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11. 明明和同学共买了6袋标准质量为450g的食品，他们对这6袋食品的实际质量进行了检测，检测结果(用正数记录超过标准质量的克数，用负数记录不足标准质量的克数，单位:g)见下表：
哪袋食品的质量更标准?为什么?
哪袋食品的质量更标准?为什么?
答案
11. 第2袋食品的质量更标准。理由如下：$|-20|=20$，$|+10|=10$，$|-15|=15$，$|+26|=26$，$|+15|=15$，$|-18|=18$，因为在这6袋食品中，$|+10|=10$最小，所以第2袋食品的质量更标准。
解析
【分析】
要判断哪袋食品的质量更标准，本质是判断哪袋食品的实际质量与标准质量的偏差最小。题目中的正负数表示和标准质量的偏差，偏差的绝对值就代表实际质量和标准质量的差距，绝对值越小，差距越小，质量就越标准。因此解题时先计算每袋偏差的绝对值，再比较绝对值的大小，绝对值最小的对应的食品就是最标准的。
【解析】
偏差的绝对值越小，说明实际质量越接近标准质量，食品质量越标准。
分别计算6袋食品偏差的绝对值：
$|-20|=20$，$|+10|=10$，$|-15|=15$，$|+26|=26$，$|+15|=15$，$|-18|=18$
比较绝对值大小可得：$10＜15=15＜18＜20＜26$，第2袋的偏差绝对值最小，因此第2袋食品的质量更标准。
【答案】
第2袋食品的质量更标准。理由如下：$|-20|=20$，$|+10|=10$，$|-15|=15$，$|+26|=26$，$|+15|=15$，$|-18|=18$，因为在这6袋食品中，$|+10|=10$最小，所以第2袋食品的质量更标准。
【知识点】
绝对值的意义，绝对值的计算，有理数大小比较
【点评】
本题结合生活实际考查绝对值的应用，解题核心是理解偏差的绝对值越小，实际值越接近标准值，侧重对基础知识的理解与运用。
【难度系数】
0.8
要判断哪袋食品的质量更标准，本质是判断哪袋食品的实际质量与标准质量的偏差最小。题目中的正负数表示和标准质量的偏差，偏差的绝对值就代表实际质量和标准质量的差距，绝对值越小，差距越小，质量就越标准。因此解题时先计算每袋偏差的绝对值，再比较绝对值的大小，绝对值最小的对应的食品就是最标准的。
【解析】
偏差的绝对值越小，说明实际质量越接近标准质量，食品质量越标准。
分别计算6袋食品偏差的绝对值：
$|-20|=20$，$|+10|=10$，$|-15|=15$，$|+26|=26$，$|+15|=15$，$|-18|=18$
比较绝对值大小可得：$10＜15=15＜18＜20＜26$，第2袋的偏差绝对值最小，因此第2袋食品的质量更标准。
【答案】
第2袋食品的质量更标准。理由如下：$|-20|=20$，$|+10|=10$，$|-15|=15$，$|+26|=26$，$|+15|=15$，$|-18|=18$，因为在这6袋食品中，$|+10|=10$最小，所以第2袋食品的质量更标准。
【知识点】
绝对值的意义，绝对值的计算，有理数大小比较
【点评】
本题结合生活实际考查绝对值的应用，解题核心是理解偏差的绝对值越小，实际值越接近标准值，侧重对基础知识的理解与运用。
【难度系数】
0.8
12. 已知a为有理数，则|a-2|+4的最小值为
4
。答案
12. 4
解析
【分析】
要计算|a-2|+4的最小值，首先观察式子结构，式子由绝对值项|a-2|和常数项4组成，常数项是固定不变的，因此只要找到绝对值项的最小值，就能得到整个式子的最小值。根据绝对值的性质，任意有理数的绝对值都是非负数，即绝对值最小为0，据此推导即可。
【解析】
根据绝对值的非负性可知，对于任意有理数a，都有$\vert a-2\vert≥0$，因此$\vert a-2\vert$的最小值是0，此时$a-2=0$，即$a=2$。
将$\vert a-2\vert$的最小值代入原式可得：$\vert a-2\vert+4$的最小值为$0+4=4$。
【答案】
4
【知识点】
绝对值的非负性；代数式最值求解
【点评】
本题是绝对值性质的基础应用，解题核心是牢记绝对值的非负性，即任意有理数的绝对值都大于等于0，最小值为0，掌握该性质即可快速求解这类带绝对值的代数式最值问题。
【难度系数】
0.9
要计算|a-2|+4的最小值，首先观察式子结构，式子由绝对值项|a-2|和常数项4组成，常数项是固定不变的，因此只要找到绝对值项的最小值，就能得到整个式子的最小值。根据绝对值的性质，任意有理数的绝对值都是非负数，即绝对值最小为0，据此推导即可。
