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4. 计算：若长方形的两邻边长度分别为x，y，面积保持不变. 下表给出了x与y的一些值，求长方形的面积.
(1)长方形的面积是多少？
(2)用函数解析式表示y与x之间的关系，并指出它是什么函数？
(3)完成上表.
(1)长方形的面积是多少？
(2)用函数解析式表示y与x之间的关系，并指出它是什么函数？
(3)完成上表.
答案
(1) 4 (2)$y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$，它是反比例函数. (3)如下表所示：
| $x$ | $\dfrac{2}{3}$ | $3$ | $1$ | $2$ | $8$ | $\dfrac{4}{5}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $6$ | $\dfrac{4}{3}$ | $4$ | $2$ | $\dfrac{1}{2}$ | $5$ |
| $x$ | $\dfrac{2}{3}$ | $3$ | $1$ | $2$ | $8$ | $\dfrac{4}{5}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $6$ | $\dfrac{4}{3}$ | $4$ | $2$ | $\dfrac{1}{2}$ | $5$ |
解析
【分析】
要解决这道题，首先利用长方形面积公式$S=xy$，结合表格中已知的$x$、$y$值求出面积；再根据面积不变，推导$y$与$x$的函数关系并判断函数类型；最后利用“$xy=定值$”的关系，计算表格中缺失的$x$、$y$值。核心是抓住“长方形面积不变”这一条件，明确$x$与$y$成反比例关系。
【解析】
(1) 长方形面积公式为$S=xy$，从表格中找到已知的$x=1$、$y=4$，代入得：$S=1×4=4$，因此长方形的面积是4。
(2) 由面积不变，即$xy=4$，变形得$y=\frac{4}{x}$；因为$x$是长方形的边长，所以$x＞0$，该函数符合反比例函数的形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，因此它是反比例函数。
(3) 根据$xy=4$，计算表格中缺失的值：
当$x=\frac{2}{3}$时，$y=4÷\frac{2}{3}=6$；
当$x=3$时，$y=4÷3=\frac{4}{3}$；
当$y=2$时，$x=4÷2=2$；
当$x=8$时，$y=4÷8=\frac{1}{2}$；
当$y=5$时，$x=4÷5=\frac{4}{5}$；
完整表格如下：
| $x$ | $\frac{2}{3}$ | $3$ | $1$ | $2$ | $8$ | $\frac{4}{5}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $6$ | $\frac{4}{3}$ | $4$ | $2$ | $\frac{1}{2}$ | $5$ |
【答案】
(1) 4；(2) $y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$，反比例函数；(3) 表格如上。
【知识点】
反比例函数、长方形面积公式
【点评】
本题是反比例函数在实际问题中的基础应用，关键是通过“面积不变”确定$x$与$y$的乘积为定值，进而推导函数关系并求解未知量，考查学生对反比例函数概念的理解和应用能力，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先利用长方形面积公式$S=xy$，结合表格中已知的$x$、$y$值求出面积；再根据面积不变，推导$y$与$x$的函数关系并判断函数类型；最后利用“$xy=定值$”的关系，计算表格中缺失的$x$、$y$值。核心是抓住“长方形面积不变”这一条件，明确$x$与$y$成反比例关系。
【解析】
(1) 长方形面积公式为$S=xy$，从表格中找到已知的$x=1$、$y=4$，代入得：$S=1×4=4$，因此长方形的面积是4。
(2) 由面积不变，即$xy=4$，变形得$y=\frac{4}{x}$；因为$x$是长方形的边长，所以$x＞0$，该函数符合反比例函数的形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，因此它是反比例函数。
(3) 根据$xy=4$，计算表格中缺失的值：
当$x=\frac{2}{3}$时，$y=4÷\frac{2}{3}=6$；
当$x=3$时，$y=4÷3=\frac{4}{3}$；
当$y=2$时，$x=4÷2=2$；
当$x=8$时，$y=4÷8=\frac{1}{2}$；
当$y=5$时，$x=4÷5=\frac{4}{5}$；
完整表格如下：
| $x$ | $\frac{2}{3}$ | $3$ | $1$ | $2$ | $8$ | $\frac{4}{5}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $6$ | $\frac{4}{3}$ | $4$ | $2$ | $\frac{1}{2}$ | $5$ |
【答案】
(1) 4；(2) $y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$，反比例函数；(3) 表格如上。
【知识点】
反比例函数、长方形面积公式
【点评】
本题是反比例函数在实际问题中的基础应用，关键是通过“面积不变”确定$x$与$y$的乘积为定值，进而推导函数关系并求解未知量，考查学生对反比例函数概念的理解和应用能力，难度适中。
【难度系数】
0.6
1. 机器狗是一种模拟真实犬只的形态和部分行为的机器装置. 研究人员对某型号机器狗的最快移动速度 y(单位：m/s)和负重重量 x(单位：kg)的数据进行了记录，得到部分数据如下表所示：
负重重量 x/kg
30
20
15
12
10
最快移动速度 y/(m·s⁻¹)
2
3
4
5
6
(1)请选择合适的函数模型，并求出 y 关于 x 的函数解析式.
