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10.如果线段$AB=6\ \mathrm{cm},BC=3\ \mathrm{cm}$,且$A,B,C$在同一条直线上,那么$A,C$两点间的距离是
3或9
$\mathrm{cm}.$答案
10.3或9
解析
【分析】
本题中A、B、C三点共线，但未明确点C的位置，因此需要分两种情况讨论：①点C在线段AB之间；②点C在线段AB的延长线上。再结合线段的和差关系分别计算两种情况下A、C两点的距离即可。
【解析】
已知A、B、C三点在同一条直线上，分两种情况计算：
1. 当点C在线段AB上时：
$AC = AB - BC = 6\ \mathrm{cm} - 3\ \mathrm{cm} = 3\ \mathrm{cm}$
2. 当点C在线段AB的延长线上（即点B位于A、C两点之间）时：
$AC = AB + BC = 6\ \mathrm{cm} + 3\ \mathrm{cm} = 9\ \mathrm{cm}$
综上，A、C两点间的距离为3cm或9cm。
【答案】
3或9
【知识点】
两点间的距离、线段的和差计算、分类讨论思想
【点评】
本题是易错题，解题的关键是明确三点共线时，未明确各点位置的情况下要分类讨论所有可能的位置关系，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题中A、B、C三点共线，但未明确点C的位置，因此需要分两种情况讨论：①点C在线段AB之间；②点C在线段AB的延长线上。再结合线段的和差关系分别计算两种情况下A、C两点的距离即可。
【解析】
已知A、B、C三点在同一条直线上，分两种情况计算：
1. 当点C在线段AB上时：
$AC = AB - BC = 6\ \mathrm{cm} - 3\ \mathrm{cm} = 3\ \mathrm{cm}$
2. 当点C在线段AB的延长线上（即点B位于A、C两点之间）时：
$AC = AB + BC = 6\ \mathrm{cm} + 3\ \mathrm{cm} = 9\ \mathrm{cm}$
综上，A、C两点间的距离为3cm或9cm。
【答案】
3或9
【知识点】
两点间的距离、线段的和差计算、分类讨论思想
【点评】
本题是易错题，解题的关键是明确三点共线时，未明确各点位置的情况下要分类讨论所有可能的位置关系，避免漏解。
【难度系数】
0.7
11.如图,点C在线段AB上,点D是线段AC的中点,$CB=\frac{1}{2}CD$.若$CB=1$,则线段AB的长为
5
.答案
11.5
解析
【分析】
解题时先从已知的CB长度和CB与CD的数量关系入手，先求出CD的长度；再利用线段中点的性质，即中点将线段分为长度相等的两段，求出AC的长度；最后根据线段AB由AC和CB两段组成，将两者长度相加即可得到AB的长。
【解析】
解：已知$CB=\frac{1}{2}CD$，且$CB=1$，
$\therefore CD=2CB=2×1=2$，
$\because$点D是线段AC的中点，
$\therefore AC=2CD=2×2=4$，
又$\because$线段AB是AC与CB的和，
$\therefore AB=AC+CB=4+1=5$。
【答案】
5
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差计算
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，解题核心是结合线段中点的性质和已知的线段数量关系，逐步推导未知线段的长度，只要理清各线段之间的位置和数量关系就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的CB长度和CB与CD的数量关系入手，先求出CD的长度；再利用线段中点的性质，即中点将线段分为长度相等的两段，求出AC的长度；最后根据线段AB由AC和CB两段组成，将两者长度相加即可得到AB的长。
【解析】
解：已知$CB=\frac{1}{2}CD$，且$CB=1$，
$\therefore CD=2CB=2×1=2$，
$\because$点D是线段AC的中点，
$\therefore AC=2CD=2×2=4$，
又$\because$线段AB是AC与CB的和，
$\therefore AB=AC+CB=4+1=5$。
【答案】
5
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差计算
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，解题核心是结合线段中点的性质和已知的线段数量关系，逐步推导未知线段的长度，只要理清各线段之间的位置和数量关系就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
12.已知线段$AB=1.8\ \mathrm{cm}$，延长$AB$至点$C$，使得$BC=3AB$，$D$为$BC$的中点，则$B$，$D$两点间的距离是
2.7
$\mathrm{cm}.$答案
12.2.7
解析
【分析】
解题时先根据题目给出的BC与AB的数量关系求出BC的长度，再结合D是BC中点的性质，可知BD的长度为BC长度的一半，最终计算出的BD长度就是B、D两点间的距离。
