1. 探究应用
综合与实践课上，老师带领同学们在圆中绘制五角星.
画法如图①:(1)任意画一个圆;(2)以圆心为顶点,连续画$72°$(即$360° ÷ 5$)的角,与圆相交于五个点;(3)连接每隔一点的两个点;(4)擦去多余的线和圆心,就得到五角星.

第1题图①
【类比探究】
(1)如图②是小明画出的五角星,由画图步骤可知:
①若$OA=5$,则$OB$的长为;
②$∠ AOB$的度数为;

第1题图②
(2)请你仿照上面的方法,利用圆规、量角器、直尺画出六角星并写出步骤;
(3)数学小组在对五角星的性质进行初步了解后,采用如图③折纸的方式裁剪五角星,求图中$∠ 4$的度数;
(4)聪聪受到启发,采用如图④的方式裁剪得到六角星,裁剪步骤如下图,求$∠ β$的度数.

第1题图③
第1题图④

1. 解:(1)①5;②72°;
(2)画出六角星解图略,步骤略;
(3)∠4=72°;
(4)∠β=30°.

【分析】
解题时结合题干给出的五角星画法思路，类比推导各问：
1. 第(1)问：①OA、OB都是同圆的半径，根据同圆半径相等即可直接得出OB的长度；②画五角星时是将周角360°平均分为5份，每份对应圆心角就是∠AOB的度数。
2. 第(2)问：类比五角星的画法，六角星需要将周角平均分为6份，按画五角星的步骤调整等分份数即可。
3. 第(3)问：折纸裁剪五角星的本质是将周角平均分成5等份，每份的度数就是∠4的度数。
4. 第(4)问：裁剪六角星时，结合折叠特性，将平角平均分为6等份即可算出∠β的度数。
【解析】
(1) ①
∵OA、OB是同一个圆的半径，同圆的半径相等，已知OA=5，
∴OB=OA=5；
②由五角星画法可知，周角360°被平均分成5份，每份圆心角度数为$360°÷5=72°$，
∴$∠ AOB=72°$。
(2) 六角星画法步骤：
①任意画一个圆；
②以圆心为顶点，连续画6个$60°$（即$360°÷6$）的角，角的边与圆相交于6个点；
③连接每隔一点的两个点；
④擦去多余的线和圆心，即可得到六角星（画图略）。
(3) 解：裁剪五角星时，相当于将周角平均分成5等份，每份的度数即为$∠4$的度数，因此$∠4=360°÷5=72°$。
(4) 解：裁剪六角星时，结合折叠的特性，相当于将平角$180°$平均分成6等份，每份的度数即为$∠β$的度数，因此$∠β=180°÷6=30°$。
【答案】
(1) ①$\boldsymbol{5}$；②$\boldsymbol{72°}$；
(2) 画图及步骤略；
(3) $\boldsymbol{∠4=72°}$；
(4) $\boldsymbol{∠β=30°}$
【知识点】
1. 同圆半径相等
2. 角度等分计算
3. 图形操作实践
【点评】
本题结合动手绘图、折纸裁剪的实践场景，考察圆的基本性质和角度计算能力，引导学生用类比迁移的方法解决新问题，兼顾知识应用和实践操作能力的考察。
【难度系数】
0.7