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8.(2025·浙江)如图,五边形ABCDE,A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形,已知点A,A'的坐标分别为(2,0),(3,0).若DE的长为3,则D'E'的长为 (
A.$\frac{7}{2}$
B.4
C.$\frac{9}{2}$
D.5
C
)A.$\frac{7}{2}$
B.4
C.$\frac{9}{2}$
D.5
答案
8.C
解析
【分析】
首先明确两个五边形是以原点为位似中心的位似图形，根据位似图形的性质，位似中心在原点时，两个图形的位似比等于对应点到原点的距离之比。我们先通过已知的对应点A、A'的坐标求出位似比，再利用位似图形对应边的比等于位似比，代入DE的长度即可求出D'E'的长。
【解析】
解：
∵五边形ABCDE与A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A(2,0)，A'(3,0)，
∴两个五边形的位似比$k=\frac{OA'}{OA}=\frac{3}{2}$，
∵位似图形的对应边成比例，且比例等于位似比，
∴$\frac{D'E'}{DE}=\frac{3}{2}$，
又
∵DE=3，
∴$D'E'=3×\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质；坐标系中的位似变换；对应边成比例
【点评】
本题考查位似图形的相关计算，解题核心是先根据对应点的坐标求出位似比，再结合位似图形对应边的比等于位似比求解，是位似知识点的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
首先明确两个五边形是以原点为位似中心的位似图形，根据位似图形的性质，位似中心在原点时，两个图形的位似比等于对应点到原点的距离之比。我们先通过已知的对应点A、A'的坐标求出位似比，再利用位似图形对应边的比等于位似比，代入DE的长度即可求出D'E'的长。
【解析】
解：
∵五边形ABCDE与A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A(2,0)，A'(3,0)，
∴两个五边形的位似比$k=\frac{OA'}{OA}=\frac{3}{2}$，
∵位似图形的对应边成比例，且比例等于位似比，
∴$\frac{D'E'}{DE}=\frac{3}{2}$，
又
∵DE=3，
∴$D'E'=3×\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质；坐标系中的位似变换；对应边成比例
【点评】
本题考查位似图形的相关计算，解题核心是先根据对应点的坐标求出位似比，再结合位似图形对应边的比等于位似比求解，是位似知识点的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
9.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(-2,2),B(-4,1),C(-1,-1),以点C为位似中心，在x轴下方作与△ABC的相似比为2的位似图形△A'B'C'，则点A'的 坐标为（
A.(3,-7)
B.(1,-7)
C.(4,-4)
D.(1,-4)
B
）A.(3,-7)
B.(1,-7)
C.(4,-4)
D.(1,-4)
答案
9.B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确位似变换的三要素：位似中心是点C，相似比为2，且位似图形△A'B'C'在x轴下方，与原△ABC在位似中心的异侧。解题思路是：先计算点A相对于位似中心C的相对坐标，再结合位似比和方向得到点A'相对于C的相对坐标，最后换算为平面直角坐标系中的绝对坐标即可。
【解析】
已知点A坐标为(-2,2)，位似中心C坐标为(-1,-1)：
1. 计算点A相对于点C的坐标差：
横坐标差：$-2 - (-1) = -1$，纵坐标差：$2 - (-1) = 3$，即点A在点C的左侧1个单位、上方3个单位处。
2. 由于位似比为2，且位似图形在位似中心的异侧，因此坐标差需乘以$-2$：
新的相对横坐标：$-1×(-2)=2$，新的相对纵坐标：$3×(-2)=-6$，即点A'在点C的右侧2个单位、下方6个单位处。
3. 计算A'的绝对坐标：
将相对坐标加上C点的坐标，得A'横坐标：$-1 + 2 = 1$，纵坐标：$-1 + (-6) = -7$。
因此点A'的坐标为(1,-7)。
【答案】
B
【知识点】
位似变换的性质；平面直角坐标系坐标运算；相似比的应用
【点评】
本题主要考查位似变换下对应点坐标的计算，解题的关键是准确把握位似中心的位置、位似比的大小以及位似图形的方向，掌握相对坐标的计算方法就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确位似变换的三要素：位似中心是点C，相似比为2，且位似图形△A'B'C'在x轴下方，与原△ABC在位似中心的异侧。解题思路是：先计算点A相对于位似中心C的相对坐标，再结合位似比和方向得到点A'相对于C的相对坐标，最后换算为平面直角坐标系中的绝对坐标即可。
【解析】
已知点A坐标为(-2,2)，位似中心C坐标为(-1,-1)：
1. 计算点A相对于点C的坐标差：
横坐标差：$-2 - (-1) = -1$，纵坐标差：$2 - (-1) = 3$，即点A在点C的左侧1个单位、上方3个单位处。
2. 由于位似比为2，且位似图形在位似中心的异侧，因此坐标差需乘以$-2$：
新的相对横坐标：$-1×(-2)=2$，新的相对纵坐标：$3×(-2)=-6$，即点A'在点C的右侧2个单位、下方6个单位处。
3. 计算A'的绝对坐标：
将相对坐标加上C点的坐标，得A'横坐标：$-1 + 2 = 1$，纵坐标：$-1 + (-6) = -7$。
因此点A'的坐标为(1,-7)。
【答案】
B
【知识点】
位似变换的性质；平面直角坐标系坐标运算；相似比的应用
【点评】
本题主要考查位似变换下对应点坐标的计算，解题的关键是准确把握位似中心的位置、位似比的大小以及位似图形的方向，掌握相对坐标的计算方法就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
10. 如图，$△ ABC$与$△ DOE$是位似图形，$A(0,3)$，$B(-2,0)$，$C(1,0)$，$E(6,0)$，$△ ABC$与$△ DOE$的位似中心为点$M$。
(1)求出点$D$的坐标.
