类型一 数轴相关的问题
一、数轴上的有理数大小比较
数轴上两个点所表示的有理数，右边的数总比左边的数大。
1. 有理数a,b在数轴上的位置如图所示，下列说法中，正确的是 （）

A. a,b都是正数
B. a,b都是负数
C. a是正数，b是负数
D. a是负数，b是正数
2. 数轴上有4个点A,B,C,D，它们与原点的距离分别为1,2,3,4，且点A,C在原点左边，点B,D在原点右边。
(1)请分别写出点A,B,C,D表示的数。
(2)比较这四个数的大小，并用“＞”连接。

1. D
2. (1)点A表示-1,点B表示2,点C表示-3,点D表示4。
(2)4＞2＞-1＞-3。

【分析】
第1题解题思路：先回忆数轴的基本性质：数轴上原点表示0，原点左侧的数是负数，原点右侧的数是正数，观察图中a、b的位置，a在0左侧，b在0右侧，即可判断两个数的正负。
第2题解题思路：(1) 数轴上点到原点的距离等于该点所表示数的绝对值，原点左侧的数为负，右侧的数为正，结合题目给出的距离和点的位置就能写出四个点对应的数；(2) 比较有理数大小时，正数大于负数，正数中绝对值越大数越大，负数中绝对值越大量越小，也可根据“数轴上右边的数总比左边的数大”直接排序。
【解析】
1. 观察数轴可知：a位于原点0的左侧，因此a＜0，是负数；b位于原点0的右侧，因此b＞0，是正数，对应选项D。
2. (1) 根据点到原点的距离为对应数的绝对值，结合点的位置：
点A在原点左侧、到原点距离为1，所以表示的数为-1；
点B在原点右侧、到原点距离为2，所以表示的数为2；
点C在原点左侧、到原点距离为3，所以表示的数为-3；
点D在原点右侧、到原点距离为4，所以表示的数为4。
(2) 有理数大小比较规则：正数大于负数，同号数比较时绝对值大的正数更大、绝对值大的负数更小，因此四个数从大到小排序为4＞2＞-1＞-3。
【答案】
1. D
2. (1) 点A表示-1，点B表示2，点C表示-3，点D表示4。
(2) 4＞2＞-1＞-3
【知识点】
数轴的认识，有理数大小比较，绝对值的意义
【点评】
这是数轴相关的基础题型，重点考查数轴的基本特征、绝对值的几何含义以及有理数大小比较的方法，熟练掌握数轴的基础性质就能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.9

二、数轴上的相反数
互为相反数的两个数在数轴上对应的点，到原点的距离相等。
3. 如图，数轴的单位长度为1。
(1)如果点P,T表示的数互为相反数，那么点S表示的数是多少？点P,T表示的数分别是多少？
(2)如果在三点P,R,T中的其中两点所表示的数是互为相反数，则此时点S表示的数是什么？

3. (1)点S表示的数是0,点P表示的数是-4,点T表示的数是4。
(2)当P,R两点表示的数互为相反数,点S表示的数是3;当P,T两点表示的数互为相反数,点S表示的数是0;当R,T两点表示的数互为相反数,点S表示的数是-1。

【分析】
解题核心是利用相反数的几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的点关于原点对称，即原点是这两个点的中点，到两点的距离相等。
(1)先确定P、T两点间的距离，找到它们的中点即为原点，再根据各点与原点的位置关系计算对应数值；
(2)分三种情况讨论：P和R互为相反数、P和T互为相反数、R和T互为相反数，每种情况都先找到对应两点的中点确定原点位置，再计算点S表示的数即可。
【解析】
(1)观察数轴可得，点P和点T之间的距离为8个单位长度。
因为点P、T表示的数互为相反数，所以原点是PT的中点，到P、T的距离均为$8÷2=4$个单位长度，可知PT的中点恰好是点S，因此点S表示的数是0。
点P在S左侧4个单位长度，所以P表示的数为$0-4=-4$；点T在S右侧4个单位长度，所以T表示的数为$0+4=4$。
(2)分三种情况讨论：
① 当P、R两点表示的数互为相反数时：
P、R之间距离为2个单位长度，原点为PR的中点，到P、R的距离均为$2÷2=1$个单位长度，此时点R表示的数为1，点S在R右侧2个单位长度，因此S表示的数为$1+2=3$；
② 当P、T两点表示的数互为相反数时，同(1)的情况，点S表示的数为0；
③ 当R、T两点表示的数互为相反数时：
R、T之间距离为6个单位长度，原点为RT的中点，到R、T的距离均为$6÷2=3$个单位长度，此时点R表示的数为-3，点S在R右侧2个单位长度，因此S表示的数为$-3+2=-1$。
【答案】
(1)点S表示的数是0,点P表示的数是-4,点T表示的数是4。
(2)当P,R两点表示的数互为相反数,点S表示的数是3;当P,T两点表示的数互为相反数,点S表示的数是0;当R,T两点表示的数互为相反数,点S表示的数是-1。
【知识点】
相反数的性质，数轴的应用，分类讨论
【点评】
本题重点考查相反数几何意义的灵活运用，解题关键是明确互为相反数的两个点的中点为原点，第二问需要注意分类讨论所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7