【解析】
已知$AB=1.8\ \mathrm{cm}$，且$BC=3AB$，
因此$BC=3×1.8=5.4\ \mathrm{cm}$，
又因为D为BC的中点，根据线段中点的定义，中点可将对应线段分为长度相等的两段，
所以$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×5.4=2.7\ \mathrm{cm}$，
即B、D两点间的距离为$2.7\ \mathrm{cm}$。
【答案】
2.7
【知识点】
线段长度计算，线段中点的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是准确梳理各线段之间的数量关系，结合中点的性质列式计算即可，认真读题的情况下不容易出错。
【难度系数】
0.8
解题时先根据题目给出的BC与AB的数量关系求出BC的长度，再结合D是BC中点的性质，可知BD的长度为BC长度的一半，最终计算出的BD长度就是B、D两点间的距离。
【解析】
已知$AB=1.8\ \mathrm{cm}$，且$BC=3AB$，
因此$BC=3×1.8=5.4\ \mathrm{cm}$，
又因为D为BC的中点，根据线段中点的定义，中点可将对应线段分为长度相等的两段，
所以$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×5.4=2.7\ \mathrm{cm}$，
即B、D两点间的距离为$2.7\ \mathrm{cm}$。
【答案】
2.7
【知识点】
线段长度计算，线段中点的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是准确梳理各线段之间的数量关系，结合中点的性质列式计算即可，认真读题的情况下不容易出错。
【难度系数】
0.8
13.已知A,B,C是数轴上三个点,点A表示的数为-1,线段AB的长为4,C是线段AB上一点,BC=2,点D是线段AC的中点,则点D表示的数为
-2或0
.答案
13.-2或0
解析
【分析】
解题时首先要注意数轴上到已知点距离为定值的点有两个，分别位于已知点的左右两侧，因此需分两种情况讨论点B的位置：①点B在点A右侧；②点B在点A左侧。先根据AB的长度计算出点B对应的数，再结合BC的长度求出点C对应的数，最后利用线段中点的性质（中点表示的数为两端点表示数的平均值）计算点D表示的数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当点B在点A的右侧时：
∵ 点A表示的数为-1，AB=4
∴ 点B表示的数为：$-1 + 4 = 3$
∵ 点C在线段AB上，BC=2
∴ 点C表示的数为：$3 - 2 = 1$
∵ D是线段AC的中点
∴ 点D表示的数为：$\frac{-1 + 1}{2} = 0$
② 当点B在点A的左侧时：
∵ 点A表示的数为-1，AB=4
∴ 点B表示的数为：$-1 - 4 = -5$
∵ 点C在线段AB上，BC=2
∴ 点C表示的数为：$-5 + 2 = -3$
∵ D是线段AC的中点
∴ 点D表示的数为：$\frac{-1 + (-3)}{2} = -2$
综上，点D表示的数为-2或0。
【答案】
-2或0
【知识点】
数轴的应用；线段中点计算；分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题的关键是考虑到点B位置的两种可能性，避免漏解，同时要熟练掌握数轴上线段长度和点对应的数之间的转换方法，以及线段中点的计算规则。
【难度系数】
0.6
解题时首先要注意数轴上到已知点距离为定值的点有两个，分别位于已知点的左右两侧，因此需分两种情况讨论点B的位置：①点B在点A右侧；②点B在点A左侧。先根据AB的长度计算出点B对应的数，再结合BC的长度求出点C对应的数，最后利用线段中点的性质（中点表示的数为两端点表示数的平均值）计算点D表示的数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当点B在点A的右侧时：
∵ 点A表示的数为-1，AB=4
∴ 点B表示的数为：$-1 + 4 = 3$
∵ 点C在线段AB上，BC=2
∴ 点C表示的数为：$3 - 2 = 1$
∵ D是线段AC的中点
∴ 点D表示的数为：$\frac{-1 + 1}{2} = 0$
② 当点B在点A的左侧时：
∵ 点A表示的数为-1，AB=4
∴ 点B表示的数为：$-1 - 4 = -5$
∵ 点C在线段AB上，BC=2
∴ 点C表示的数为：$-5 + 2 = -3$
∵ D是线段AC的中点
∴ 点D表示的数为：$\frac{-1 + (-3)}{2} = -2$
综上，点D表示的数为-2或0。
【答案】
-2或0
【知识点】
数轴的应用；线段中点计算；分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题的关键是考虑到点B位置的两种可能性，避免漏解，同时要熟练掌握数轴上线段长度和点对应的数之间的转换方法，以及线段中点的计算规则。
【难度系数】
0.6
14.如图,平面上有A,B,C,D四个村庄,为解决当地缺水问题,政府准备投资修建一个蓄水池.不考虑其他因素,请画图确定蓄水池H的位置,使它与四个村庄的距离之和最小,并说明理由. 
