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3.(1)如图,已知点C在线段AB上,且AB=20 cm,BC=8 cm,M,N分别是线段AB,BC的中点,求线段MN的长.
解:∵AB=20 cm,M是
∴BM=
∵BC=8 cm,N是BC的中点,
∴BN=
∴MN=BM−
∴线段MN的长为6 cm.
(2)若C是线段AB上的任意一点,且AB=a,BC=b,M,N分别是线段AB,BC的中点,则线段MN的长为
解:∵AB=20 cm,M是
AB
的中点,∴BM=
$\frac{1}{2}$
AB=10 cm.∵BC=8 cm,N是BC的中点,
∴BN=
$\frac{1}{2}$
BC=4 cm.∴MN=BM−
BN
=10−4=6(cm).∴线段MN的长为6 cm.
(2)若C是线段AB上的任意一点,且AB=a,BC=b,M,N分别是线段AB,BC的中点,则线段MN的长为
$\frac{1}{2}(a-b)$
.(用含a,b的代数式表示)答案
(1) AB；$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2}$；BN，线段MN的长为6 cm.
(2) $\frac{1}{2}(a-b)$
(2) $\frac{1}{2}(a-b)$
解析
【分析】
本题考查线段中点的性质及线段和差的计算。解题时先明确线段中点的定义：线段中点将线段分为长度相等的两部分，每部分长度为原线段的$\frac{1}{2}$。第(1)问先利用中点性质分别求出BM、BN的长度，再结合图形观察到MN的长度为BM与BN的差，代入数值计算即可。第(2)问将具体数值替换为字母，沿用第(1)问的推导逻辑，代入对应字母运算即可得到结果。
【解析】
(1) $\because AB=20\ \mathrm{cm}$，M是AB的中点，
$\therefore BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×20=10\ \mathrm{cm}$。
$\because BC=8\ \mathrm{cm}$，N是BC的中点，
$\therefore BN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
$\therefore MN=BM-BN=10-4=6(\mathrm{cm})$。
故四个空依次填写AB、$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{2}$、BN。
(2) 若$AB=a$，$BC=b$，M是AB的中点，因此$BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a$；N是BC的中点，因此$BN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}b$。
则$MN=BM-BN=\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}b=\frac{1}{2}(a-b)$。
【答案】
(1) AB；$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2}$；BN，线段MN的长为6 cm
(2) $\frac{1}{2}(a-b)$
【知识点】
线段中点的性质；线段和差计算；字母表示数
【点评】
本题是线段中点相关的基础题型，既考查了对线段中点性质的理解应用，也考查了线段和差的运算能力，从具体数值运算到字母推导的设置，渗透了从特殊到一般的数学思想，熟练掌握线段中点的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查线段中点的性质及线段和差的计算。解题时先明确线段中点的定义：线段中点将线段分为长度相等的两部分，每部分长度为原线段的$\frac{1}{2}$。第(1)问先利用中点性质分别求出BM、BN的长度，再结合图形观察到MN的长度为BM与BN的差，代入数值计算即可。第(2)问将具体数值替换为字母，沿用第(1)问的推导逻辑，代入对应字母运算即可得到结果。
【解析】
(1) $\because AB=20\ \mathrm{cm}$，M是AB的中点，
$\therefore BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×20=10\ \mathrm{cm}$。
$\because BC=8\ \mathrm{cm}$，N是BC的中点，
$\therefore BN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
$\therefore MN=BM-BN=10-4=6(\mathrm{cm})$。
故四个空依次填写AB、$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{2}$、BN。
(2) 若$AB=a$，$BC=b$，M是AB的中点，因此$BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a$；N是BC的中点，因此$BN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}b$。
则$MN=BM-BN=\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}b=\frac{1}{2}(a-b)$。
【答案】
(1) AB；$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2}$；BN，线段MN的长为6 cm
(2) $\frac{1}{2}(a-b)$
【知识点】
线段中点的性质；线段和差计算；字母表示数
【点评】
本题是线段中点相关的基础题型，既考查了对线段中点性质的理解应用，也考查了线段和差的运算能力，从具体数值运算到字母推导的设置，渗透了从特殊到一般的数学思想，熟练掌握线段中点的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
【例2】 如图，C,D为线段AB上的两点，M,N分别是线段AC,BD的中点.
(1)如果$CD=5\ \mathrm{cm}$，$MN=8\ \mathrm{cm}$，求线段AB的长.
(2)如果$AB=a$，$MN=b$，求线段CD的长.
