任务导学
任务一 掌握平行四边形的判定定理1
知识回顾：
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。
友情提示：在没有学习平行四边形的判定定理之前，可用定义判定。

定义判定法：
∵ ，，
∴四边形ABCD是平行四边形。
类比探究：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC。

【分析】连接AC，由 证明△ABC≌△CDA，得出∠BAC=∠，∠ACB=∠，证出AB//，BC//，即可得出结论：四边形ABCD是平行四边形。
推理证明：
新知生成：两组对边分别的四边形是平行四边形。

定义判定：AB//CD，BC//AD
类比探究：SSS，∠DCA，∠CAD，AB//CD，BC//AD
推理证明略。
新知生成：相等

【分析】
本题围绕平行四边形的定义及判定定理1的推导展开，解题思路如下：首先明确平行四边形的定义是判定平行四边形的基础依据，要通过定义判定需满足两组对边分别平行；其次在推导判定定理时，已知两组对边相等，可通过连接对角线构造全等三角形，利用SSS判定全等后，由对应角相等得到内错角相等，进而推出两组对边平行，最终结合定义得出新的判定定理。
【解析】
1. 定义判定法：根据平行四边形的定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因此当AB//CD，BC//AD时，可判定四边形ABCD是平行四边形。
2. 类比探究：连接AC后，在△ABC和△CDA中，AB=CD，AD=BC，AC为公共边，因此可通过SSS（边边边）判定△ABC≌△CDA；由全等三角形对应角相等可得∠BAC=∠DCA，∠ACB=∠CAD；根据“内错角相等，两直线平行”，可证得AB//CD，BC//AD，符合平行四边形的定义，因此四边形ABCD是平行四边形。
3. 新知生成：由上述推导过程可总结得出：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
【答案】
定义判定：AB//CD，BC//AD
类比探究：SSS，∠DCA，∠CAD，CD，AD
新知生成：相等
【知识点】
平行四边形定义；全等三角形判定与性质；平行四边形判定
【点评】
本题是平行四边形判定定理的基础推导题，帮助学生梳理从已知定义到推导新判定定理的逻辑思路，掌握“构造全等三角形→角的关系转化→证明线平行”的几何常用推导方法，夯实几何证明的基础思维。
【难度系数】
0.85

1. 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，可添加一个条件：，使得四边形ABCD成为平行四边形；如果已知AB=CD，可添加一个条件：，使得四边形ABCD成为平行四边形。

1. AD//BC AD=BC

【分析】
解题时先回忆平行四边形的判定定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
第一空已知$AB// CD$，已有一组对边平行，我们可以补充另一组对边平行，用判定定理①证明，也可以补充$AB=CD$用判定定理③证明，任选符合要求的条件即可，本题参考答案选$AD// BC$。
第二空已知$AB=CD$，已有一组对边相等，我们可以补充另一组对边相等，用判定定理②证明，也可以补充$AB// CD$用判定定理③证明，任选符合要求的条件即可，本题参考答案选$AD=BC$。
【解析】
第一空：已知$AB// CD$，若添加$AD// BC$，则四边形ABCD的两组对边分别平行，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可判定四边形ABCD是平行四边形。
第二空：已知$AB=CD$，若添加$AD=BC$，则四边形ABCD的两组对边分别相等，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形ABCD是平行四边形。
（两空答案均不唯一，符合平行四边形判定定理即可）
【答案】
$AD// BC$（答案不唯一）；$AD=BC$（答案不唯一）
【知识点】
平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础开放性考题，主要考查平行四边形判定定理的灵活应用，熟练掌握平行四边形的判定规则即可快速作答。
【难度系数】
0.9

2. 如图，$AD ⊥ AC$，$BC ⊥ AC$，且$AB = CD$，求证：四边形$ABCD$是平行四边形。

证明：
∵ $AD ⊥ AC$，$BC ⊥ AC$，
∴ $∠ DAC = ∠ BCA = 90°$，$AD // BC$。
在$\mathrm{Rt}△ DAC$和$\mathrm{Rt}△ BCA$中，
$\begin{cases} CD = AB \\ AC = CA \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ DAC ≌ \mathrm{Rt}△ BCA(\mathrm{HL})$。
∴ $AD = BC$。
又∵ $AD // BC$，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形。

【分析】
要证明四边形ABCD是平行四边形，优先考虑用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理简化计算。首先从已知垂直条件入手，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可先得出AD//BC；接下来只需证明AD=BC即可，观察发现AD、BC分别属于Rt△DAC和Rt△BCA，已知两个直角三角形的斜边AB=CD，且有公共边AC=CA，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，得到对应边AD=BC，最终结合平行+相等的结论即可完成判定。
【解析】
证明：
∵ $AD ⊥ AC$，$BC ⊥ AC$，
∴ $∠ DAC = ∠ BCA = 90°$，$AD // BC$。
在$\mathrm{Rt}△ DAC$和$\mathrm{Rt}△ BCA$中，
$\begin{cases} CD = AB \\ AC = CA \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ DAC ≌ \mathrm{Rt}△ BCA(\mathrm{HL})$。
∴ $AD = BC$。
又
∵ $AD // BC$，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形。
【答案】
证明过程如上，四边形ABCD是平行四边形得证。
【知识点】
平行线的判定；直角三角形全等判定；平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考察了平行线判定、直角三角形全等证明和平行四边形判定三类基础知识点，解题关键是理清证明逻辑，先推导对边平行，再通过全等推导对边相等，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8