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|变式训练2| 如图,在$△ ABC$中,已知$AB=AC$,点D是BC边的中点,点E在AD上,则下列结论中不一定正确的是(
A.$AD⊥ BC$
B.$AE=BE$
C.$∠ EBC=∠ ECB$
D.$∠ ABE=∠ ACE$
B
)A.$AD⊥ BC$
B.$AE=BE$
C.$∠ EBC=∠ ECB$
D.$∠ ABE=∠ ACE$
答案
B
解析
【分析】
解题时先结合已知条件$AB=AC$、D是BC中点，回忆等腰三角形“三线合一”的性质确定AD的性质，再结合垂直平分线的性质、全等三角形的判定逐一分析每个选项，判断结论是否一定成立即可。
【解析】
已知$△ ABC$中$AB=AC$，即$△ ABC$是等腰三角形，且D是BC的中点：
1. 判断选项A：根据等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形底边上的中线同时是底边上的高，因此$AD⊥ BC$，A结论一定正确，不符合题意；
2. 由$AD⊥ BC$、D是BC中点，可知AD是线段BC的垂直平分线，点E在AD上，根据“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得$BE=CE$，因此$△ BEC$是等腰三角形，可得$∠ EBC=∠ ECB$，C结论一定正确，不符合题意；
3. 根据等腰三角形三线合一，AD也是$∠ BAC$的角平分线，即$∠ BAE=∠ CAE$，在$△ ABE$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}AB=AC\\∠ BAE=∠ CAE\\AE=AE\end{cases}$
因此$△ ABE≌△ ACE$（SAS），可得$∠ ABE=∠ ACE$，D结论一定正确，不符合题意；
4. 判断选项B：题干没有给出可证明$AE=BE$的条件，仅在特殊角度下该结论才成立，因此$AE=BE$不一定正确，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题围绕等腰三角形的性质设题，解题的关键是熟练运用三线合一、垂直平分线的性质，结合全等三角形的判定逐一验证选项，做题时注意审题，明确题目要求选择“不一定正确”的结论，避免因看错要求失分。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件$AB=AC$、D是BC中点，回忆等腰三角形“三线合一”的性质确定AD的性质，再结合垂直平分线的性质、全等三角形的判定逐一分析每个选项，判断结论是否一定成立即可。
【解析】
已知$△ ABC$中$AB=AC$，即$△ ABC$是等腰三角形，且D是BC的中点：
1. 判断选项A：根据等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形底边上的中线同时是底边上的高，因此$AD⊥ BC$，A结论一定正确，不符合题意；
2. 由$AD⊥ BC$、D是BC中点，可知AD是线段BC的垂直平分线，点E在AD上，根据“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得$BE=CE$，因此$△ BEC$是等腰三角形，可得$∠ EBC=∠ ECB$，C结论一定正确，不符合题意；
3. 根据等腰三角形三线合一，AD也是$∠ BAC$的角平分线，即$∠ BAE=∠ CAE$，在$△ ABE$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}AB=AC\\∠ BAE=∠ CAE\\AE=AE\end{cases}$
因此$△ ABE≌△ ACE$（SAS），可得$∠ ABE=∠ ACE$，D结论一定正确，不符合题意；
4. 判断选项B：题干没有给出可证明$AE=BE$的条件，仅在特殊角度下该结论才成立，因此$AE=BE$不一定正确，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题围绕等腰三角形的性质设题，解题的关键是熟练运用三线合一、垂直平分线的性质，结合全等三角形的判定逐一验证选项，做题时注意审题，明确题目要求选择“不一定正确”的结论，避免因看错要求失分。
【难度系数】
0.7
1.已知$(a-4)^2 + |b-6|=0$，则以$a,b$为边长的等腰三角形的周长为(
A.14
B.16
C.13
D.14或16
D
)A.14
B.16
C.13
D.14或16
答案
D
解析
【分析】
首先根据平方和绝对值的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，据此求出a、b的数值。接下来结合等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论：①以a为腰长，b为底边长；②以b为腰长，a为底边长。最后每种情况都要验证三边是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），符合条件的再计算周长即可。
【解析】
解：
∵$(a-4)^2≥0$，$|b-6|≥0$，且$(a-4)^2 + |b-6|=0$
∴$a-4=0$，$b-6=0$
解得$a=4$，$b=6$
分两种情况讨论等腰三角形的边长：
①当腰长为4，底边长为6时，三角形三边长为4、4、6
∵$4+4=8＞6$，满足三角形三边关系
此时周长为$4+4+6=14$
②当腰长为6，底边长为4时，三角形三边长为6、6、4
∵$4+6=10＞6$，满足三角形三边关系
此时周长为$6+6+4=16$
综上，等腰三角形的周长为14或16。
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于易错题，解题时需注意对等腰三角形的腰长进行分类讨论，同时必须验证三边是否符合三角形的构成条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
