登录
知识点一 等腰三角形的性质
1. 等腰三角形是图形。
2. 等腰三角形、、、重合（也称“三线合一”），它们所在的直线是等腰三角形的。
3. 等腰三角形的相等。
1. 等腰三角形是图形。
2. 等腰三角形、、、重合（也称“三线合一”），它们所在的直线是等腰三角形的。
3. 等腰三角形的相等。
答案
1. 轴对称
2. 顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线是等腰三角形的对称轴
3. 等腰三角形的两个底角相等
2. 顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线是等腰三角形的对称轴
3. 等腰三角形的两个底角相等
解析
【分析】
本题为等腰三角形性质的基础识记题，解题时结合教材中学过的等腰三角形相关概念和性质逐一对应填空即可：首先回忆轴对称图形的定义，判断等腰三角形的所属图形类型；再回忆“三线合一”的具体内容，明确对应的三条线段以及其与对称轴的关系；最后回忆等腰三角形角的相关性质即可完成作答。
【解析】
1. 轴对称图形的定义为：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。等腰三角形沿底边上的高所在直线折叠后，直线两侧的部分可以完全重合，因此等腰三角形是轴对称图形。
2. 等腰三角形特有的“三线合一”性质规定：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高这三条线段互相重合；又因为对称轴是直线，因此这三条线段所在的直线就是等腰三角形的对称轴。
3. 由等腰三角形的基本性质可知，等腰三角形两条腰长度相等，对应的两个底角也相等，也可简记为“等边对等角”。
【答案】
1. 轴对称
2. 顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高；对称轴
3. 两个底角
【知识点】
等腰三角形的性质、轴对称图形、三线合一
【点评】
本题是对等腰三角形基础性质的直接考查，属于基础识记类题型，熟练掌握相关性质是解题的关键，这些性质也是后续解决等腰三角形相关计算、证明问题的核心基础。
【难度系数】
0.9
本题为等腰三角形性质的基础识记题，解题时结合教材中学过的等腰三角形相关概念和性质逐一对应填空即可：首先回忆轴对称图形的定义，判断等腰三角形的所属图形类型；再回忆“三线合一”的具体内容，明确对应的三条线段以及其与对称轴的关系；最后回忆等腰三角形角的相关性质即可完成作答。
【解析】
1. 轴对称图形的定义为：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。等腰三角形沿底边上的高所在直线折叠后，直线两侧的部分可以完全重合，因此等腰三角形是轴对称图形。
2. 等腰三角形特有的“三线合一”性质规定：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高这三条线段互相重合；又因为对称轴是直线，因此这三条线段所在的直线就是等腰三角形的对称轴。
3. 由等腰三角形的基本性质可知，等腰三角形两条腰长度相等，对应的两个底角也相等，也可简记为“等边对等角”。
【答案】
1. 轴对称
2. 顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高；对称轴
3. 两个底角
【知识点】
等腰三角形的性质、轴对称图形、三线合一
【点评】
本题是对等腰三角形基础性质的直接考查，属于基础识记类题型，熟练掌握相关性质是解题的关键，这些性质也是后续解决等腰三角形相关计算、证明问题的核心基础。
【难度系数】
0.9
知识点二 等边三角形的性质
1.等边三角形是
2.等边三角形的性质
(1)
(2)
1.等边三角形是
轴对称
图形，有3
条对称轴。2.等边三角形的性质
(1)
三条边
都相等；(2)
三个内角
都相等，都等于60°
。答案
1. 轴对称，3
2.(1)三条边都相等
(2)三个内角都相等，都等于60°
2.(1)三条边都相等
(2)三个内角都相等，都等于60°
解析
【分析】
本题考查等边三角形的基础性质，解题思路如下：1. 先回忆轴对称图形的定义：沿一条直线对折后，直线两旁的部分可以完全重合的图形是轴对称图形，再思考等边三角形符合该特征的直线数量；2. 再回顾等边三角形的边、角相关特性，结合三角形内角和为180°的定理，就能推导得出角的具体度数。
【解析】
1. 按照轴对称图形的定义判断，等边三角形沿任意一条边上的高（或角平分线、中线）所在的直线对折，直线两旁的部分都能完全重合，因此等边三角形是轴对称图形，满足要求的直线共有3条，即它有3条对称轴。
2. （1）根据等边三角形的定义，它的三条边长度全部相等；
（2）已知三角形内角和为180°，等边三角形的三个内角大小相等，因此每个内角的度数为$180°÷3=60°$，即三个内角都相等，都等于$60°$。
【答案】
1. 轴对称，3
2.(1)三条边都相等
(2)三个内角都相等，都等于$60°$
【知识点】
轴对称图形概念、等边三角形边的性质、等边三角形角的性质
【点评】
本题属于基础识记类题目，核心考查对等边三角形基本性质的掌握，牢记相关概念和性质即可快速作答，是后续学习等边三角形相关证明、计算类问题的必备基础。
【难度系数】
0.9
本题考查等边三角形的基础性质，解题思路如下：1. 先回忆轴对称图形的定义：沿一条直线对折后，直线两旁的部分可以完全重合的图形是轴对称图形，再思考等边三角形符合该特征的直线数量；2. 再回顾等边三角形的边、角相关特性，结合三角形内角和为180°的定理，就能推导得出角的具体度数。
