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8.如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，BE平分$∠ ABC$，$DE ⊥ AB$于点D。如果$AC=3\ \mathrm{cm}$，求$AE+DE$的值。
答案
解:因为∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB，
所以DE=EC，
所以AE+DE=AE+EC=AC=3 cm。
所以DE=EC，
所以AE+DE=AE+EC=AC=3 cm。
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：①BE是∠ABC的角平分线；②∠ACB=90°即EC⊥BC；③DE⊥AB。这三个条件刚好符合角平分线性质的使用前提，因此可以推出DE=EC。此时所求的AE+DE可通过等量代换转化为AE+EC，而AE与EC的和恰好是已知长度的线段AC，代入AC的长度即可得到结果。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，
∴EC⊥BC，
∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，
∴DE=EC（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴AE+DE=AE+EC=AC，
又
∵AC=3cm，
∴AE+DE=3cm。
【答案】
3 cm
【知识点】
角平分线的性质；线段和的计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题，解题关键是利用角平分线的性质将未知线段DE转化为与它相等的EC，从而将所求线段和转化为已知长度的线段AC，简化计算。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：①BE是∠ABC的角平分线；②∠ACB=90°即EC⊥BC；③DE⊥AB。这三个条件刚好符合角平分线性质的使用前提，因此可以推出DE=EC。此时所求的AE+DE可通过等量代换转化为AE+EC，而AE与EC的和恰好是已知长度的线段AC，代入AC的长度即可得到结果。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，
∴EC⊥BC，
∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，
∴DE=EC（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴AE+DE=AE+EC=AC，
又
∵AC=3cm，
∴AE+DE=3cm。
【答案】
3 cm
【知识点】
角平分线的性质；线段和的计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题，解题关键是利用角平分线的性质将未知线段DE转化为与它相等的EC，从而将所求线段和转化为已知长度的线段AC，简化计算。
【难度系数】
0.8
9.如图,点 D 为锐角∠ABC 的平分线上的点,点 M 在 BA 边上,点 N 在 BC 边上,且∠BMD+∠BND=180°。DM 与 DN 相等吗?请说明理由。
答案
解:DM=DN。
如图,过点 D 作DE⊥AB于点E,作DF⊥BC于点F，
则∠DEB=∠DFB=90°。
又因为BD平分∠ABC，
所以DE=DF。
因为∠BMD+∠DME=180°，
∠BMD+∠BND=180°，
所以∠DME=∠BND。
在△EMD 和△FND 中，
$\begin{cases}∠DEM=∠DFN,\\∠DME=∠FND,\\DE=DF,\end{cases}$
所以△EMD≌△FND(AAS)，
所以DM=DN。
解析
【分析】
要判断DM与DN是否相等，可通过证明二者所在的三角形全等求解。首先由BD是∠ABC的角平分线，联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可过点D作AB、BC的垂线，得到两条相等的垂线段；再结合已知∠BMD+∠BND=180°，利用平角为180°的性质，可推出一组相等的对应角，进而证明两个直角三角形全等，即可得到DM与DN的数量关系。
【解析】
解：DM=DN，理由如下：
过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，则∠DEB=∠DFB=90°。
因为BD平分∠ABC，根据角平分线的性质，可得DE=DF。
因为∠BMD+∠DME=180°（平角的定义），且∠BMD+∠BND=180°（已知），根据同角的补角相等，可得∠DME=∠BND。
在△EMD和△FND中：
$\begin{cases}∠DEM=∠DFN,\\∠DME=∠FND,\\DE=DF,\end{cases}$
因此△EMD≌△FND（AAS），根据全等三角形对应边相等，可得DM=DN。
【答案】
DM=DN。
如图,过点 D 作DE⊥AB于点E,作DF⊥BC于点F，
则∠DEB=∠DFB=90°。
又因为BD平分∠ABC，
所以DE=DF。
因为∠BMD+∠DME=180°，
∠BMD+∠BND=180°，
所以∠DME=∠BND。
在△EMD 和△FND 中，
$\begin{cases}∠DEM=∠DFN,\\∠DME=∠FND,\\DE=DF,\end{cases}$
所以△EMD≌△FND(AAS)，
所以DM=DN。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；补角的性质
【点评】
本题是角平分线相关的典型几何证明题，解题核心是利用角平分线的性质构造垂直辅助线，结合补角的性质得到全等条件，进而通过三角形全等证明边相等，对学生的辅助线构造思维和逻辑推理能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.7
要判断DM与DN是否相等，可通过证明二者所在的三角形全等求解。首先由BD是∠ABC的角平分线，联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可过点D作AB、BC的垂线，得到两条相等的垂线段；再结合已知∠BMD+∠BND=180°，利用平角为180°的性质，可推出一组相等的对应角，进而证明两个直角三角形全等，即可得到DM与DN的数量关系。
【解析】
解：DM=DN，理由如下：