首先根据平方和绝对值的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，据此求出a、b的数值。接下来结合等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论：①以a为腰长，b为底边长；②以b为腰长，a为底边长。最后每种情况都要验证三边是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），符合条件的再计算周长即可。
【解析】
解：
∵$(a-4)^2≥0$，$|b-6|≥0$，且$(a-4)^2 + |b-6|=0$
∴$a-4=0$，$b-6=0$
解得$a=4$，$b=6$
分两种情况讨论等腰三角形的边长：
①当腰长为4，底边长为6时，三角形三边长为4、4、6
∵$4+4=8＞6$，满足三角形三边关系
此时周长为$4+4+6=14$
②当腰长为6，底边长为4时，三角形三边长为6、6、4
∵$4+6=10＞6$，满足三角形三边关系
此时周长为$6+6+4=16$
综上，等腰三角形的周长为14或16。
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于易错题，解题时需注意对等腰三角形的腰长进行分类讨论，同时必须验证三边是否符合三角形的构成条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
2.如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠AED的度数为(
A.$10°$
B.$15°$
C.$30°$
D.$120°$
B
)A.$10°$
B.$15°$
C.$30°$
D.$120°$
答案
B
解析
【分析】
解题时先回忆正方形、等边三角形的性质：正方形四条边相等，内角为90°；等边三角形三条边相等，内角为60°。首先结合两者的边的性质推导AD=DE，得到△ADE是等腰三角形，再计算出等腰三角形的顶角∠ADE的度数，最后利用等腰三角形两个底角相等的性质计算∠AED的度数即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD = CD，∠ADC = 90°，
∵△CDE是等边三角形，
∴CD = DE，∠CDE = 60°，
∴AD = DE，∠ADE = ∠ADC + ∠CDE = 90° + 60° = 150°，
∴△ADE为等腰三角形，∠DAE = ∠AED，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠AED = (180° - ∠ADE) ÷ 2 = (180° - 150°) ÷ 2 = 15°。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；等边三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于特殊多边形性质的综合基础题，解题核心是通过正方形和等边三角形的边、角性质，确定等腰三角形，再结合三角形内角和计算角度，计算时注意角度和差不要出错。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆正方形、等边三角形的性质：正方形四条边相等，内角为90°；等边三角形三条边相等，内角为60°。首先结合两者的边的性质推导AD=DE，得到△ADE是等腰三角形，再计算出等腰三角形的顶角∠ADE的度数，最后利用等腰三角形两个底角相等的性质计算∠AED的度数即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD = CD，∠ADC = 90°，
∵△CDE是等边三角形，
∴CD = DE，∠CDE = 60°，
∴AD = DE，∠ADE = ∠ADC + ∠CDE = 90° + 60° = 150°，
∴△ADE为等腰三角形，∠DAE = ∠AED，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠AED = (180° - ∠ADE) ÷ 2 = (180° - 150°) ÷ 2 = 15°。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；等边三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于特殊多边形性质的综合基础题，解题核心是通过正方形和等边三角形的边、角性质，确定等腰三角形，再结合三角形内角和计算角度，计算时注意角度和差不要出错。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在$△ ABC$中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F。已知下列结论：
①AD平分$∠ BAC$；② DA平分$∠ EDF$；
③AE=AF；④AD上的点到AB,AC两边的距离相等。其中正确的结论有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①AD平分$∠ BAC$；② DA平分$∠ EDF$；
③AE=AF；④AD上的点到AB,AC两边的距离相等。其中正确的结论有(
D
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
D
解析
【分析】
解题时先利用等腰三角形三线合一的性质判断结论①，再结合垂直的条件证明△AED和△AFD全等，根据全等的性质判断结论②和③，最后利用角平分线的性质判断结论④即可。首先已知△ABC是等腰三角形（AB=AC）且AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一可直接得到AD是角平分线，确定①正确；其次AD是∠BAC的平分线，且DE、DF分别垂直AB、AC，可得∠AED=∠AFD=90°，结合公共边AD可证两个三角形全等，得到对应角、对应边相等，即可判断②③；最后根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边距离相等，直接判断④正确。
【解析】
解：
1. 判断结论①：
∵$AB=AC$，$AD⊥BC$，