【解析】
1. 按照轴对称图形的定义判断，等边三角形沿任意一条边上的高（或角平分线、中线）所在的直线对折，直线两旁的部分都能完全重合，因此等边三角形是轴对称图形，满足要求的直线共有3条，即它有3条对称轴。
2. （1）根据等边三角形的定义，它的三条边长度全部相等；
（2）已知三角形内角和为180°，等边三角形的三个内角大小相等，因此每个内角的度数为$180°÷3=60°$，即三个内角都相等，都等于$60°$。
【答案】
1. 轴对称，3
2.(1)三条边都相等
(2)三个内角都相等，都等于$60°$
【知识点】
轴对称图形概念、等边三角形边的性质、等边三角形角的性质
【点评】
本题属于基础识记类题目，核心考查对等边三角形基本性质的掌握，牢记相关概念和性质即可快速作答，是后续学习等边三角形相关证明、计算类问题的必备基础。
【难度系数】
0.9
例1 如图,在△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,求∠CDE的度数。
[点拨] 利用等腰三角形“等边对等角”的性质解题。
【解】 因为AC=CD=BD=BE,∠A=50°,
所以∠A=∠CDA=50°,∠B=∠DCB,∠BDE=∠BED。
所以∠CDB=180°−∠CDA=180°−50°=130°,
所以∠B =$\frac{1}{2}$(180°−∠CDB)
=$\frac{1}{2}$×(180°−130°)=25°。
因为∠B+∠BDE+∠BED=180°,
所以∠BDE=∠BED=$\frac{1}{2}$×(180°−25°)=77.5°,
所以∠CDE=180°−∠CDA−∠BDE=180°−50°−77.5°=52.5°。
[点拨] 利用等腰三角形“等边对等角”的性质解题。
【解】 因为AC=CD=BD=BE,∠A=50°,
所以∠A=∠CDA=50°,∠B=∠DCB,∠BDE=∠BED。
所以∠CDB=180°−∠CDA=180°−50°=130°,
所以∠B =$\frac{1}{2}$(180°−∠CDB)
=$\frac{1}{2}$×(180°−130°)=25°。
因为∠B+∠BDE+∠BED=180°,
所以∠BDE=∠BED=$\frac{1}{2}$×(180°−25°)=77.5°,
所以∠CDE=180°−∠CDA−∠BDE=180°−50°−77.5°=52.5°。
答案
解：
∵ AC=CD=BD=BE，∠A=50°，
∴ ∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED。
∴ ∠CDB=180°−∠CDA=180°−50°=130°。
在△BCD中，∠B+∠DCB+∠CDB=180°，
∴ ∠B = $\frac{1}{2}$(180°−∠CDB) = $\frac{1}{2}$×(180°−130°)=25°。
在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED=180°，
∴ ∠BDE=∠BED = $\frac{1}{2}$×(180°−25°)=77.5°。
∵ 点A、D、B共线，∠ADB=180°，
∴ ∠CDE=180°−∠CDA−∠BDE=180°−50°−77.5°=52.5°。
答：∠CDE的度数为52.5°。
∵ AC=CD=BD=BE，∠A=50°，
∴ ∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED。
∴ ∠CDB=180°−∠CDA=180°−50°=130°。
在△BCD中，∠B+∠DCB+∠CDB=180°，
∴ ∠B = $\frac{1}{2}$(180°−∠CDB) = $\frac{1}{2}$×(180°−130°)=25°。
在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED=180°，
∴ ∠BDE=∠BED = $\frac{1}{2}$×(180°−25°)=77.5°。
∵ 点A、D、B共线，∠ADB=180°，
∴ ∠CDE=180°−∠CDA−∠BDE=180°−50°−77.5°=52.5°。
答：∠CDE的度数为52.5°。
解析
【分析】
解题时先抓住题目给出的多组等边的条件，结合等腰三角形“等边对等角”的性质逐步推导角度：首先由AC=CD和已知∠A的度数求出∠CDA的度数，再利用邻补角的性质得到∠CDB的度数；接着由CD=BD可知△CDB为等腰三角形，结合三角形内角和定理求出∠B的度数；再由BD=BE可知△BDE为等腰三角形，再次利用三角形内角和定理求出∠BDE的度数；最后根据平角为180°，用平角减去∠CDA和∠BDE的度数即可得到∠CDE的度数。
【解析】
∵ AC=CD=BD=BE，∠A=50°，
∴ ∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED。
∴ ∠CDB=180°−∠CDA=180°−50°=130°。
在△BCD中，∠B+∠DCB+∠CDB=180°，
∴ ∠B = $\frac{1}{2}$(180°−∠CDB) = $\frac{1}{2}$×(180°−130°)=25°。
在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED=180°，
∴ ∠BDE=∠BED = $\frac{1}{2}$×(180°−25°)=77.5°。
∵ 点A、D、B共线，∠ADB=180°，
∴ ∠CDE=180°−∠CDA−∠BDE=180°−50°−77.5°=52.5°。