过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，则∠DEB=∠DFB=90°。
因为BD平分∠ABC，根据角平分线的性质，可得DE=DF。
因为∠BMD+∠DME=180°（平角的定义），且∠BMD+∠BND=180°（已知），根据同角的补角相等，可得∠DME=∠BND。
在△EMD和△FND中：
$\begin{cases}∠DEM=∠DFN,\\∠DME=∠FND,\\DE=DF,\end{cases}$
因此△EMD≌△FND（AAS），根据全等三角形对应边相等，可得DM=DN。
【答案】
DM=DN。
如图,过点 D 作DE⊥AB于点E,作DF⊥BC于点F，
则∠DEB=∠DFB=90°。
又因为BD平分∠ABC，
所以DE=DF。
因为∠BMD+∠DME=180°，
∠BMD+∠BND=180°，
所以∠DME=∠BND。
在△EMD 和△FND 中，
$\begin{cases}∠DEM=∠DFN,\\∠DME=∠FND,\\DE=DF,\end{cases}$
所以△EMD≌△FND(AAS)，
所以DM=DN。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；补角的性质
【点评】
本题是角平分线相关的典型几何证明题，解题核心是利用角平分线的性质构造垂直辅助线，结合补角的性质得到全等条件，进而通过三角形全等证明边相等，对学生的辅助线构造思维和逻辑推理能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.7
10.如图，$△ ABC$的三边$AB$，$BC$，$CA$的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点$O$，求$S_{△ ABO}:S_{△ BCO}:S_{△ CAO}$的值。
答案
解:如图,过点 O 作OD⊥AB于点D,作OE⊥AC于点E,作OF⊥BC于点F。
因为OA,OB,OC分别平分△ABC的三个内角，
所以OD=OE=OF。
因为△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为40,50,60，
所以$S_{△ABO}:S_{△BCO}:S_{△CAO}$
$=(\frac{1}{2}AB·OD):(\frac{1}{2}BC·OF):(\frac{1}{2}AC·OE)$
$=AB:BC:AC$
$=4:5:6$。
解析
【分析】
要求三个三角形的面积比，首先回忆三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}×底×高$。观察可知$△ ABO$、$△ BCO$、$△ CAO$的公共顶点都是角平分线交点O，底边分别是$△ ABC$的三边AB、BC、AC。再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可推出点O到$△ ABC$三边的距离相等，即三个三角形对应底边上的高相等，因此面积比就等于对应底边的长度比，代入边长化简即可得到结果。
【解析】
过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F。
∵OA、OB、OC分别平分$△ ABC$的三个内角，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴$OD=OE=OF$。
已知AB=40，BC=50，CA=60，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}AB·OD$，$S_{△ BCO}=\frac{1}{2}BC·OF$，$S_{△ CAO}=\frac{1}{2}AC·OE$
∴$S_{△ ABO}:S_{△ BCO}:S_{△ CAO}=(\frac{1}{2}AB·OD):(\frac{1}{2}BC·OF):(\frac{1}{2}AC·OE)$
∵OD=OE=OF，公因子$\frac{1}{2}$和高都可以约去，
∴$S_{△ ABO}:S_{△ BCO}:S_{△ CAO}=AB:BC:AC=40:50:60=4:5:6$
【答案】
$4:5:6$
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积公式；比的化简
【点评】
本题解题核心是利用角平分线的性质得到三个三角形对应底边上的高相等，将面积比转化为三角形三边的长度比，避免复杂计算，是角平分线性质的典型应用。
【难度系数】
0.7
要求三个三角形的面积比，首先回忆三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}×底×高$。观察可知$△ ABO$、$△ BCO$、$△ CAO$的公共顶点都是角平分线交点O，底边分别是$△ ABC$的三边AB、BC、AC。再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可推出点O到$△ ABC$三边的距离相等，即三个三角形对应底边上的高相等，因此面积比就等于对应底边的长度比，代入边长化简即可得到结果。
【解析】
过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F。
∵OA、OB、OC分别平分$△ ABC$的三个内角，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴$OD=OE=OF$。
已知AB=40，BC=50，CA=60，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}AB·OD$，$S_{△ BCO}=\frac{1}{2}BC·OF$，$S_{△ CAO}=\frac{1}{2}AC·OE$
∴$S_{△ ABO}:S_{△ BCO}:S_{△ CAO}=(\frac{1}{2}AB·OD):(\frac{1}{2}BC·OF):(\frac{1}{2}AC·OE)$
∵OD=OE=OF，公因子$\frac{1}{2}$和高都可以约去，
∴$S_{△ ABO}:S_{△ BCO}:S_{△ CAO}=AB:BC:AC=40:50:60=4:5:6$
【答案】
$4:5:6$
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积公式；比的化简
【点评】
本题解题核心是利用角平分线的性质得到三个三角形对应底边上的高相等，将面积比转化为三角形三边的长度比，避免复杂计算，是角平分线性质的典型应用。
【难度系数】
0.7