根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得$AD$平分$∠BAC$，故①正确；
2. 判断结论②③：
∵$AD$平分$∠BAC$，
∴$∠EAD=∠FAD$，
∵$DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴$∠AED=∠AFD=90°$，
在$△AED$和$△AFD$中：
$\{\begin{array}{l}∠ AED=∠ AFD\\ ∠ EAD=∠ FAD\\ AD=AD\end{array} $
∴$△AED≌△AFD$（AAS），
∴$∠ADE=∠ADF$，即$DA$平分$∠EDF$，②正确；
且对应边$AE=AF$，③正确；
3. 判断结论④：
∵$AD$是$∠BAC$的角平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴$AD$上的点到$AB$、$AC$两边的距离相等，故④正确。
综上，①②③④共4个结论都正确。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查等腰三角形、全等三角形、角平分线的基础性质，解题的关键是逐一推导每个结论，不要漏判。
【难度系数】
0.8
解题时先利用等腰三角形三线合一的性质判断结论①，再结合垂直的条件证明△AED和△AFD全等，根据全等的性质判断结论②和③，最后利用角平分线的性质判断结论④即可。首先已知△ABC是等腰三角形（AB=AC）且AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一可直接得到AD是角平分线，确定①正确；其次AD是∠BAC的平分线，且DE、DF分别垂直AB、AC，可得∠AED=∠AFD=90°，结合公共边AD可证两个三角形全等，得到对应角、对应边相等，即可判断②③；最后根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边距离相等，直接判断④正确。
【解析】
解：
1. 判断结论①：
∵$AB=AC$，$AD⊥BC$，
根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得$AD$平分$∠BAC$，故①正确；
2. 判断结论②③：
∵$AD$平分$∠BAC$，
∴$∠EAD=∠FAD$，
∵$DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴$∠AED=∠AFD=90°$，
在$△AED$和$△AFD$中：
$\{\begin{array}{l}∠ AED=∠ AFD\\ ∠ EAD=∠ FAD\\ AD=AD\end{array} $
∴$△AED≌△AFD$（AAS），
∴$∠ADE=∠ADF$，即$DA$平分$∠EDF$，②正确；
且对应边$AE=AF$，③正确；
3. 判断结论④：
∵$AD$是$∠BAC$的角平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴$AD$上的点到$AB$、$AC$两边的距离相等，故④正确。
综上，①②③④共4个结论都正确。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查等腰三角形、全等三角形、角平分线的基础性质，解题的关键是逐一推导每个结论，不要漏判。
【难度系数】
0.8
4.如图，已知$△ ABC$是等边三角形，$AB=6$，$BD$是$∠ ABC$的平分线，延长$BC$到点$E$，使$CE=CD$，则$BE$的长度为
9
。答案
9
解析
【分析】
解题时先从已知条件“△ABC是等边三角形”入手，先回忆等边三角形的相关性质：等边三角形三边相等，且角平分线、中线、高三线合一。首先由等边三角形三边相等得到BC的长度，再根据BD是角平分线，结合三线合一可知D是AC的中点，即可求出CD的长度，再由CE=CD得到CE的长度，最后BE是BC与CE的和，相加即可得到结果。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=6，
∴BC=AC=AB=6。
∵BD是∠ABC的平分线，△ABC为等边三角形，根据等边三角形三线合一的性质，
∴BD是AC边上的中线，即D为AC中点，
∴$\displaystyle CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$。
又
∵CE=CD，
∴CE=3，
∴BE=BC+CE=6+3=9。
【答案】
9
【知识点】
等边三角形的性质，三线合一，线段和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是熟练运用等边三角形三线合一的性质得到CD的长度，再结合已知的等线段关系求出CE，最终通过线段和差求出BE，解题时注意梳理清楚各线段之间的数量关系即可。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件“△ABC是等边三角形”入手，先回忆等边三角形的相关性质：等边三角形三边相等，且角平分线、中线、高三线合一。首先由等边三角形三边相等得到BC的长度，再根据BD是角平分线，结合三线合一可知D是AC的中点，即可求出CD的长度，再由CE=CD得到CE的长度，最后BE是BC与CE的和，相加即可得到结果。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=6，
∴BC=AC=AB=6。
∵BD是∠ABC的平分线，△ABC为等边三角形，根据等边三角形三线合一的性质，
∴BD是AC边上的中线，即D为AC中点，
∴$\displaystyle CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$。
又
∵CE=CD，
∴CE=3，
∴BE=BC+CE=6+3=9。
【答案】
9
【知识点】
等边三角形的性质，三线合一，线段和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是熟练运用等边三角形三线合一的性质得到CD的长度，再结合已知的等线段关系求出CE，最终通过线段和差求出BE，解题时注意梳理清楚各线段之间的数量关系即可。