答案
14.解:图略,连接AC,BD,它们的交点就是蓄水池H的位置,这一点到A,B,C,D四点的距离之和最小.理由:两点之间线段最短.
解析
【分析】
要找到与四个村庄距离之和最小的点，我们可以将问题拆分：首先思考到A、C两点距离之和最小的点的位置，根据“两点之间线段最短”，这类点都落在线段AC上；同理，到B、D两点距离之和最小的点都落在线段BD上。同时满足这两个条件的点，就是线段AC和BD的交点，该点即可满足到四个点的距离总和最小。
【解析】
1. 作图步骤：分别连接线段AC、BD，两条线段的交点记为H，点H就是所求的蓄水池位置。
2. 理由说明：假设平面内有任意一个不同于H的点H'，根据两点之间线段最短可知：$H'A + H'C ＞ AC$，$H'B + H'D ＞ BD$，因此H'到四个点的距离和$H'A+H'B+H'C+H'D ＞ AC+BD$。
而点H同时在AC、BD上，因此$HA+HC=AC$，$HB+HD=BD$，即H到四个点的距离和为$AC+BD$，是所有可能的取值中最小的。
【答案】
连接AC、BD，它们的交点就是蓄水池H的位置，这一点到A、B、C、D四点的距离之和最小，理由是两点之间线段最短。
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 最短路径选址
【点评】
本题是线段性质的实际应用类题目，核心是将多点距离和的问题拆解为两组两点距离和问题，结合线段的基本性质即可快速求解，是最短路径类问题的基础典型题。
【难度系数】
0.7
要找到与四个村庄距离之和最小的点，我们可以将问题拆分：首先思考到A、C两点距离之和最小的点的位置，根据“两点之间线段最短”，这类点都落在线段AC上；同理，到B、D两点距离之和最小的点都落在线段BD上。同时满足这两个条件的点，就是线段AC和BD的交点，该点即可满足到四个点的距离总和最小。
【解析】
1. 作图步骤：分别连接线段AC、BD，两条线段的交点记为H，点H就是所求的蓄水池位置。
2. 理由说明：假设平面内有任意一个不同于H的点H'，根据两点之间线段最短可知：$H'A + H'C ＞ AC$，$H'B + H'D ＞ BD$，因此H'到四个点的距离和$H'A+H'B+H'C+H'D ＞ AC+BD$。
而点H同时在AC、BD上，因此$HA+HC=AC$，$HB+HD=BD$，即H到四个点的距离和为$AC+BD$，是所有可能的取值中最小的。
【答案】
连接AC、BD，它们的交点就是蓄水池H的位置，这一点到A、B、C、D四点的距离之和最小，理由是两点之间线段最短。
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 最短路径选址
【点评】
本题是线段性质的实际应用类题目，核心是将多点距离和的问题拆解为两组两点距离和问题，结合线段的基本性质即可快速求解，是最短路径类问题的基础典型题。
【难度系数】
0.7
15. 如图,已知线段 AB,请按要求解答下列问题.
(1)尺规作图:延长线段 AB 到点 C,使 BC=AB;反向延长线段 AB 到点 D,使 AD=2AB.
(2)在(1)所作的图中,已知 AB=2 cm.
①求线段 CD 的长.
②设 P 是线段 BD 的中点,求线段 CP 的长.
(1)尺规作图:延长线段 AB 到点 C,使 BC=AB;反向延长线段 AB 到点 D,使 AD=2AB.
(2)在(1)所作的图中,已知 AB=2 cm.
①求线段 CD 的长.
②设 P 是线段 BD 的中点,求线段 CP 的长.
