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1. 如图,这是小明设计的用手电筒测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜,光线从点A发出,经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处.已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=1.2 m,BP=1.8 m,PD=12 m,那么该古城墙CD的高度是 (
A.6 m
B.8 m
C.18 m
D.24 m
B
)A.6 m
B.8 m
C.18 m
D.24 m
答案
1.B
解析
【分析】
首先根据平面镜反射的性质，可得入射角等于反射角，进而推出∠APB=∠CPD；再结合AB⊥BD、CD⊥BD得到两个直角相等，即可证明△ABP与△CDP相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知线段长度即可求出CD的高度。
【解析】
解：由平面镜反射规律可得∠APB=∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∴△ABP∽△CDP（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{PD}$，
将AB=1.2m，BP=1.8m，PD=12m代入得：
$\frac{1.2}{CD}=\frac{1.8}{12}$，
解得$CD=\frac{1.2×12}{1.8}=8$（m）。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、光的反射定律
【点评】
本题是跨学科的实际应用类题目，结合物理光的反射知识，考查学生运用相似三角形解决实际测量问题的能力，解题的关键是准确判断出相似的两个三角形。
【难度系数】
0.7
首先根据平面镜反射的性质，可得入射角等于反射角，进而推出∠APB=∠CPD；再结合AB⊥BD、CD⊥BD得到两个直角相等，即可证明△ABP与△CDP相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知线段长度即可求出CD的高度。
【解析】
解：由平面镜反射规律可得∠APB=∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∴△ABP∽△CDP（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{PD}$，
将AB=1.2m，BP=1.8m，PD=12m代入得：
$\frac{1.2}{CD}=\frac{1.8}{12}$，
解得$CD=\frac{1.2×12}{1.8}=8$（m）。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、光的反射定律
【点评】
本题是跨学科的实际应用类题目，结合物理光的反射知识，考查学生运用相似三角形解决实际测量问题的能力，解题的关键是准确判断出相似的两个三角形。
【难度系数】
0.7
2.如图,小南利用直角三角形纸板测量大树AB的高度.他通过不断调整自己的姿势和直角三角形纸板的摆放位置,使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一条直线上,已知三角形纸板的两直角边长分别为EF=0.2 m,DE=0.3 m,小南的眼睛到地面的距离DM=1.6 m,测得AM=21 m,则大树AB的高度为
15.6
m.答案
2. 15.6
解析
【分析】
本题是利用相似三角形测量高度的实际应用题，解题思路如下：首先过点D作DC垂直AB于点C，构造出与直角三角形DEF相似的△DCB；再根据两角对应相等判定两个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求出BC的长度；最后结合矩形的性质得到AC的长度等于DM，将BC与AC相加即可得到大树AB的高度。
【解析】
过点D作DC⊥AB于点C，则四边形DMAC为矩形，
∴ DC=AM=21m，AC=DM=1.6m，
∵ ∠DEF=∠DCB=90°，∠EDF=∠CDB，
∴ △DEF∽△DCB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{EF}{BC}=\frac{DE}{DC}$，
代入EF=0.2m，DE=0.3m，DC=21m得：
$\frac{0.2}{BC}=\frac{0.3}{21}$，
解得：BC=14m，
∴ AB=BC+AC=14+1.6=15.6m。
【答案】
15.6
【知识点】
相似三角形的应用；相似三角形的性质；矩形的性质
【点评】
本题属于相似三角形在实际测量中的基础应用题，解题的核心是将实际场景转化为几何中的相似三角形模型，利用相似的性质求解未知边长，贴近生活，能较好地考查学生将知识应用到实际的能力。
【难度系数】
0.7
本题是利用相似三角形测量高度的实际应用题，解题思路如下：首先过点D作DC垂直AB于点C，构造出与直角三角形DEF相似的△DCB；再根据两角对应相等判定两个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求出BC的长度；最后结合矩形的性质得到AC的长度等于DM，将BC与AC相加即可得到大树AB的高度。
【解析】
过点D作DC⊥AB于点C，则四边形DMAC为矩形，
∴ DC=AM=21m，AC=DM=1.6m，
∵ ∠DEF=∠DCB=90°，∠EDF=∠CDB，
∴ △DEF∽△DCB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{EF}{BC}=\frac{DE}{DC}$，
代入EF=0.2m，DE=0.3m，DC=21m得：
$\frac{0.2}{BC}=\frac{0.3}{21}$，
解得：BC=14m，
∴ AB=BC+AC=14+1.6=15.6m。
【答案】
15.6
【知识点】
相似三角形的应用；相似三角形的性质；矩形的性质
【点评】
本题属于相似三角形在实际测量中的基础应用题，解题的核心是将实际场景转化为几何中的相似三角形模型，利用相似的性质求解未知边长，贴近生活，能较好地考查学生将知识应用到实际的能力。
【难度系数】
0.7
3.综合实践活动中,某小组用木板自制了一个测高仪测量树高,测高仪ABCD为正方形,AB=0.3 m,顶点A处挂了一个铅锤M.如图所示的是测量树高的示意图,测高仪上的点D,A与树顶E在同一条直线上,铅垂线AM交BC于点H.经测量,点A距地面1.8 m,到树EG的距离AF=11 m,BH=0.2 m.求树EG的高度(结果精确到0.1 m).
