2. 已知$y=y_1+y_2$，若$y_1$与$x-1$成正比例，$y_2$与$x+1$成反比例，当$x=0$时，$y=-5$；当$x=2$时，$y=1$。
(1)求$y$关于$x$的函数解析式；
(2)求当$x=-2$时，$y$的值。

2. 设$y_1=k_1(x-1)$，$y_2=\dfrac{k_2}{x+1}$，则$y=k_1(x-1)+\dfrac{k_2}{x+1}$. $\because$ 当$x=0$时，$y=-5$；当$x=2$时，$y=1$. $\therefore \begin{cases}-k_1+k_2=-5, \\k_1+\dfrac{k_2}{3}=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_1=2, \\k_2=-3.\end{cases}$ $\therefore y=2(x-1)-\dfrac{3}{x+1}.$ (2)当$x=-2$时，$y=-3.$

【分析】
要解决这道题，我们可以按两步思考：
1. 求函数解析式：首先根据正比例、反比例的定义，分别设出$y_1$、$y_2$的表达式（两个比例系数用不同符号区分，避免混淆），结合$y=y_1+y_2$得到含参数的$y$的表达式；再将已知的两组$x、y$对应值代入表达式，得到关于两个比例系数的二元一次方程组，解出参数即可确定函数解析式。
2. 求$x=-2$时$y$的值：直接将$x=-2$代入第(1)问求出的解析式，计算即可得到结果。
【解析】
(1) 设$y_1 = k_1(x-1)$（$k_1≠0$），$y_2 = \dfrac{k_2}{x+1}$（$k_2≠0$），
由$y=y_1+y_2$可得：$y = k_1(x-1) + \dfrac{k_2}{x+1}$。
将$x=0,y=-5$和$x=2,y=1$分别代入上式，得方程组：
$\begin{cases}-k_1 + k_2 = -5 \\k_1 + \dfrac{k_2}{3} = 1\end{cases}$
解方程组：
对第二个方程两边乘3得$3k_1 + k_2 = 3$，用该式减去第一个方程得$4k_1=8$，解得$k_1=2$；
将$k_1=2$代入$-k_1 + k_2 = -5$，解得$k_2=-3$。
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y = 2(x-1) - \dfrac{3}{x+1}$。
(2) 当$x=-2$时，代入解析式计算：
$y = 2×(-2-1) - \dfrac{3}{-2+1} = -6 + 3 = -3$。
【答案】
(1) $ \boldsymbol{y = 2(x-1) - \dfrac{3}{x+1}} $；(2) $\boldsymbol{-3}$
【知识点】
正比例函数定义、反比例函数定义、待定系数法求解析式
【点评】
本题是函数基础题型，核心考查正比例、反比例的定义，以及待定系数法的应用，解题时要注意区分两个不同的比例系数，代入数值计算时注意分母的符号运算，避免出错。
【难度系数】
0.8

1. 反比例函数$y=\frac{2}{x}$的大致图象是( )

D

【分析】
要判断反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象，首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的性质：图象是双曲线，$k$的符号决定双曲线所在的象限，$k＞0$时双曲线位于第一、三象限，$k＜0$时位于第二、四象限；同时$k＞0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。本题中$k=2＞0$，先通过象限排除不符合的选项，再验证性质即可得到正确答案。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{2}{x}$，其中比例系数$k=2＞0$：
1. 根据反比例函数图象性质，$k＞0$时，函数图象为双曲线，且位于第一、三象限；
2. 逐一分析选项：
选项A：图象位于第一、二象限，不符合$k＞0$的象限分布，排除；
选项B：图象位于第二、四象限，是$k＜0$时反比例函数的图象特征，排除；
选项C：图象位于第一、四象限，不符合反比例函数的图象象限规律，排除；
选项D：图象位于第一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，符合$y=\frac{2}{x}$的图象性质。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象；反比例函数的性质
【点评】
本题是反比例函数图象的基础考查题，解题核心是掌握比例系数$k$的符号和图象所在象限的对应关系，用排除法可以快速完成解答。
【难度系数】
0.8