数学活动专题
活动1 制作纸魔方
请同学们根据课本P182页“活动1”中的相关步骤制作一个纸魔方,并记录它可以变化的不同形状,然后与其他人分享你的创意.
活动2 绘制五角星
活动探究
仿照下面的步骤画一个五角星(图①):
(1)任意画一个圆;
(2)以圆心为顶点,连续画$72°$(即$360° ÷ 5$)的角,与圆相交于五个点;
(3)连接每隔一点的两个点;
(4)擦去多余的线,就得到五角星.

活动2题图①
你能说出这种画法的道理吗?你还有其他画法吗?类似地,你能画出一个六角星吗?
活动拓展 折纸制作五角星
通过折纸,你能制作一个五角星吗?
一、准备工作:准备彩色纸若干张、剪刀等.
二、活动步骤:
步骤一,对折长方形纸张(图②),得到图③;
步骤二,选长方形底边一处向左翻折$72°$,如图④所示;
步骤三,沿着与长方形折纸重叠的边对折纸张,如图⑤所示;
步骤四,将剩余部分也翻折,此时剩余部分恰好与前面部分重合,再将剪刀与纸张的边形成一个随意度数的角剪下去,如图⑥所示.

活动2题图
如图⑥,沿不同的$∠ α$剪开,得到的五角星形状相同吗?哪一种更美观?变换不同的$∠ α$试一试!
许多艺术设计和图案设计都与星形有关,在你画出的五角星或六角星上着色,可得到如图⑦的艺术图案,你能在此基础上再设计一些图案吗?

活动2题图⑦

【活动探究】道理:圆的圆周角是 360°,将其等分为 5 份,每份的角度是 72°,这样在圆上得到的五个交点把圆周五等分,连接每隔一点的两个点(即间隔一个点连接),根据正多边形的性质,由于这五个点均匀分布在圆周上,这样连接形成的图形五条边相等,五个角也相等,所以得到的是正五角星.
其他画法略,画出一个六角星略.
【活动拓展】不同,当∠α=72°时,得到的五角星形状更美观. 设计图案略.

【分析】
解答本题可分两个模块思考：①针对五角星画法原理：先回忆周角为360°的性质，要得到圆周上均匀分布的5个点，需将圆心角平均分为5份，每份72°，这5个点是圆的五等分点，同圆中相等的圆心角对应弦长相等，间隔一点连线时，得到的边、角均相等，即可得到正五角星。②针对折纸剪五角星的问题：剪角∠α的大小决定了五角星尖角的角度，角度不同五角星形状不同，符合正五角星特征的剪裁角度视觉上更美观。其余动手操作类问题结合对应原理实践即可。
【解析】
活动探究
首先，周角的度数为360°，连续画5个72°的圆心角，恰好将周角平均分为5份，这些角与圆的交点将圆周五等分。由于同圆中相等的圆心角所对的弦长相等，因此间隔一个点连接两个交点时，得到的五条线段长度相等，对应的五个顶角也相等，最终形成正五角星。其他五角星、六角星的画法可通过等分圆、折纸等方式实践完成，艺术图案可结合星形的对称性创意设计。
活动拓展
剪裁时∠α的大小决定了五角星尖角的角度，因此沿不同的∠α剪开得到的五角星形状不同；当∠α=72°时，得到的是正五角星，对称性更强，视觉上更美观。
【答案】
【活动探究】道理:圆的圆周角是 360°,将其等分为 5 份,每份的角度是 72°,这样在圆上得到的五个交点把圆周五等分,连接每隔一点的两个点(即间隔一个点连接),根据正多边形的性质,由于这五个点均匀分布在圆周上,这样连接形成的图形五条边相等,五个角也相等,所以得到的是正五角星.
其他画法略,画出一个六角星略.
【活动拓展】不同,当∠α=72°时,得到的五角星形状更美观. 设计图案略.
【知识点】
周角的特征，圆的等分，正多边形性质
【点评】
本题将数学基础原理与动手实践相结合，既考察了角度、圆、正多边形的相关知识，也引导学生感受数学在艺术设计领域的应用，有利于锻炼动手操作能力与创意设计思维。
【难度系数】
0.7