答案
3. 解:由题意可知,∠BAE=∠MAF=∠BAD=90°,则∠EAF+∠BAF=∠BAF+∠BAH=90°.
∴∠EAF=∠BAH. 又
∵∠ABH=∠EFA=90°,
∴△EFA∽△HBA.
∴$\frac{EF}{BH}=\frac{AF}{AB}$.
∵AB=0.3 m,BH=0.2 m,AF=11 m,
∴$EF=\frac{AF· BH}{AB}=\frac{22}{3}$ m.
∴$EG=EF+FG=\frac{22}{3}+1.8≈9.1$(m).答:树EG的高度约为9.1 m.
∴∠EAF=∠BAH. 又
∵∠ABH=∠EFA=90°,
∴△EFA∽△HBA.
∴$\frac{EF}{BH}=\frac{AF}{AB}$.
∵AB=0.3 m,BH=0.2 m,AF=11 m,
∴$EF=\frac{AF· BH}{AB}=\frac{22}{3}$ m.
∴$EG=EF+FG=\frac{22}{3}+1.8≈9.1$(m).答:树EG的高度约为9.1 m.
解析
【分析】
要计算树高EG，可将EG拆分为EF和FG两段，其中FG等于点A到地面的高度1.8m，因此仅需求出EF的长度即可。观察图形可知EF在直角三角形EFA中，我们可通过角度互余关系推导得到两组相等的角，证明Rt△EFA和Rt△HBA相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出EF的长度，最后将EF与FG相加就能得到EG的总高度。
【解析】
解：由题意可得，$∠ EFA=∠ ABH=90°$，$∠ BAE=∠ MAF=∠ BAD=90°$，
$\therefore ∠ EAF + ∠ BAF = 90°$，$∠ BAH + ∠ BAF = 90°$，
$\therefore ∠ EAF = ∠ BAH$，
$\therefore △ EFA ∽ △ HBA$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{EF}{BH}=\frac{AF}{AB}$。
将$AB=0.3\ \mathrm{m}$，$BH=0.2\ \mathrm{m}$，$AF=11\ \mathrm{m}$代入比例式，得：
$EF=\frac{AF· BH}{AB}=\frac{11×0.2}{0.3}=\frac{22}{3}\ \mathrm{m}$，
又$\because FG$为点A到地面的高度，即$FG=1.8\ \mathrm{m}$，
$\therefore EG=EF+FG=\frac{22}{3}+1.8\approx9.1\ \mathrm{m}$。
【答案】
树EG的高度约为9.1 m
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测高场景中的典型应用，解题关键是准确找到相似的直角三角形，通过角度互余关系推导等角完成相似判定，再利用相似三角形的性质求解未知边长，计算时需注意近似取值的精度要求。
【难度系数】
0.7
要计算树高EG，可将EG拆分为EF和FG两段，其中FG等于点A到地面的高度1.8m，因此仅需求出EF的长度即可。观察图形可知EF在直角三角形EFA中，我们可通过角度互余关系推导得到两组相等的角，证明Rt△EFA和Rt△HBA相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出EF的长度，最后将EF与FG相加就能得到EG的总高度。
【解析】
解：由题意可得，$∠ EFA=∠ ABH=90°$，$∠ BAE=∠ MAF=∠ BAD=90°$，
$\therefore ∠ EAF + ∠ BAF = 90°$，$∠ BAH + ∠ BAF = 90°$，
$\therefore ∠ EAF = ∠ BAH$，
$\therefore △ EFA ∽ △ HBA$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{EF}{BH}=\frac{AF}{AB}$。
将$AB=0.3\ \mathrm{m}$，$BH=0.2\ \mathrm{m}$，$AF=11\ \mathrm{m}$代入比例式，得：
$EF=\frac{AF· BH}{AB}=\frac{11×0.2}{0.3}=\frac{22}{3}\ \mathrm{m}$，
又$\because FG$为点A到地面的高度，即$FG=1.8\ \mathrm{m}$，
$\therefore EG=EF+FG=\frac{22}{3}+1.8\approx9.1\ \mathrm{m}$。
【答案】
树EG的高度约为9.1 m
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测高场景中的典型应用，解题关键是准确找到相似的直角三角形，通过角度互余关系推导等角完成相似判定，再利用相似三角形的性质求解未知边长，计算时需注意近似取值的精度要求。
【难度系数】
0.7
4. 超然楼是山东四大历史名楼之一，作为济南地标性建筑，在国庆期间吸引了大量游客.某数学兴趣小组想测量超然楼的高度，测量方案及相关数据如下：
主题：测量超然楼的高度
测量方案及示意图：
测量步骤：
步骤1：把2米长的标杆垂直立于地面点D处，后退4米到点Q处，此时楼顶端A、标杆顶端C和点Q正好处于同一条直线上
步骤2：再将此标杆垂直立于地面点F处（其中$FD=50$米），后退6米到点P处，此时楼顶端A、标杆顶端E和点P正好处于同一条直线上
备注：点B,D,Q,F,P在同一水平直线上
(1)若$BD=100$米，只根据步骤1中的测量信息，计算超然楼的高度$AB$.