(2)在图中画出点$M$，并求点$M$的坐标.
(1)求出点$D$的坐标.
(2)在图中画出点$M$，并求点$M$的坐标.
答案
10.解:(1)由题意可得,$△ABC∽△DOE$,$OA=3$,$OB=2$,$BC=3$,$OE=6$. $\therefore \frac{AB}{DO}=\frac{BC}{OE}=\frac{1}{2}$. 过点$D$作$DH⊥OE$于点$H$,则$△AOB∽△DHO$,$\therefore \frac{AB}{DO}=\frac{OB}{HO}=\frac{AO}{DH}=\frac{1}{2}$. $\therefore OH=2OB=4$,$DH=2OA=6$. $\therefore$ 点$D$的坐标为$(4,6)$. (2)图略,连接$DA$并延长,交$x$轴于点$M$,则点$M$即为所求,且$\frac{MO}{MH}=\frac{AO}{DH}=\frac{1}{2}$. 设$MO=x$,则$MH=x+4$,$\therefore \frac{x}{x+4}=\frac{1}{2}$,解得$x=4$. 经检验,$x=4$是原分式方程的根. $\therefore$ 点$M$的坐标为$(-4,0)$.
解析
【分析】
(1) 求解点D坐标的思路：首先位似图形必为相似图形，先计算△ABC的底BC和△DOE的底OE的长度，得到两个三角形的相似比；再过D作x轴的垂线DH，证明△AOB与△DHO相似，利用相似比求出OH、DH的长度，即可得到D的坐标。
(2) 求解位似中心M的思路：位似中心是所有对应点连线的公共交点，因此连接对应点A、D并延长，与x轴的交点就是M；再利用△MAO和△MDH相似得到线段比例关系，设未知数列方程求解即可得到M的坐标。
【解析】
(1) 由位似的性质得$△ ABC ∽ △ DOE$，
由已知点坐标计算得：$OA=3$，$OB=2$，$BC=1-(-2)=3$，$OE=6$，
$\therefore$ 相似比$\frac{BC}{OE}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AB}{DO}=\frac{1}{2}$。
过点$D$作$DH ⊥ OE$于点$H$，
$\because ∠ AOB=∠ DHO=90°$，$∠ ABO=∠ DOH$（位似对应角相等），
$\therefore △ AOB ∽ △ DHO$，
$\therefore \frac{OB}{HO}=\frac{AO}{DH}=\frac{1}{2}$，
解得$HO=2OB=4$，$DH=2AO=6$，
即点$D$的坐标为$(4,6)$。
(2) 连接$DA$并延长，交$x$轴于点$M$，则$M$即为所求的位似中心（画图略）。
$\because AO ⊥ x$轴，$DH ⊥ x$轴，$\therefore AO // DH$，
$\therefore △ MAO ∽ △ MDH$，得$\frac{MO}{MH}=\frac{AO}{DH}=\frac{1}{2}$。
设$MO=x$，则$MH=x+4$，代入比例式得：
$\frac{x}{x+4}=\frac{1}{2}$，
解得$x=4$，经检验$x=4$是原分式方程的解，
$\because M$在$x$轴负半轴，$\therefore$ 点$M$的坐标为$(-4,0)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(4,6)}$
(2) 连接$DA$延长交$x$轴于点$M$即为所求，$M$的坐标为$\boldsymbol{(-4,0)}$
【知识点】
位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，坐标与位似变换
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的位似变换应用，解题关键是找准对应点、确定相似比，结合相似三角形的线段比例关系求解坐标，是位似章节的典型基础题型，需要熟练掌握位似和相似的关联。
【难度系数】
0.7
(1) 求解点D坐标的思路：首先位似图形必为相似图形，先计算△ABC的底BC和△DOE的底OE的长度，得到两个三角形的相似比；再过D作x轴的垂线DH，证明△AOB与△DHO相似，利用相似比求出OH、DH的长度，即可得到D的坐标。