【解析】
根据绝对值的非负性可知，对于任意有理数a，都有$\vert a-2\vert≥0$，因此$\vert a-2\vert$的最小值是0，此时$a-2=0$，即$a=2$。
将$\vert a-2\vert$的最小值代入原式可得：$\vert a-2\vert+4$的最小值为$0+4=4$。
【答案】
4
【知识点】
绝对值的非负性；代数式最值求解
【点评】
本题是绝对值性质的基础应用，解题核心是牢记绝对值的非负性，即任意有理数的绝对值都大于等于0，最小值为0，掌握该性质即可快速求解这类带绝对值的代数式最值问题。
【难度系数】
0.9
13. 同一数轴上A,B两点对应的数分别为a,b,已知$|a|=1$,$|b|=5$,则A,B两点间的最大距离与最小距离之和是
10
。答案
13. 10
解析
【分析】
解题时首先根据绝对值的性质，求出a、b所有可能的取值；再结合数轴上两点间的距离等于对应两数差的绝对值，计算出所有可能的距离值；从中找出最大距离和最小距离，最后相加得到结果即可。
【解析】
解：
∵|a|=1，
∴a的取值为1或-1；
∵|b|=5，
∴b的取值为5或-5。
数轴上A、B两点的距离为|a - b|，分情况计算：
①当a=1，b=5时，距离为|1-5|=4；
②当a=1，b=-5时，距离为|1 - (-5)|=6；
③当a=-1，b=5时，距离为|-1 - 5|=6；
④当a=-1，b=-5时，距离为|-1 - (-5)|=4。
由此可得，A、B两点的最大距离是6，最小距离是4，
两者之和为6+4=10。
【答案】
10
【知识点】
绝对值的定义，数轴两点距离计算，有理数运算
【点评】
本题核心考查绝对值的性质与数轴上两点距离的计算，解题关键是对a、b的取值进行完整的分类讨论，避免漏算情况导致结果出错，掌握基础公式后解题难度不大。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据绝对值的性质，求出a、b所有可能的取值；再结合数轴上两点间的距离等于对应两数差的绝对值，计算出所有可能的距离值；从中找出最大距离和最小距离，最后相加得到结果即可。
【解析】
解：
∵|a|=1，
∴a的取值为1或-1；
∵|b|=5，
∴b的取值为5或-5。
数轴上A、B两点的距离为|a - b|，分情况计算：
①当a=1，b=5时，距离为|1-5|=4；
②当a=1，b=-5时，距离为|1 - (-5)|=6；
③当a=-1，b=5时，距离为|-1 - 5|=6；
④当a=-1，b=-5时，距离为|-1 - (-5)|=4。
由此可得，A、B两点的最大距离是6，最小距离是4，
两者之和为6+4=10。
【答案】
10
【知识点】
绝对值的定义，数轴两点距离计算，有理数运算
【点评】
本题核心考查绝对值的性质与数轴上两点距离的计算，解题关键是对a、b的取值进行完整的分类讨论，避免漏算情况导致结果出错，掌握基础公式后解题难度不大。
【难度系数】
0.7
14. 如图所示为某一条东西方向直线上的公交线路，东起职教园区站，西至富士康站，途中共设12个上下车站点。某天，小王从电业局站出发，始终在该线路的公交站点做志愿者服务，到A站下车时，本次志愿者服务活动结束。如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下(单位:站):+5,-2,+6,-11,+8,+1,-3,-2,-4,+7。
(1)请通过数轴的思想说明A站是哪一站？
(2)若相邻两站之间的平均距离为2千米，则这次小王志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是多少千米？
(1)请通过数轴的思想说明A站是哪一站？
(2)若相邻两站之间的平均距离为2千米，则这次小王志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是多少千米？
答案
14. (1)根据记录可知，+5表示向东5站到达市政府站，-2表示向西2站到达电视台站，以此方式推断，最终停在市政府站，即A站是市政府站。
(2)由题意得$(|+5|+|-2|+|+6|+|-11|+|+8|+|+1|+|-3|+|-2|+|-4|+|+7|)×2=(5+2+6+11+8+1+3+2+4+7)×2=49×2=98$(千米)，所以这次小王志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是98千米。