答案
15.解:(1)图略.
(2)①$\because AB=2\ \mathrm{cm},\therefore BC=AB=2\mathrm{cm},AD=2AB=4\ \mathrm{cm}.\therefore CD=AD+AB+BC=4+2+2=8(\mathrm{cm}).$
②$\because AD=4\ \mathrm{cm},AB=2\ \mathrm{cm},\therefore BD=AD+AB=4+2=6(\mathrm{cm}).$又$\because P$是线段$BD$的中点,$\therefore BP=\frac{1}{2}BD=3\ \mathrm{cm}.$
$\therefore CP=BC+BP=2+3=5(\mathrm{cm}).$
(2)①$\because AB=2\ \mathrm{cm},\therefore BC=AB=2\mathrm{cm},AD=2AB=4\ \mathrm{cm}.\therefore CD=AD+AB+BC=4+2+2=8(\mathrm{cm}).$
②$\because AD=4\ \mathrm{cm},AB=2\ \mathrm{cm},\therefore BD=AD+AB=4+2=6(\mathrm{cm}).$又$\because P$是线段$BD$的中点,$\therefore BP=\frac{1}{2}BD=3\ \mathrm{cm}.$
$\therefore CP=BC+BP=2+3=5(\mathrm{cm}).$
解析
【分析】
(1) 尺规作图部分：先明确作图方向，延长AB到C时，用圆规量取AB的长度，以B为圆心、AB长为半径画弧，与AB延长线的交点即为C；反向延长AB到D时，量取2倍AB的长度，以A为圆心、2AB长为半径画弧，与AB反向延长线的交点即为D。
(2) 计算部分：首先确定四点在直线上的顺序为D、A、B、C，①求CD长时，先根据已知AB长度求出BC、AD的长度，再将三段线段相加即可；②求CP长时，先算出BD的总长度，根据中点定义求出BP的长度，再将BC与BP相加即可得到结果。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 延长线段AB，将圆规两脚张开至与AB长度相等，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交AB的延长线于点C，此时$BC=AB$；
② 反向延长线段AB，将圆规两脚张开至2倍AB的长度，以点A为圆心，2AB长为半径画弧，交AB的反向延长线于点D，此时$AD=2AB$，作图完成。
(2) ① 已知$AB=2\ \mathrm{cm}$，由作图可知$BC=AB=2\ \mathrm{cm}$，$AD=2AB=2×2=4\ \mathrm{cm}$，
因此$CD=AD+AB+BC=4+2+2=8(\mathrm{cm})$。
② 先计算BD的长度：$BD=AD+AB=4+2=6(\mathrm{cm})$，
因为P是线段BD的中点，根据线段中点的定义，可得$BP=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×6=3(\mathrm{cm})$，
因此$CP=BC+BP=2+3=5(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) 作图见解析；
(2) ① 线段$CD$的长为$8\ \mathrm{cm}$；② 线段$CP$的长为$5\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
尺规作线段，线段的和差计算，线段中点的定义
【点评】
本题结合尺规作图和线段计算考查基础操作能力和线段数量关系分析能力，解题核心是明确各点的位置顺序，准确梳理线段间的和差关系，是线段章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
(1) 尺规作图部分：先明确作图方向，延长AB到C时，用圆规量取AB的长度，以B为圆心、AB长为半径画弧，与AB延长线的交点即为C；反向延长AB到D时，量取2倍AB的长度，以A为圆心、2AB长为半径画弧，与AB反向延长线的交点即为D。
(2) 计算部分：首先确定四点在直线上的顺序为D、A、B、C，①求CD长时，先根据已知AB长度求出BC、AD的长度，再将三段线段相加即可；②求CP长时，先算出BD的总长度，根据中点定义求出BP的长度，再将BC与BP相加即可得到结果。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 延长线段AB，将圆规两脚张开至与AB长度相等，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交AB的延长线于点C，此时$BC=AB$；
② 反向延长线段AB，将圆规两脚张开至2倍AB的长度，以点A为圆心，2AB长为半径画弧，交AB的反向延长线于点D，此时$AD=2AB$，作图完成。
(2) ① 已知$AB=2\ \mathrm{cm}$，由作图可知$BC=AB=2\ \mathrm{cm}$，$AD=2AB=2×2=4\ \mathrm{cm}$，
因此$CD=AD+AB+BC=4+2+2=8(\mathrm{cm})$。
② 先计算BD的长度：$BD=AD+AB=4+2=6(\mathrm{cm})$，
因为P是线段BD的中点，根据线段中点的定义，可得$BP=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×6=3(\mathrm{cm})$，
因此$CP=BC+BP=2+3=5(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) 作图见解析；
(2) ① 线段$CD$的长为$8\ \mathrm{cm}$；② 线段$CP$的长为$5\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
尺规作线段，线段的和差计算，线段中点的定义
【点评】
本题结合尺规作图和线段计算考查基础操作能力和线段数量关系分析能力，解题核心是明确各点的位置顺序，准确梳理线段间的和差关系，是线段章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
16.如图,已知$AB:BC:CD=2:3:4$,E,F分别为线段AB,CD的中点,且$EF=15$,求线段AD的长. 