(2) 求解位似中心M的思路：位似中心是所有对应点连线的公共交点，因此连接对应点A、D并延长，与x轴的交点就是M；再利用△MAO和△MDH相似得到线段比例关系，设未知数列方程求解即可得到M的坐标。
【解析】
(1) 由位似的性质得$△ ABC ∽ △ DOE$，
由已知点坐标计算得：$OA=3$，$OB=2$，$BC=1-(-2)=3$，$OE=6$，
$\therefore$ 相似比$\frac{BC}{OE}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AB}{DO}=\frac{1}{2}$。
过点$D$作$DH ⊥ OE$于点$H$，
$\because ∠ AOB=∠ DHO=90°$，$∠ ABO=∠ DOH$（位似对应角相等），
$\therefore △ AOB ∽ △ DHO$，
$\therefore \frac{OB}{HO}=\frac{AO}{DH}=\frac{1}{2}$，
解得$HO=2OB=4$，$DH=2AO=6$，
即点$D$的坐标为$(4,6)$。
(2) 连接$DA$并延长，交$x$轴于点$M$，则$M$即为所求的位似中心（画图略）。
$\because AO ⊥ x$轴，$DH ⊥ x$轴，$\therefore AO // DH$，
$\therefore △ MAO ∽ △ MDH$，得$\frac{MO}{MH}=\frac{AO}{DH}=\frac{1}{2}$。
设$MO=x$，则$MH=x+4$，代入比例式得：
$\frac{x}{x+4}=\frac{1}{2}$，
解得$x=4$，经检验$x=4$是原分式方程的解，
$\because M$在$x$轴负半轴，$\therefore$ 点$M$的坐标为$(-4,0)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(4,6)}$
(2) 连接$DA$延长交$x$轴于点$M$即为所求，$M$的坐标为$\boldsymbol{(-4,0)}$
【知识点】
位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，坐标与位似变换
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的位似变换应用，解题关键是找准对应点、确定相似比，结合相似三角形的线段比例关系求解坐标，是位似章节的典型基础题型，需要熟练掌握位似和相似的关联。
【难度系数】
0.7
11. 新考向·新定义问题 如果两个一次函数$y=k_1x+b_1$和$y=k_2x+b_2$满足$k_1=k_2$，$b_1≠b_2$，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”。如图，已知函数$y=-2x+4$的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，一次函数$y=kx+b$与$y=-2x+4$是“平行一次函数”。
(1)若函数$y=kx+b$的图象过点$(3,1)$，求b的值。
(2)若函数$y=kx+b$的图象与两坐标轴围成的三角形和$△ AOB$构成位似图形，位似中心为原点，相似比为$\frac{1}{2}$，求函数$y=kx+b$的表达式。
(1)若函数$y=kx+b$的图象过点$(3,1)$，求b的值。
(2)若函数$y=kx+b$的图象与两坐标轴围成的三角形和$△ AOB$构成位似图形，位似中心为原点，相似比为$\frac{1}{2}$，求函数$y=kx+b$的表达式。
答案
11.解:(1)由题意,得$k=-2$. 把点$(3,1)$和$k=-2$代入$y=kx+b$,得$1=-2×3+b$,$\therefore b=7$. (2)$\because$ 相似比为$\frac{1}{2}$,$\therefore$ 函数$y=kx+b$的图象有两种情况:①不经过第三象限时,过点$(1,0)$和点$(0,2)$,此时表达式为$y=-2x+2$;②不经过第一象限时,过点$(-1,0)$和点$(0,-2)$,此时表达式为$y=-2x-2$. 综上所述,函数$y=kx+b$的表达式为$y=-2x+2$或$y=-2x-2$.