(1)如果$CD=5\ \mathrm{cm}$，$MN=8\ \mathrm{cm}$，求线段AB的长.
(2)如果$AB=a$，$MN=b$，求线段CD的长.
答案
(1) 解：
∵M，N分别是线段AC，BD的中点，
∴AC=2MC，BD=2DN.
∵MC+CD+DN=MN=8 cm，
∴MC+DN=8-5=3(cm).
∴AC+BD=2MC+2DN=2×3=6(cm).
∴AB=AC+BD+CD=6+5=11(cm).
(2) 解：
∵M，N分别是线段AC，BD的中点，
∴$CM=AM=\frac{1}{2}AC$，$BN=DN=\frac{1}{2}BD$.
∵AM+BN=MC+DN=AB-MN，
∴MC+DN=a-b.
∴CD=MN-(MC+DN)=b-(a-b)=2b-a.
∵M，N分别是线段AC，BD的中点，
∴AC=2MC，BD=2DN.
∵MC+CD+DN=MN=8 cm，
∴MC+DN=8-5=3(cm).
∴AC+BD=2MC+2DN=2×3=6(cm).
∴AB=AC+BD+CD=6+5=11(cm).
(2) 解：
∵M，N分别是线段AC，BD的中点，
∴$CM=AM=\frac{1}{2}AC$，$BN=DN=\frac{1}{2}BD$.
∵AM+BN=MC+DN=AB-MN，
∴MC+DN=a-b.
∴CD=MN-(MC+DN)=b-(a-b)=2b-a.
解析
【分析】
本题围绕线段中点性质和线段和差关系展开求解：
(1) 首先明确线段MN由MC、CD、DN三段组成，已知MN和CD的长度，可先计算出MC与DN的和；再利用中点性质，AC长度是MC的2倍、BD长度是DN的2倍，即可求出AC与BD的总长度；最后根据AB由AC、CD、BD三段组成，代入数值计算就能得到AB的长度。
(2) 先将AB拆分为AM、MN、BN三部分，已知AB和MN的长度，可得到AM与BN的和；再结合中点性质，MC=AM、DN=BN，因此MC与DN的和等于AM与BN的和；最后CD是MN减去MC和DN的长度，代入关系式化简即可得到CD的表达式。
【解析】
(1) 解：
∵M，N分别是线段AC，BD的中点，
∴AC=2MC，BD=2DN.
∵MC+CD+DN=MN=8 cm，
∴MC+DN=8-5=3(cm).
∴AC+BD=2MC+2DN=2×3=6(cm).
∴AB=AC+BD+CD=6+5=11(cm).
(2) 解：
∵M，N分别是线段AC，BD的中点，
∴$CM=AM=\frac{1}{2}AC$，$BN=DN=\frac{1}{2}BD$.
∵AM+BN=MC+DN=AB-MN，
∴MC+DN=a-b.
∴CD=MN-(MC+DN)=b-(a-b)=2b-a.
【答案】
(1) $\boldsymbol{11\ \mathrm{cm}}$；(2) $\boldsymbol{2b-a}$
【知识点】
线段中点的性质、线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的典型基础题，核心是通过线段中点的性质实现线段的倍分转化，结合线段的和差关系即可求解，解题时运用整体代换的思想，无需单独求出每一段小线段的长度，可简化计算过程。
【难度系数】
0.7
本题围绕线段中点性质和线段和差关系展开求解：
(1) 首先明确线段MN由MC、CD、DN三段组成，已知MN和CD的长度，可先计算出MC与DN的和；再利用中点性质，AC长度是MC的2倍、BD长度是DN的2倍，即可求出AC与BD的总长度；最后根据AB由AC、CD、BD三段组成，代入数值计算就能得到AB的长度。
(2) 先将AB拆分为AM、MN、BN三部分，已知AB和MN的长度，可得到AM与BN的和；再结合中点性质，MC=AM、DN=BN，因此MC与DN的和等于AM与BN的和；最后CD是MN减去MC和DN的长度，代入关系式化简即可得到CD的表达式。
【解析】
(1) 解：
∵M，N分别是线段AC，BD的中点，
∴AC=2MC，BD=2DN.
∵MC+CD+DN=MN=8 cm，
∴MC+DN=8-5=3(cm).
∴AC+BD=2MC+2DN=2×3=6(cm).
∴AB=AC+BD+CD=6+5=11(cm).
(2) 解：
∵M，N分别是线段AC，BD的中点，
∴$CM=AM=\frac{1}{2}AC$，$BN=DN=\frac{1}{2}BD$.