【答案】
52.5°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；平角的性质
【点评】
本题属于角度计算的常规题型，解题的关键是灵活运用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和逐步推导未知角的度数，理清各个角之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时先抓住题目给出的多组等边的条件，结合等腰三角形“等边对等角”的性质逐步推导角度：首先由AC=CD和已知∠A的度数求出∠CDA的度数，再利用邻补角的性质得到∠CDB的度数；接着由CD=BD可知△CDB为等腰三角形，结合三角形内角和定理求出∠B的度数；再由BD=BE可知△BDE为等腰三角形，再次利用三角形内角和定理求出∠BDE的度数；最后根据平角为180°，用平角减去∠CDA和∠BDE的度数即可得到∠CDE的度数。
【解析】
∵ AC=CD=BD=BE，∠A=50°，
∴ ∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED。
∴ ∠CDB=180°−∠CDA=180°−50°=130°。
在△BCD中，∠B+∠DCB+∠CDB=180°，
∴ ∠B = $\frac{1}{2}$(180°−∠CDB) = $\frac{1}{2}$×(180°−130°)=25°。
在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED=180°，
∴ ∠BDE=∠BED = $\frac{1}{2}$×(180°−25°)=77.5°。
∵ 点A、D、B共线，∠ADB=180°，
∴ ∠CDE=180°−∠CDA−∠BDE=180°−50°−77.5°=52.5°。
【答案】
52.5°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；平角的性质
【点评】
本题属于角度计算的常规题型，解题的关键是灵活运用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和逐步推导未知角的度数，理清各个角之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
| 变式训练1 | “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图(1)所示的“三等分角仪”能三等分任意角，其示意图如图(2)所示，由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，$OC=CD=DE$，点D，E可在槽中滑动。若$∠ BDE=69°$，则$∠ CDE$的度数是(
A.$60°$
B.$69°$
C.$76°$
D.$88°$
D
)A.$60°$
B.$69°$
C.$76°$
D.$88°$
答案
D
解析
【分析】
首先根据已知条件$OC=CD=DE$，联想等腰三角形“等边对等角”的性质，设最小角$∠ O$为$x$，再结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，逐步用含$x$的式子表示出相关角的度数，结合已知$∠ BDE=69°$求出$x$的值，最后利用平角为$180°$的性质计算$∠ CDE$的度数。
【解析】
解：设$∠ O = x$，
$\because OC=CD$，根据等边对等角得$∠ CDO=∠ O=x$，
根据三角形外角的性质，$∠ ECD=∠ O+∠ CDO=x+x=2x$，
$\because CD=DE$，同理得$∠ DEC=∠ ECD=2x$，
$∠ BDE$是$△ ODE$的外角，因此$∠ BDE=∠ O+∠ DEC=x+2x=3x$，
已知$∠ BDE=69°$，则$3x=69°$，解得$x=23°$，即$∠ CDO=23°$，
$\because$点$O$、$D$、$B$共线，$∠ CDO+∠ CDE+∠ BDE=180°$，
$\therefore ∠ CDE=180°-∠ CDO-∠ BDE=180°-23°-69°=88°$。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平角的定义
【点评】
本题结合三等分角的历史背景，考查等腰三角形和三角形外角相关性质的应用，解题的关键是找到角之间的数量关系，通过设未知数列方程的方法求解。
【难度系数】
0.7
首先根据已知条件$OC=CD=DE$，联想等腰三角形“等边对等角”的性质，设最小角$∠ O$为$x$，再结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，逐步用含$x$的式子表示出相关角的度数，结合已知$∠ BDE=69°$求出$x$的值，最后利用平角为$180°$的性质计算$∠ CDE$的度数。
【解析】
解：设$∠ O = x$，
$\because OC=CD$，根据等边对等角得$∠ CDO=∠ O=x$，
根据三角形外角的性质，$∠ ECD=∠ O+∠ CDO=x+x=2x$，
$\because CD=DE$，同理得$∠ DEC=∠ ECD=2x$，
$∠ BDE$是$△ ODE$的外角，因此$∠ BDE=∠ O+∠ DEC=x+2x=3x$，
已知$∠ BDE=69°$，则$3x=69°$，解得$x=23°$，即$∠ CDO=23°$，