解析
【分析】
本题分两小问，解题思路如下：
(1)首先根据“平行一次函数”的定义，两个平行一次函数的k值相等，可直接得出所求一次函数的k=-2；再将已知点坐标代入y=kx+b，代入k值后即可求解b的值。
(2)先求出原函数与坐标轴交点A、B的坐标，再根据位似图形的性质：位似中心为原点时，对应点的坐标等于原坐标乘以相似比或相似比的相反数（对应位似图形与原图形在原点同侧、异侧两种情况），结合相似比为$\frac{1}{2}$得到所求一次函数与坐标轴的交点，分情况代入解析式即可求出b，得到函数表达式。
【解析】
(1)根据“平行一次函数”的定义，$y=kx+b$与$y=-2x+4$平行，因此$k=-2$。
将点$(3,1)$、$k=-2$代入$y=kx+b$，得：
$1=-2×3+b$
解得：$b=7$。
(2)先求$△ AOB$的顶点坐标：
对于$y=-2x+4$，令$y=0$，得$0=-2x+4$，解得$x=2$，即$A(2,0)$；令$x=0$，得$y=4$，即$B(0,4)$。
已知位似中心为原点，相似比为$\frac{1}{2}$，分两种情况讨论：
①当所求直线与$△ AOB$在原点同侧时，对应交点坐标为原坐标乘$\frac{1}{2}$，即过点$(1,0)$和$(0,2)$，将$(0,2)$、$k=-2$代入$y=kx+b$，得$b=2$，此时表达式为$y=-2x+2$；
②当所求直线与$△ AOB$在原点异侧时，对应交点坐标为原坐标乘$-\frac{1}{2}$，即过点$(-1,0)$和$(0,-2)$，将$(0,-2)$、$k=-2$代入$y=kx+b$，得$b=-2$，此时表达式为$y=-2x-2$。
综上，函数$y=kx+b$的表达式为$y=-2x+2$或$y=-2x-2$。
【答案】
(1)$b=7$；(2)$y=-2x+2$或$y=-2x-2$
【知识点】
一次函数解析式求解，位似图形坐标变换，新定义阅读理解
【点评】
本题结合新定义考查一次函数与位似图形的综合应用，解题关键是先根据平行关系确定k值，需要注意位似图形存在两种位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题分两小问，解题思路如下：
(1)首先根据“平行一次函数”的定义，两个平行一次函数的k值相等，可直接得出所求一次函数的k=-2；再将已知点坐标代入y=kx+b，代入k值后即可求解b的值。
(2)先求出原函数与坐标轴交点A、B的坐标，再根据位似图形的性质：位似中心为原点时，对应点的坐标等于原坐标乘以相似比或相似比的相反数（对应位似图形与原图形在原点同侧、异侧两种情况），结合相似比为$\frac{1}{2}$得到所求一次函数与坐标轴的交点，分情况代入解析式即可求出b，得到函数表达式。
【解析】
(1)根据“平行一次函数”的定义，$y=kx+b$与$y=-2x+4$平行，因此$k=-2$。
将点$(3,1)$、$k=-2$代入$y=kx+b$，得：
$1=-2×3+b$
解得：$b=7$。
(2)先求$△ AOB$的顶点坐标：
对于$y=-2x+4$，令$y=0$，得$0=-2x+4$，解得$x=2$，即$A(2,0)$；令$x=0$，得$y=4$，即$B(0,4)$。
已知位似中心为原点，相似比为$\frac{1}{2}$，分两种情况讨论：
①当所求直线与$△ AOB$在原点同侧时，对应交点坐标为原坐标乘$\frac{1}{2}$，即过点$(1,0)$和$(0,2)$，将$(0,2)$、$k=-2$代入$y=kx+b$，得$b=2$，此时表达式为$y=-2x+2$；
②当所求直线与$△ AOB$在原点异侧时，对应交点坐标为原坐标乘$-\frac{1}{2}$，即过点$(-1,0)$和$(0,-2)$，将$(0,-2)$、$k=-2$代入$y=kx+b$，得$b=-2$，此时表达式为$y=-2x-2$。
综上，函数$y=kx+b$的表达式为$y=-2x+2$或$y=-2x-2$。
【答案】
(1)$b=7$；(2)$y=-2x+2$或$y=-2x-2$
【知识点】
一次函数解析式求解，位似图形坐标变换，新定义阅读理解
【点评】
本题结合新定义考查一次函数与位似图形的综合应用，解题关键是先根据平行关系确定k值，需要注意位似图形存在两种位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