∵AM+BN=MC+DN=AB-MN，
∴MC+DN=a-b.
∴CD=MN-(MC+DN)=b-(a-b)=2b-a.
【答案】
(1) $\boldsymbol{11\ \mathrm{cm}}$；(2) $\boldsymbol{2b-a}$
【知识点】
线段中点的性质、线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的典型基础题，核心是通过线段中点的性质实现线段的倍分转化，结合线段的和差关系即可求解，解题时运用整体代换的思想，无需单独求出每一段小线段的长度，可简化计算过程。
【难度系数】
0.7
4. 如图，点C，B都是线段AD上的点，E是线段AB的中点.
(1)若$AD=30\ \mathrm{cm}$，$BD=6\ \mathrm{cm}$.
①如图1，求线段AE的长.
②如图2，若$AC=\frac{1}{3}AD$，F是线段CD的中点，求线段EF的长.
(2)如图2，若$AC=\frac{1}{3}AD=a$，$BD=b$，点F是线段CD的中点，用含a，b的代数式表示线段EF的长.
(1)若$AD=30\ \mathrm{cm}$，$BD=6\ \mathrm{cm}$.
①如图1，求线段AE的长.
②如图2，若$AC=\frac{1}{3}AD$，F是线段CD的中点，求线段EF的长.
(2)如图2，若$AC=\frac{1}{3}AD=a$，$BD=b$，点F是线段CD的中点，用含a，b的代数式表示线段EF的长.
答案
(1) ① 解：
∵AD=30 cm，BD=6 cm，
∴AB=AD-BD=24(cm).
∵E是AB的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AB=12$(cm).
② 解：
∵$AC=\frac{1}{3}AD=10$ cm，AD=30 cm，
∴CD=AD-AC=20(cm).
∴CE=AE-AC=12-10=2(cm).
∵F是CD的中点，
∴$CF=\frac{1}{2}CD=10$ cm.
∴EF=CF-CE=10-2=8(cm).
(2) 解：
∵$AC=\frac{1}{3}AD=a$，
∴AD=3a.
∴CD=AD-AC=2a.
∵F是CD的中点，
∴$CF=\frac{1}{2}CD=a$.
∵AD=3a，BD=b，
∴AB=AD-BD=3a-b.
∵E是AB的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{3a-b}{2}$.
∴$CE=AE-AC=\frac{3a-b}{2}-a=\frac{a-b}{2}$.
∴$EF=CF-CE=a-\frac{a-b}{2}=\frac{a+b}{2}$.
∵AD=30 cm，BD=6 cm，
∴AB=AD-BD=24(cm).
∵E是AB的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AB=12$(cm).
② 解：
∵$AC=\frac{1}{3}AD=10$ cm，AD=30 cm，
∴CD=AD-AC=20(cm).
∴CE=AE-AC=12-10=2(cm).
∵F是CD的中点，
∴$CF=\frac{1}{2}CD=10$ cm.
∴EF=CF-CE=10-2=8(cm).
(2) 解：
∵$AC=\frac{1}{3}AD=a$，
∴AD=3a.
∴CD=AD-AC=2a.
∵F是CD的中点，
∴$CF=\frac{1}{2}CD=a$.
∵AD=3a，BD=b，
∴AB=AD-BD=3a-b.
∵E是AB的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{3a-b}{2}$.
∴$CE=AE-AC=\frac{3a-b}{2}-a=\frac{a-b}{2}$.
∴$EF=CF-CE=a-\frac{a-b}{2}=\frac{a+b}{2}$.