(2)结合步骤1和步骤2中的测量信息，计算超然楼的高度$AB$.
主题：测量超然楼的高度
测量方案及示意图：
测量步骤：
步骤1：把2米长的标杆垂直立于地面点D处，后退4米到点Q处，此时楼顶端A、标杆顶端C和点Q正好处于同一条直线上
步骤2：再将此标杆垂直立于地面点F处（其中$FD=50$米），后退6米到点P处，此时楼顶端A、标杆顶端E和点P正好处于同一条直线上
备注：点B,D,Q,F,P在同一水平直线上
(1)若$BD=100$米，只根据步骤1中的测量信息，计算超然楼的高度$AB$.
(2)结合步骤1和步骤2中的测量信息，计算超然楼的高度$AB$.
答案
4. 解:(1)根据题意,得CD//AB,CD=2米,DQ=4米,BD=100米.
∵CD//AB,
∴∠QCD=∠QAB,∠QDC=∠QBA.
∴△QCD∽△QAB.
∴$\frac{CD}{AB}=\frac{QD}{QB}$,即$\frac{2}{AB}=\frac{4}{4+100}$.
∴AB=52米.答:超然楼的高度AB为52米.(2)根据题意,得AB//EF,CD=EF=2米,DQ=4米,FD=50米,PF=6米.由(1)可知,$\frac{CD}{AB}=\frac{QD}{QB}$,即$\frac{2}{AB}=\frac{4}{4+BD}$.
∵EF//AB,
∴∠PEF=∠PAB,∠PFE=∠PBA.
∴△PEF∽△PAB.
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{PF}{PB}$,即$\frac{2}{AB}=\frac{6}{6+50+BD}$.
∴$\frac{4}{4+BD}=\frac{6}{6+50+BD}$.
∴BD=100米.
∴$\frac{2}{AB}=\frac{4}{4+100}$.
∴AB=52米.答:超然楼的高度AB为52米.
∵CD//AB,
∴∠QCD=∠QAB,∠QDC=∠QBA.
∴△QCD∽△QAB.
∴$\frac{CD}{AB}=\frac{QD}{QB}$,即$\frac{2}{AB}=\frac{4}{4+100}$.
∴AB=52米.答:超然楼的高度AB为52米.(2)根据题意,得AB//EF,CD=EF=2米,DQ=4米,FD=50米,PF=6米.由(1)可知,$\frac{CD}{AB}=\frac{QD}{QB}$,即$\frac{2}{AB}=\frac{4}{4+BD}$.
∵EF//AB,
∴∠PEF=∠PAB,∠PFE=∠PBA.
∴△PEF∽△PAB.
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{PF}{PB}$,即$\frac{2}{AB}=\frac{6}{6+50+BD}$.
∴$\frac{4}{4+BD}=\frac{6}{6+50+BD}$.
∴BD=100米.
∴$\frac{2}{AB}=\frac{4}{4+100}$.
∴AB=52米.答:超然楼的高度AB为52米.