【难度系数】
0.8
5.已知等腰三角形的一个内角等于$40°$,则它的顶角的度数是
40°或100°
。答案
40°或100°
解析
【分析】
解题时首先回忆等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角度数相等，同时结合三角形内角和为180°来思考。题目中仅给出一个内角是40°，没有明确说明这个角是顶角还是底角，因此需要分两种情况分别计算，最后验证两种情况是否都满足三角形内角和要求即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 若已知的40°角为等腰三角形的顶角，则此时顶角的度数就是40°；
2. 若已知的40°角为等腰三角形的底角，根据等腰三角形两底角相等的性质，另一个底角也为40°，则顶角的度数为：$180° - 40° × 2 = 100°$。
两种情况均符合三角形内角和定理，均成立。
【答案】
$40°$或$100°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题解题的关键是明确未指明的内角需要分顶角、底角两种情况讨论，容易出现的错误是只考虑其中一种情况导致漏解，解题后要注意验证所得结果是否符合三角形的基本性质。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角度数相等，同时结合三角形内角和为180°来思考。题目中仅给出一个内角是40°，没有明确说明这个角是顶角还是底角，因此需要分两种情况分别计算，最后验证两种情况是否都满足三角形内角和要求即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 若已知的40°角为等腰三角形的顶角，则此时顶角的度数就是40°；
2. 若已知的40°角为等腰三角形的底角，根据等腰三角形两底角相等的性质，另一个底角也为40°，则顶角的度数为：$180° - 40° × 2 = 100°$。
两种情况均符合三角形内角和定理，均成立。
【答案】
$40°$或$100°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题解题的关键是明确未指明的内角需要分顶角、底角两种情况讨论，容易出现的错误是只考虑其中一种情况导致漏解，解题后要注意验证所得结果是否符合三角形的基本性质。
【难度系数】
0.8
6.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=20$，$BC=16$，$AD$平分$∠ BAC$，交$BC$于点$D$，点$E$为$AC$的中点，连接$DE$。已知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则$△ CDE$的周长为
28
。答案
28
解析
【分析】
解题时首先利用等腰三角形的性质：等腰三角形顶角的平分线同时是底边上的高和中线，由AD平分∠BAC且AB=AC，可得到AD⊥BC、D是BC中点，先求出CD的长度；再结合E是AC中点，利用题干给出的“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的结论，求出DE和CE的长度，最后将△CDE的三边长度相加即可得到周长。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，AD⊥BC，且D为BC的中点，
∴$CD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×16 = 8$，△ADC为直角三角形。
∵点E为AC的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
∴$DE = CE = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×20 = 10$。
∴△CDE的周长 = $CD + DE + CE = 8 + 10 + 10 = 28$。
【答案】
28
【知识点】
等腰三角形三线合一；直角三角形斜边中线性质；三角形周长计算
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是结合等腰三角形和直角三角形的性质推导各边长度，题干直接给出直角三角形斜边中线的结论，降低了记忆门槛，解题思路清晰，属于基础类常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用等腰三角形的性质：等腰三角形顶角的平分线同时是底边上的高和中线，由AD平分∠BAC且AB=AC，可得到AD⊥BC、D是BC中点，先求出CD的长度；再结合E是AC中点，利用题干给出的“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的结论，求出DE和CE的长度，最后将△CDE的三边长度相加即可得到周长。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，AD⊥BC，且D为BC的中点，
∴$CD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×16 = 8$，△ADC为直角三角形。
∵点E为AC的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
∴$DE = CE = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×20 = 10$。
∴△CDE的周长 = $CD + DE + CE = 8 + 10 + 10 = 28$。
【答案】
28
【知识点】
等腰三角形三线合一；直角三角形斜边中线性质；三角形周长计算
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是结合等腰三角形和直角三角形的性质推导各边长度，题干直接给出直角三角形斜边中线的结论，降低了记忆门槛，解题思路清晰，属于基础类常考题型。
【难度系数】
0.8
