1.如图，C，E是线段AB上的两点，D为线段AB的中点，AB=6，CD=1.
(1)求线段BC的长.
(2)若AE：EC=1：3，求线段EC的长.

(1) 解：
∵D为线段AB的中点，AB=6，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=3.
∵CD=1，
∴BC=BD-CD=3-1=2.
(2) 解：
∵D为线段AB的中点，AB=6，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=3.
∵CD=1，
∴AC=AD+CD=3+1=4.
∵AE:EC=1:3，
∴EC=$\frac{3}{1+3}$×4=3.

【分析】
(1) 求解线段BC的长时，首先观察线段位置可知BC=BD-CD，已知CD=1，只需先求出BD的长度。已知D是AB中点，结合AB=6，根据线段中点的性质可算出BD为AB的一半，再减去CD即可得到BC的长度。
(2) 求解线段EC的长时，已知AE:EC=1:3，可得EC占线段AC总长的$\frac{3}{1+3}$，因此需先求出AC的长度。观察线段可知AC=AD+CD，由D是AB中点可算出AD的长度，加上CD即可得到AC总长，再按比例计算就能求出EC的长度。
【解析】
(1) 解：
∵D为线段AB的中点，AB=6，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=3.
∵CD=1，
∴BC=BD-CD=3-1=2.
(2) 解：
∵D为线段AB的中点，AB=6，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=3.
∵CD=1，
∴AC=AD+CD=3+1=4.
∵AE:EC=1:3，
∴EC=$\frac{3}{1+3}$×4=3.
【答案】
(1) 2；(2) 3
【知识点】
线段中点性质、线段和差计算、比例线段计算
【点评】
本题属于线段计算的基础题，解题关键是结合图形理清各线段之间的和差关系，灵活运用线段中点的性质，再结合比例关系即可逐步推导出所求线段的长度。
【难度系数】
0.8

【例1】如图，点C在线段AB上，M，N分别是线段AC，BC的中点.

(1)若AC=9 cm，CB=6 cm，则线段MN的长为 cm.
(2)若AC=a，CB=b，则线段MN的长为.
(3)若C为线段AB上的任意一点，且AB=n，其他条件不变，你能猜想线段MN的长度吗？请用一句简洁的话描述你发现的结论.

(1) $\frac{15}{2}$
(2) $\frac{a+b}{2}$
(3) 猜想：$MN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}n$.
结论：若C为线段AB上的任意一点，且M，N分别是AC，BC的中点，则$MN=\frac{1}{2}AB$.

【分析】
本题可结合线段中点的性质，通过线段和差关系推导求解：首先明确线段中点会将原线段分为长度相等的两部分，即中点分线段得到的小段长度是原线段的$\frac{1}{2}$；再观察图形可知$MN=MC+CN$，分别用对应的原线段表示出$MC$和$CN$，代入已知条件计算即可。推导通用规律时，沿用相同的和差逻辑，将具体数值替换为字母即可得到结论。
【解析】
(1) $\because$ M是AC的中点，$AC=9\ \mathrm{cm}$
$\therefore MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×9=\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}$
$\because$ N是BC的中点，$CB=6\ \mathrm{cm}$
$\therefore CN=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$
$\therefore MN=MC+CN=\frac{9}{2}+3=\frac{15}{2}\ \mathrm{cm}$
(2) $\because$ M是AC的中点，$AC=a$
$\therefore MC=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{2}$
$\because$ N是BC的中点，$CB=b$
$\therefore CN=\frac{1}{2}CB=\frac{b}{2}$
$\therefore MN=MC+CN=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}=\frac{a+b}{2}$
(3) 猜想推导：
$\because$ M、N分别是AC、BC的中点
$\therefore MC=\frac{1}{2}AC$，$CN=\frac{1}{2}BC$
$\therefore MN=MC+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)$
$\because$ 点C在线段AB上，$AC+BC=AB=n$
$\therefore MN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}n$
结论：若C为线段AB上的任意一点，且M，N分别是AC，BC的中点，则$MN=\frac{1}{2}AB$。
【答案】
(1) $\frac{15}{2}$
(2) $\frac{a+b}{2}$
(3) 猜想：$MN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}n$；结论：若C为线段AB上的任意一点，且M，N分别是AC，BC的中点，则$MN=\frac{1}{2}AB$
【知识点】
1. 线段中点的性质
2. 线段的和差计算
【点评】
本题是线段中点应用的基础题型，掌握线段拆分方法和中点性质即可求解，推导得到的结论可作为常用规律，帮助快速解决同类型线段计算问题。
【难度系数】
0.8