解析
【分析】
(1) 要计算楼高AB，首先观察到标杆CD和楼AB都垂直于水平地面，可得CD//AB，进而推出△QCD∽△QAB，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的CD、QD、BD的长度即可求出AB。
(2) 未给出BD的长度时，我们可以设BD的长度为未知数，首先根据步骤1的相似关系得到AB和BD的第一个比例式；再由标杆EF也垂直于地面，得EF//AB，推出△PEF∽△PAB，得到AB和BD的第二个比例式，联立两个比例式先求解BD，再代入即可求出AB。
【解析】
(1) 根据题意可知：$CD⊥ PB$，$AB⊥ PB$，$CD=2$米，$DQ=4$米，$BD=100$米
∴ $CD// AB$
∴ $∠ QCD=∠ QAB$，$∠ QDC=∠ QBA=90°$
∴ $△ QCD∽△ QAB$
∴ $\frac{CD}{AB}=\frac{QD}{QB}$，其中$QB=QD+BD=4+100=104$米
代入得：$\frac{2}{AB}=\frac{4}{104}$
解得：$AB=52$米
(2) 设$BD=x$米，根据题意可知：$CD=EF=2$米，$DQ=4$米，$FD=50$米，$PF=6$米，$CD⊥ PB$，$EF⊥ PB$，$AB⊥ PB$
由(1)可得$△ QCD∽△ QAB$，故 $\frac{CD}{AB}=\frac{QD}{QB}$，即 $\frac{2}{AB}=\frac{4}{4+x}$ ①
∵ $EF// AB$
∴ $∠ PEF=∠ PAB$，$∠ PFE=∠ PBA=90°$
∴ $△ PEF∽△ PAB$
∴ $\frac{EF}{AB}=\frac{PF}{PB}$，其中$PB=PF+FD+BD=6+50+x=56+x$
即 $\frac{2}{AB}=\frac{6}{56+x}$ ②
联立①②可得：$\frac{4}{4+x}=\frac{6}{56+x}$
交叉相乘得：$4×(56+x)=6×(4+x)$
解得：$x=100$
将$x=100$代入①式：$\frac{2}{AB}=\frac{4}{4+100}$，解得$AB=52$米
【答案】
(1) 超然楼的高度AB为52米；
(2) 超然楼的高度AB为52米。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形解决实际测量问题的典型题型，通过构造共边共角的相似三角形，利用对应边成比例建立等量关系求解，解题的关键是准确找到相似三角形对应的边，理清各线段长度之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
(1) 要计算楼高AB，首先观察到标杆CD和楼AB都垂直于水平地面，可得CD//AB，进而推出△QCD∽△QAB，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的CD、QD、BD的长度即可求出AB。
(2) 未给出BD的长度时，我们可以设BD的长度为未知数，首先根据步骤1的相似关系得到AB和BD的第一个比例式；再由标杆EF也垂直于地面，得EF//AB，推出△PEF∽△PAB，得到AB和BD的第二个比例式，联立两个比例式先求解BD，再代入即可求出AB。
【解析】
(1) 根据题意可知：$CD⊥ PB$，$AB⊥ PB$，$CD=2$米，$DQ=4$米，$BD=100$米
∴ $CD// AB$
∴ $∠ QCD=∠ QAB$，$∠ QDC=∠ QBA=90°$
∴ $△ QCD∽△ QAB$
∴ $\frac{CD}{AB}=\frac{QD}{QB}$，其中$QB=QD+BD=4+100=104$米
代入得：$\frac{2}{AB}=\frac{4}{104}$
解得：$AB=52$米
(2) 设$BD=x$米，根据题意可知：$CD=EF=2$米，$DQ=4$米，$FD=50$米，$PF=6$米，$CD⊥ PB$，$EF⊥ PB$，$AB⊥ PB$
由(1)可得$△ QCD∽△ QAB$，故 $\frac{CD}{AB}=\frac{QD}{QB}$，即 $\frac{2}{AB}=\frac{4}{4+x}$ ①
∵ $EF// AB$
∴ $∠ PEF=∠ PAB$，$∠ PFE=∠ PBA=90°$
∴ $△ PEF∽△ PAB$
∴ $\frac{EF}{AB}=\frac{PF}{PB}$，其中$PB=PF+FD+BD=6+50+x=56+x$
即 $\frac{2}{AB}=\frac{6}{56+x}$ ②
联立①②可得：$\frac{4}{4+x}=\frac{6}{56+x}$
交叉相乘得：$4×(56+x)=6×(4+x)$
解得：$x=100$
将$x=100$代入①式：$\frac{2}{AB}=\frac{4}{4+100}$，解得$AB=52$米
【答案】
(1) 超然楼的高度AB为52米；
(2) 超然楼的高度AB为52米。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形解决实际测量问题的典型题型，通过构造共边共角的相似三角形，利用对应边成比例建立等量关系求解，解题的关键是准确找到相似三角形对应的边，理清各线段长度之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
