识与生活场景结合，解题自由度较高，兼具趣味性与实用性，只要符合题目给出的三项要求即可得分。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确核心要求：一是图案需为连续长条状、美观易绘制，适配黑板报边框；二是至少用到平移、轴对称、旋转中的两种图形变换；三是要说明设计意图。思考步骤如下：第一步选择简单易操作的基础几何图形，方便后续变换与绘制；第二步优先选平移变换实现连续重复的边框效果，再搭配轴对称或旋转变换将基础图形调整为更美观的组合单元，避免图案单调；最后结合图案特点、黑板报使用场景说明设计意图即可。
【解析】
1. 选取基本图形：直角边长为1cm的等腰直角三角形，在其一条直角边外侧绘制一个直径等于该直角边长的小圆点作为装饰。
2. 变换过程：
① 先将该基本图形以它的斜边所在直线为对称轴作轴对称变换，得到由两个全等基本图形拼接成的组合单元，整体形似一枚小巧的蝴蝶结图案。
② 将得到的蝴蝶结单元沿水平方向向右连续平移，每次平移的距离等于蝴蝶结单元的水平总宽度，重复平移若干次后，即可得到连续的长条状边框图案。
3. 设计意图：本次设计先后使用了轴对称变换、平移两种图形变换，图案整齐连贯，造型清新明快，长条状的连续样式适配黑板报边框的使用需求，整体美观醒目，绘制简便。
【答案】
选取基本图形：直角边长为1cm的等腰直角三角形，在其一条直角边外侧绘制一个直径等于该直角边长的小圆点作为装饰。
变换过程：
① 先将该基本图形以它的斜边所在直线为对称轴作轴对称变换，得到由两个全等基本图形拼接成的组合单元，整体形似一枚小巧的蝴蝶结图案。
② 将得到的蝴蝶结单元沿水平方向向右连续平移，每次平移的距离等于蝴蝶结单元的水平总宽度，重复平移若干次后，即可得到连续的长条状边框图案。
设计意图：本次设计先后使用了轴对称变换、平移两种图形变换，图案整齐连贯，造型清新明快，长条状的连续样式适配黑板报边框的使用需求，整体美观醒目，绘制简便。
【知识点】
图形的轴对称；图形的平移；图案设计
【点评】
本题属于开放性实践题型，考查对图形变换的灵活应用能力，将数学知识与生活场景结合，解题自由度较高，兼具趣味性与实用性，只要符合题目给出的三项要求即可得分。
【难度系数】
0.7
16. (★★★)如图, 菱形OABC的顶点O(0,0), B(2,2), 若菱形绕点O逆时针旋转, 每秒旋转45°, 则第2026 s时, 菱形的对角线交点D的对应点的坐标为
【 】
A.$(1,-1)$
B.$(-1,1)$
C.$(\sqrt{2},0)$
D.$(0,-\sqrt{2})$
【 】
A.$(1,-1)$
B.$(-1,1)$
C.$(\sqrt{2},0)$
D.$(0,-\sqrt{2})$
答案
B
解析
【分析】
解题首先要利用菱形对角线互相平分的性质，求出初始状态下对角线交点D的坐标；再根据旋转速度求出旋转的周期，通过计算2026除以周期的余数，得到等效的旋转角度，最后依据点绕原点逆时针旋转的坐标变化规律，求出对应点的坐标即可。
【解析】
1. 求初始点D的坐标：
菱形的对角线互相平分，因此交点D是对角线OB的中点。已知O(0,0)，B(2,2)，根据中点坐标公式可得D的坐标为$(\frac{0+2}{2},\frac{0+2}{2})$，即$(1,1)$。
2. 计算旋转周期：
菱形每秒逆时针旋转$45°$，旋转一周（$360°$）的周期为$360°÷45°=8$秒，即每8秒D点回到原位置。
3. 求等效旋转角度：
计算$2026÷8=253······2$，即2026秒相当于旋转253周后，额外逆时针旋转2秒，等效旋转角度为$2×45°=90°$。
4. 求旋转后D的对应点坐标：
点$(x,y)$绕原点逆时针旋转$90°$后，对应点坐标为$(-y,x)$。将D点初始坐标$(1,1)$代入，可得对应点坐标为$(-1,1)$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质，旋转的性质，坐标变换
【点评】
本题是几何性质与周期规律结合的典型题型，解题的关键是先确定初始点坐标，再利用旋转的周期性简化计算，避免直接计算过大的旋转角度，很好地考查了学生的知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题首先要利用菱形对角线互相平分的性质，求出初始状态下对角线交点D的坐标；再根据旋转速度求出旋转的周期，通过计算2026除以周期的余数，得到等效的旋转角度，最后依据点绕原点逆时针旋转的坐标变化规律，求出对应点的坐标即可。
【解析】
1. 求初始点D的坐标：
菱形的对角线互相平分，因此交点D是对角线OB的中点。已知O(0,0)，B(2,2)，根据中点坐标公式可得D的坐标为$(\frac{0+2}{2},\frac{0+2}{2})$，即$(1,1)$。
2. 计算旋转周期：
菱形每秒逆时针旋转$45°$，旋转一周（$360°$）的周期为$360°÷45°=8$秒，即每8秒D点回到原位置。
3. 求等效旋转角度：
计算$2026÷8=253······2$，即2026秒相当于旋转253周后，额外逆时针旋转2秒，等效旋转角度为$2×45°=90°$。
4. 求旋转后D的对应点坐标：
点$(x,y)$绕原点逆时针旋转$90°$后，对应点坐标为$(-y,x)$。将D点初始坐标$(1,1)$代入，可得对应点坐标为$(-1,1)$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质，旋转的性质，坐标变换
【点评】
本题是几何性质与周期规律结合的典型题型，解题的关键是先确定初始点坐标，再利用旋转的周期性简化计算，避免直接计算过大的旋转角度，很好地考查了学生的知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