三、数轴上的绝对值
绝对值表示一个数在数轴上的点到原点的距离，注意分类讨论。
4. 如图，数轴的单位长度为1，若点A，B表示的数互为相反数，则在图中A，B，C，D 4个点中表示绝对值最小的数的点是 （）

A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
5. 已知整数 m 同时满足下列两个条件：
①在数轴上位于原点左侧；②绝对值大于2且小于6。写出一个符合条件的 m 的值：。

4. D
5. 整数m的值可以是-5,-4,-3,这三个数任意写出一个即可。

第4题
【分析】
要找到四个点中绝对值最小的数对应的点，首先利用“互为相反数的两个数在数轴上对应的点到原点距离相等”的性质确定原点位置：观察数轴可知A、B之间相隔4个单位长度，因此原点是AB的中点，在A右侧2个单位、B左侧2个单位的位置。再根据“绝对值是数轴上点到原点的距离”，分别判断四个点到原点的距离，距离越小则绝对值越小，即可得到答案。
【解析】
解：
∵点A、B表示的数互为相反数，
∴原点为线段AB的中点。
由数轴得AB之间的距离为4，因此原点在A点右侧2个单位长度处。
各点到原点的距离（即对应数的绝对值）为：
点A：2，点B：2，点D：1，点C：4
∵1＜2＜4，
∴四个点中表示绝对值最小的数的点是D。
【答案】D
【知识点】
相反数的几何意义；绝对值的几何意义
【点评】
本题的解题核心是先通过相反数的性质定位原点，再结合绝对值的几何意义比较各点绝对值的大小，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
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第5题
【分析】
根据两个条件逐步筛选符合要求的m：首先由“位于原点左侧”可知m是负整数；再由“绝对值大于2且小于6”可知m的绝对值可取3、4、5，对应负整数为-3、-4、-5，任选其一即可。
【解析】
解：由条件①得：m是负整数；
由条件②得：2＜|m|＜6，
∵m为整数，
∴|m|可取3、4、5，
对应m的值为-3、-4、-5，任选其中一个即可。
【答案】
-3（或-4、-5，任选其一即可）
【知识点】
绝对值的定义；数轴的认识
【点评】
本题需要结合数轴的性质和绝对值的定义筛选符合条件的整数，解题时注意不要遗漏“原点左侧即负整数”的限制条件。
【难度系数】
0.75

四、数轴上两点间距离
此类问题需注意分类讨论。
6. 在数轴上，与表示数-1的点的距离是2的点所表示的数是（）

A.1
B.3
C.±2
D.1或-3

6. D

【分析】
解题时首先要明确数轴上两点间距离的含义，与某点距离为定值的点有两种位置情况，分别位于该点的左侧和右侧，因此需要分类讨论计算。第一步先考虑所求点在表示-1的点的右侧，此时该点表示的数比-1大2，用加法计算；第二步考虑所求点在表示-1的点的左侧，此时该点表示的数比-1小2，用减法计算，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
我们可以通过分类讨论求解：
① 若所求点在表示-1的点的右侧，两点距离为2，则该点表示的数为：$-1 + 2 = 1$；
② 若所求点在表示-1的点的左侧，两点距离为2，则该点表示的数为：$-1 - 2 = -3$。
综上，符合要求的数是1或-3。
也可结合绝对值的几何意义求解：设所求点表示的数为$x$，可得$|x - (-1)|=2$，即$|x+1|=2$，解得$x=1$或$x=-3$。
【答案】
D
【知识点】
数轴上两点间距离；绝对值的几何意义；分类讨论思想
【点评】
本题是数轴距离的基础题型，易错点是忽略分类讨论，只计算单侧的点导致漏解，解题时要结合数轴的方向性，全面考虑两种位置情况。
【难度系数】
0.7