解析
【分析】
(1)①要求AE的长度，已知E是AB中点，因此需先求出AB的长：根据线段和差关系，AB=AD-BD，代入AD和BD的数值算出AB后，再根据中点定义，AE为AB的一半，即可求出结果。
(1)②要求EF的长度，首先根据AC与AD的占比关系求出AC的长，再计算CD的长度，结合F是CD中点求出CF的长；再用①中求出的AE减去AC得到CE的长，最后根据EF=CF-CE即可算出EF的长度。
(2)和(1)②的解题逻辑一致，仅将数值替换为字母：先由AC=1/3 AD=a推出AD=3a，依次求出CD、CF的长度；再通过AB=AD-BD求出AB，结合E是AB中点求出AE，进而算出CE的长度，最后代入EF=CF-CE化简即可得到结果。
【解析】
(1)①
∵$AD=30\ \mathrm{cm}$，$BD=6\ \mathrm{cm}$，
∴$AB=AD-BD=30-6=24\ \mathrm{cm}$，
∵E是AB的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12\ \mathrm{cm}$。
②
∵$AC=\frac{1}{3}AD$，$AD=30\ \mathrm{cm}$，
∴$AC=\frac{1}{3}×30=10\ \mathrm{cm}$，
∴$CD=AD-AC=30-10=20\ \mathrm{cm}$，
∵F是CD的中点，
∴$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×20=10\ \mathrm{cm}$，
由①得$AE=12\ \mathrm{cm}$，
∴$CE=AE-AC=12-10=2\ \mathrm{cm}$，
∴$EF=CF-CE=10-2=8\ \mathrm{cm}$。
(2)
∵$AC=\frac{1}{3}AD=a$，
∴$AD=3a$，
∴$CD=AD-AC=3a-a=2a$，
∵F是CD的中点，
∴$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×2a=a$，
∵$AD=3a$，$BD=b$，
∴$AB=AD-BD=3a-b$，
∵E是AB的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(3a-b)$，
∴$CE=AE-AC=\frac{1}{2}(3a-b)-a=\frac{3a-b-2a}{2}=\frac{a-b}{2}$，
∴$EF=CF-CE=a-\frac{a-b}{2}=\frac{2a-a+b}{2}=\frac{a+b}{2}$。
【答案】
(1)① $\boldsymbol{12\ \mathrm{cm}}$；② $\boldsymbol{8\ \mathrm{cm}}$
(2) $\boldsymbol{EF=\frac{a+b}{2}}$
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的定义；代数式表示线段
【点评】
本题侧重考察线段和差运算与线段中点性质的应用，解题的关键是理清各线段之间的数量关系，按照“由已知推导未知”的逻辑逐步求解，数值计算和代数式推导的思路一致，只要明确线段的加减关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1)①要求AE的长度，已知E是AB中点，因此需先求出AB的长：根据线段和差关系，AB=AD-BD，代入AD和BD的数值算出AB后，再根据中点定义，AE为AB的一半，即可求出结果。
(1)②要求EF的长度，首先根据AC与AD的占比关系求出AC的长，再计算CD的长度，结合F是CD中点求出CF的长；再用①中求出的AE减去AC得到CE的长，最后根据EF=CF-CE即可算出EF的长度。
(2)和(1)②的解题逻辑一致，仅将数值替换为字母：先由AC=1/3 AD=a推出AD=3a，依次求出CD、CF的长度；再通过AB=AD-BD求出AB，结合E是AB中点求出AE，进而算出CE的长度，最后代入EF=CF-CE化简即可得到结果。
【解析】
(1)①
∵$AD=30\ \mathrm{cm}$，$BD=6\ \mathrm{cm}$，
∴$AB=AD-BD=30-6=24\ \mathrm{cm}$，
∵E是AB的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12\ \mathrm{cm}$。
②
∵$AC=\frac{1}{3}AD$，$AD=30\ \mathrm{cm}$，
∴$AC=\frac{1}{3}×30=10\ \mathrm{cm}$，
∴$CD=AD-AC=30-10=20\ \mathrm{cm}$，
∵F是CD的中点，
∴$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×20=10\ \mathrm{cm}$，
由①得$AE=12\ \mathrm{cm}$，
∴$CE=AE-AC=12-10=2\ \mathrm{cm}$，
∴$EF=CF-CE=10-2=8\ \mathrm{cm}$。
(2)
∵$AC=\frac{1}{3}AD=a$，
∴$AD=3a$，
∴$CD=AD-AC=3a-a=2a$，
∵F是CD的中点，
∴$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×2a=a$，
∵$AD=3a$，$BD=b$，
∴$AB=AD-BD=3a-b$，
∵E是AB的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(3a-b)$，
∴$CE=AE-AC=\frac{1}{2}(3a-b)-a=\frac{3a-b-2a}{2}=\frac{a-b}{2}$，
∴$EF=CF-CE=a-\frac{a-b}{2}=\frac{2a-a+b}{2}=\frac{a+b}{2}$。
【答案】
(1)① $\boldsymbol{12\ \mathrm{cm}}$；② $\boldsymbol{8\ \mathrm{cm}}$
(2) $\boldsymbol{EF=\frac{a+b}{2}}$
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的定义；代数式表示线段
【点评】
本题侧重考察线段和差运算与线段中点性质的应用，解题的关键是理清各线段之间的数量关系，按照“由已知推导未知”的逻辑逐步求解，数值计算和代数式推导的思路一致，只要明确线段的加减关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