$\because$点$O$、$D$、$B$共线，$∠ CDO+∠ CDE+∠ BDE=180°$，
$\therefore ∠ CDE=180°-∠ CDO-∠ BDE=180°-23°-69°=88°$。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平角的定义
【点评】
本题结合三等分角的历史背景，考查等腰三角形和三角形外角相关性质的应用，解题的关键是找到角之间的数量关系，通过设未知数列方程的方法求解。
【难度系数】
0.7
例2 如图，已知D，E两点在线段BC上，且$AB=AC$，$BD=CE$。AD与AE相等吗？请说明理由。
[点拨] 利用等腰三角形“三线合一”的性质解答。
[解] $AD=AE$
如图，过点A作$AF⊥ BC$于点F。
因为$AB=AC$，所以$BF=CF$。
又因为$BD=CE$，
所以$DF=EF$，
所以$AD=AE$。
[点拨] 利用等腰三角形“三线合一”的性质解答。
[解] $AD=AE$
如图，过点A作$AF⊥ BC$于点F。
因为$AB=AC$，所以$BF=CF$。
又因为$BD=CE$，
所以$DF=EF$，
所以$AD=AE$。
答案
解：$AD=AE$，理由如下：
如图，过点A作$AF⊥ BC$于点F。
$\because AB=AC$，
$\therefore BF=CF$（等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合）。
又$\because BD=CE$，
$\therefore BF-BD=CF-CE$，即$DF=EF$。
又$\because AF⊥ BC$，
$\therefore AD=AE$。
如图，过点A作$AF⊥ BC$于点F。
$\because AB=AC$，
$\therefore BF=CF$（等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合）。
又$\because BD=CE$，
$\therefore BF-BD=CF-CE$，即$DF=EF$。
又$\because AF⊥ BC$，
$\therefore AD=AE$。
解析
【分析】
要判断AD与AE是否相等，首先观察已知条件中$AB=AC$，说明$△ ABC$是等腰三角形，可结合题目点拨的等腰三角形“三线合一”性质解题。首先作等腰三角形底边上的高$AF⊥BC$，根据三线合一可直接得到$BF=CF$；再结合已知$BD=CE$，通过等式的性质作差可推出$DF=EF$，即$AF$是线段$DE$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可得出$AD=AE$的结论。
【解析】
$AD=AE$，理由如下：
过点A作$AF⊥ BC$于点F。
$\because AB=AC$，
$\therefore BF=CF$（等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合，即三线合一）。
又$\because BD=CE$，
$\therefore BF-BD=CF-CE$，即$DF=EF$。
又$\because AF⊥ BC$，即AF垂直平分DE，
$\therefore AD=AE$（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
【答案】
$AD=AE$
【知识点】
等腰三角形三线合一；线段垂直平分线的性质；等式的基本性质
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，解题关键是掌握等腰三角形的常见辅助线构造方法，通过作底边上的高，将已知线段关系和待证结论关联起来，能很好地锻炼学生对等腰三角形相关性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
要判断AD与AE是否相等，首先观察已知条件中$AB=AC$，说明$△ ABC$是等腰三角形，可结合题目点拨的等腰三角形“三线合一”性质解题。首先作等腰三角形底边上的高$AF⊥BC$，根据三线合一可直接得到$BF=CF$；再结合已知$BD=CE$，通过等式的性质作差可推出$DF=EF$，即$AF$是线段$DE$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可得出$AD=AE$的结论。
【解析】
$AD=AE$，理由如下：
过点A作$AF⊥ BC$于点F。
$\because AB=AC$，
$\therefore BF=CF$（等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合，即三线合一）。
又$\because BD=CE$，
$\therefore BF-BD=CF-CE$，即$DF=EF$。
又$\because AF⊥ BC$，即AF垂直平分DE，
$\therefore AD=AE$（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
【答案】
$AD=AE$
【知识点】
等腰三角形三线合一；线段垂直平分线的性质；等式的基本性质
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，解题关键是掌握等腰三角形的常见辅助线构造方法，通过作底边上的高，将已知线段关系和待证结论关联起来，能很好地锻炼学生对等腰三角形相关性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
