22. 如图,已知A,B,C是数轴上的三个点.

(1)请直接写出点A,C表示的数.
(2)在此数轴上有M,P,Q三个动点,动点M从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动;同时动点P,Q分别从点B,C处出发,分别以每秒2个单位长度和每秒5个单位长度的速度沿数轴向右运动.
①写出运动t秒时,点P表示的数(用含t的式子表示).
②若点P与点M之间的距离表示为PM,点P与点Q之间的距离表示为PQ.试探究:PQ-PM的值是否随时间t的变化而变化?若变化,请说明理由;若不变,请求其常数值.

解:(1)由数轴可知,点A表示$-2$,点C表示5.
(2)①运动$t$秒时,点P表示的数为$2t+1.$
②$PQ-PM$的值不变,其值为1.由题意可知,运动$t$秒时,点Q表示的数为$5t+5$,点M表示的数为$-2-t$,$\therefore PM=2t+1-(-2-t)=3t+3$,$PQ=5t+5-(2t+1)=3t+4$.$\therefore PQ-PM=3t+4-(3t+3)=4-3=1.$

【分析】
（1）确定数轴上点表示的数时，先明确原点和单位长度：本题原点为0，单位长度是1，观察点A、C相对于原点的位置和距离，即可直接读出对应的数。
（2）① 数轴上向右运动的点，最终表示的数=出发点对应的数+速度×运动时间，P从表示1的点B向右运动，代入对应数值就能得到含t的表达式。
② 要判断PQ-PM是否随t变化，首先要分别写出t秒后M、Q两点表示的数，再根据“数轴上右侧点表示的数减左侧点表示的数就是两点间距离”，分别写出PM、PQ的表达式，再代入PQ-PM化简，若化简结果不含t，则为定值，否则随t变化。
【解析】
(1) 观察数轴可得：单位长度为1，点A在0左侧，距离0有2个单位长度，因此A表示的数为-2；点C在1右侧，距离1有4个单位长度，$1+4=5$，因此C表示的数为5。
(2) ① 动点P从点B（表示数1）出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，t秒后移动的距离为$2t$，因此运动t秒时，点P表示的数为$1+2t=2t+1$。
② PQ-PM的值不随时间t的变化而变化，推导如下：
运动t秒时：
动点M从A（-2）向左运动，速度为每秒1个单位长度，因此M表示的数为$-2-t$；
动点Q从C（5）向右运动，速度为每秒5个单位长度，因此Q表示的数为$5+5t$。
根据两点距离的计算规则：
$PM=(2t+1)-(-2-t)=2t+1+2+t=3t+3$
$PQ=(5t+5)-(2t+1)=5t+5-2t-1=3t+4$
因此$PQ-PM=(3t+4)-(3t+3)=1$，化简后不含t，为定值。
【答案】
(1) 点A表示$\boldsymbol{-2}$，点C表示$\boldsymbol{5}$；
(2) ① 点P表示的数为$\boldsymbol{2t+1}$；
② PQ-PM的值不变，常数值为$\boldsymbol{1}$。
【知识点】
数轴的认识；动点问题；整式的加减
【点评】
本题是数轴结合动点的基础题型，重点考察数形结合思想的应用，解题的关键是掌握数轴上运动后点的表示方法，以及两点距离的计算规则，通过整式化简即可判断代数式是否为定值。
【难度系数】
0.7

23. 观察下列等式：
第1个等式：$a_1=\frac{1}{1×3}=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3})$；
第2个等式：$a_2=\frac{1}{3×5}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})$；
第3个等式：$a_3=\frac{1}{5×7}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})$；
第4个等式：$a_4=\frac{1}{7×9}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{7}-\frac{1}{9})$；
……
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：$a_5=\_\_\_\_\_\_$；
(2)用含n的代数式表示第n个等式：$a_n=\_\_\_\_\_\_$（n为正整数）；
(3)求$a_1+a_2+a_3+a_4+…+a_{100}$的值。

解:(1)$\dfrac{1}{9×11}=\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{11})$
(2)$\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1})$
(3)$a_1+a_2+a_3+a_4+…+a_{100}=$$\dfrac{1}{2}×(1-\dfrac{1}{3})+\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5})+\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7})+\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{9})+…+\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{199}-\dfrac{1}{201})=\dfrac{1}{2}×(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{9}+…+\dfrac{1}{199}-\dfrac{1}{201})=\dfrac{1}{2}×(1-\dfrac{1}{201})=\dfrac{1}{2}×\dfrac{200}{201}=\dfrac{100}{201}.$

【分析】
首先观察给出的前4个等式，可发现规律：每个等式左侧的分数分子均为1，分母是两个连续奇数的乘积；等式右侧均为$\frac{1}{2}$乘这两个奇数的倒数之差。(1)第5个等式的分母对应第4个等式之后的两个连续奇数9和11，按规律书写即可；(2)第n个等式的两个连续奇数可表示为$2n-1$和$2n+1$，代入规律即可得到含n的表达式；(3)求和时将每个$a_n$拆分为右侧的形式，提取公因式$\frac{1}{2}$后，中间互为相反数的项可相互抵消，仅剩首尾两项，计算即可得结果。
【解析】
(1)根据规律，第5个等式的分母为9和11，因此：
$a_5=\frac{1}{9×11}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})$
(2)第n个等式的两个连续奇数为$2n-1$和$2n+1$，因此：
$a_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$（n为正整数）
(3)将各$a_i$的拆分式代入求和：
$\begin{aligned}a_1+a_2+a_3+…+a_{100}&=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+…+\frac{1}{2}×(\frac{1}{199}-\frac{1}{201})\\&=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{199}-\frac{1}{201})\\&=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{201})\\&=\frac{1}{2}×\frac{200}{201}\\&=\frac{100}{201}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{1}{9×11}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})$
(2)$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$
(3)$\frac{100}{201}$
【知识点】
数字规律探究，裂项相消求和，代数式表示
【点评】
本题是典型的数字规律类题型，重点考查观察归纳能力和裂项相消的运算技巧，解题核心是准确总结分数拆分的规律，利用中间项抵消简化运算，属于规律探究类的常考题型。
【难度系数】
0.7