【拓展提问】 若将题干中的“点C在线段AB上”改为“点C在线段AB的延长线上”，其他条件不变，则(3)中的结论还成立吗？请画出图形，写出结论，并说明理由。

$MN=\frac{1}{2}n$成立.理由如下：如图，当点C在线段AB的延长线上时.
∵M，N分别是AC，BC的中点，
∴$MC=\frac{1}{2}AC$，$NC=\frac{1}{2}BC$.
又
∵MN=MC-NC，
∴$MN=\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}n$.

【分析】
我们可以按以下思路解题：首先回忆线段中点的性质，中点会把对应线段分成相等的两段，据此先写出MC与AC、NC与BC的数量关系；再结合点C在线段AB延长线上的位置，分析MN和MC、NC的和差关系；最后将中点表达式代入和差关系中化简，即可判断原结论是否成立。
【解析】
结论：$MN=\frac{1}{2}n$成立，理由如下：
当点C在线段AB的延长线上时，如图。
∵M，N分别是AC，BC的中点，
∴$MC=\frac{1}{2}AC$，$NC=\frac{1}{2}BC$。
结合图形可得线段$MN=MC-NC$，
将上述中点关系式代入得：
$MN=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC-BC)$，
∵点C在AB的延长线上，
∴$AC-BC=AB=n$，
∴$MN=\frac{1}{2}n$，原结论成立。
【答案】
$MN=\frac{1}{2}n$成立.理由如下：如图，当点C在线段AB的延长线上时.
∵M，N分别是AC，BC的中点，
∴$MC=\frac{1}{2}AC$，$NC=\frac{1}{2}BC$.
又
∵MN=MC-NC，
∴$MN=\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}n$.
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题重点考查线段中点性质的应用，解题时需结合点的位置准确梳理线段间的和差关系，再代入中点的表达式化简即可推导结论，此类线段计算类题目要养成结合图形分析的习惯，避免搞错线段的和差关系。
【难度系数】
0.7

2.如图,线段AB的长为6 cm,C是线段AB的中点,D是线段BC的中点,E是线段AD的中点,求线段AE的长.

解：
∵C是AB的中点，
∴AC=BC=3 cm. 又
∵D是BC的中点，
∴BD=CD=1.5 cm.
∴AD=AB-BD=6-1.5=4.5(cm).
∵E是AD的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AD=2.25$(cm).

【分析】
本题是线段长度计算问题，核心利用线段中点的性质求解。解题时先从已知长度的线段AB出发，首先根据C是AB中点求出BC的长度，再根据D是BC中点求出BD的长度，接着通过线段的和差关系求出AD的长度，最后利用E是AD中点的条件，即可求出AE的长度。
【解析】
解：
∵C是AB的中点，AB=6 cm
∴$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$ cm
∵D是BC的中点
∴$CD=BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×3=1.5$ cm
∴$AD=AB-BD=6-1.5=4.5$ cm
∵E是AD的中点
∴$AE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×4.5=2.25$ cm
【答案】
2.25 cm
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，解题的关键是准确掌握线段中点的性质，理清各线段之间的数量关系，逐层推导即可得到结果。
【难度系数】
0.8