(2)若想要该型号的机器狗载重后的最快移动速度 y 大于 8 m/s，求负重重量 x 的取值范围.
负重重量 x/kg
30
20
15
12
10
最快移动速度 y/(m·s⁻¹)
2
3
4
5
6
(1)请选择合适的函数模型，并求出 y 关于 x 的函数解析式.
(2)若想要该型号的机器狗载重后的最快移动速度 y 大于 8 m/s，求负重重量 x 的取值范围.
答案
1. (1)$y=\dfrac{60}{x}(x＞0)$ (2) 负重重量$x$的取值范围是$0＜x＜7.5$。
解析
【分析】首先观察负重重量$x$和最快移动速度$y$的对应数据，计算每组$x$与$y$的乘积，发现乘积为定值，据此判断适合用反比例函数模型求解；再利用反比例函数的性质解决第二问的不等式问题。
【解析】(1) 观察表格中数据，计算每组$x$与$y$的乘积：$30×2=60$，$20×3=60$，$15×4=60$，$12×5=60$，$10×6=60$，可知$x$与$y$的乘积为定值$60$，因此选择反比例函数模型，设函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将$x=30$，$y=2$代入得：$2=\frac{k}{30}$，解得$k=60$，验证其他数据均满足，故$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{60}{x}(x＞0)$；
(2) 要求$y＞8$，即$\frac{60}{x}＞8$，因为$x$是负重重量，所以$x＞0$，两边同时乘$x$不等号方向不变，得$60＞8x$，解得$x＜7.5$，结合$x＞0$，故负重重量$x$的取值范围是$0＜x＜7.5$。
【答案】(1)$y=\frac{60}{x}(x＞0)$；(2)$0＜x＜7.5$
【知识点】反比例函数的应用、不等式的求解
【点评】本题通过实际数据判断函数模型，考查反比例函数的确定及应用，关键是发现数据间的反比例关系，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】(1) 观察表格中数据，计算每组$x$与$y$的乘积：$30×2=60$，$20×3=60$，$15×4=60$，$12×5=60$，$10×6=60$，可知$x$与$y$的乘积为定值$60$，因此选择反比例函数模型，设函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将$x=30$，$y=2$代入得：$2=\frac{k}{30}$，解得$k=60$，验证其他数据均满足，故$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{60}{x}(x＞0)$；
(2) 要求$y＞8$，即$\frac{60}{x}＞8$，因为$x$是负重重量，所以$x＞0$，两边同时乘$x$不等号方向不变，得$60＞8x$，解得$x＜7.5$，结合$x＞0$，故负重重量$x$的取值范围是$0＜x＜7.5$。
【答案】(1)$y=\frac{60}{x}(x＞0)$；(2)$0＜x＜7.5$
【知识点】反比例函数的应用、不等式的求解
【点评】本题通过实际数据判断函数模型，考查反比例函数的确定及应用，关键是发现数据间的反比例关系，难度适中。
【难度系数】0.5