答案
16.解:设$AB=2x,BC=3x,CD=4x.$$\because E,F$分别是$AB,CD$的中点,$\therefore BE=\frac{1}{2}AB=x,CF=\frac{1}{2}CD=2x.$$\because EF=15$,
$\therefore BE+BC+CF=15,即x+3x+2x=15,解得x=\frac{5}{2}.$
$\therefore AD=AB+BC+CD=2x+3x+4x=9x=\frac{45}{2}.$
$\therefore BE+BC+CF=15,即x+3x+2x=15,解得x=\frac{5}{2}.$
$\therefore AD=AB+BC+CD=2x+3x+4x=9x=\frac{45}{2}.$
解析
【分析】
遇到给出线段比例关系的计算问题，可通过设参数的方法简化计算：首先根据AB、BC、CD的比例关系设每份长度为x，将三段线段分别用含x的代数式表示；再结合线段中点的性质，求出BE、CF的长度表达式；观察图形可知EF由BE、BC、CF三段组成，结合EF=15的已知条件列方程求解x的值；最后AD是AB、BC、CD三段的和，代入x的值即可求出AD的长度。
【解析】
解：设$AB=2x$，$BC=3x$，$CD=4x$。
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴$BE=\frac{1}{2}AB=x$，$CF=\frac{1}{2}CD=2x$。
已知$EF=15$，由线段和差关系可得$EF=BE+BC+CF$，
代入得：$x+3x+2x=15$，
合并同类项得$6x=15$，
解得$x=\frac{5}{2}$。
又
∵$AD=AB+BC+CD=2x+3x+4x=9x$，
将$x=\frac{5}{2}$代入得：$AD=9×\frac{5}{2}=\frac{45}{2}$。
【答案】
$\frac{45}{2}$
【知识点】
线段中点的性质、线段的和差计算、参数法求解线段长度
【点评】
本题是线段长度计算的基础题型，核心是结合比例设参数，利用线段中点性质和和差关系建立方程求解，掌握该方法可快速解决同类线段计算问题。
【难度系数】
0.8
遇到给出线段比例关系的计算问题，可通过设参数的方法简化计算：首先根据AB、BC、CD的比例关系设每份长度为x，将三段线段分别用含x的代数式表示；再结合线段中点的性质，求出BE、CF的长度表达式；观察图形可知EF由BE、BC、CF三段组成，结合EF=15的已知条件列方程求解x的值；最后AD是AB、BC、CD三段的和，代入x的值即可求出AD的长度。
【解析】
解：设$AB=2x$，$BC=3x$，$CD=4x$。
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴$BE=\frac{1}{2}AB=x$，$CF=\frac{1}{2}CD=2x$。
已知$EF=15$，由线段和差关系可得$EF=BE+BC+CF$，
代入得：$x+3x+2x=15$，
合并同类项得$6x=15$，
解得$x=\frac{5}{2}$。
又
∵$AD=AB+BC+CD=2x+3x+4x=9x$，
将$x=\frac{5}{2}$代入得：$AD=9×\frac{5}{2}=\frac{45}{2}$。
【答案】
$\frac{45}{2}$
【知识点】
线段中点的性质、线段的和差计算、参数法求解线段长度
【点评】
本题是线段长度计算的基础题型，核心是结合比例设参数，利用线段中点性质和和差关系建立方程求解，掌握该方法可快速解决同类线段计算问题。
【难度系数】
0.8