(2)由题意得$(|+5|+|-2|+|+6|+|-11|+|+8|+|+1|+|-3|+|-2|+|-4|+|+7|)×2=(5+2+6+11+8+1+3+2+4+7)×2=49×2=98$(千米)，所以这次小王志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是98千米。
解析
【分析】
（1）要确定A站的位置，首先明确出发点是电业局站，规定向东为正、向西为负，先计算所有乘车站数记录的代数和，根据结果的正负和数值判断相对于电业局站的方向与站数，再对应线路上的站点即可。（2）计算行进总路程和方向无关，需要先求出所有记录数的绝对值之和得到总站数，再乘相邻两站的平均距离就能得到总路程。
【解析】
（1）计算所有乘车站数的代数和：
$\begin{aligned}&+5-2+6-11+8+1-3-2-4+7\\=&27-22\\=&+5\end{aligned}$
结果为+5，说明小王最终在电业局站向东5站的位置。从电业局站向东数5站：第1站法院、第2站市中医院、第3站电视台、第4站移动公司、第5站市政府站，因此A站是市政府站。
（2）先计算所有记录的绝对值之和得到总乘坐站数：
$\begin{aligned}&|+5|+|-2|+|+6|+|-11|+|+8|+|+1|+|-3|+|-2|+|-4|+|+7|\\=&5+2+6+11+8+1+3+2+4+7\\=&49\end{aligned}$
已知相邻两站平均距离为2千米，总路程为：$49×2=98$（千米）。
【答案】
(1) A站是市政府站；(2) 这次小王志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是98千米。
【知识点】
正负数的应用，绝对值的应用，有理数加减运算
【点评】
本题结合生活实际考查有理数相关知识的应用，解题关键是明确正负数的实际意义，区分位移和路程的计算区别：位移直接对记录数求和，路程需要对记录数取绝对值后再求和。
【难度系数】
0.7
（1）要确定A站的位置，首先明确出发点是电业局站，规定向东为正、向西为负，先计算所有乘车站数记录的代数和，根据结果的正负和数值判断相对于电业局站的方向与站数，再对应线路上的站点即可。（2）计算行进总路程和方向无关，需要先求出所有记录数的绝对值之和得到总站数，再乘相邻两站的平均距离就能得到总路程。
【解析】
（1）计算所有乘车站数的代数和：
$\begin{aligned}&+5-2+6-11+8+1-3-2-4+7\\=&27-22\\=&+5\end{aligned}$
结果为+5，说明小王最终在电业局站向东5站的位置。从电业局站向东数5站：第1站法院、第2站市中医院、第3站电视台、第4站移动公司、第5站市政府站，因此A站是市政府站。
（2）先计算所有记录的绝对值之和得到总乘坐站数：
$\begin{aligned}&|+5|+|-2|+|+6|+|-11|+|+8|+|+1|+|-3|+|-2|+|-4|+|+7|\\=&5+2+6+11+8+1+3+2+4+7\\=&49\end{aligned}$
已知相邻两站平均距离为2千米，总路程为：$49×2=98$（千米）。
【答案】
(1) A站是市政府站；(2) 这次小王志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是98千米。
【知识点】
正负数的应用，绝对值的应用，有理数加减运算
【点评】
本题结合生活实际考查有理数相关知识的应用，解题关键是明确正负数的实际意义，区分位移和路程的计算区别：位移直接对记录数求和，路程需要对记录数取绝对值后再求和。
【难度系数】
0.7
15. 如图,若数轴上a的绝对值是b的绝对值的3倍,则数轴的原点在点
C或D
处(填“A”“B”“C”或“D”)。答案
15. C或D
解析
【分析】解题时首先观察数轴得到a与b的距离为4个单位长度，即$b=a+4$，结合$|a|=3|b|$的条件，分三类讨论原点的位置：原点在a左侧、原点在a和b之间、原点在b右侧，排除不符合的情况后，计算剩余两种情况中a、b的值，进而确定原点对应的点即可。
【解析】观察数轴可知，a和b之间相距4个单位长度，且b在a的右侧，因此可得：$b = a + 4$。
已知$|a|=3|b|$，分三种情况讨论：
1. 若原点在点A左侧，即a、b均为正数：
此时$|a|=a$，$|b|=b$，代入得$a=3b$，将$b=a+4$代入得$b=3b+4$，解得$b=-2$，与b为正数矛盾，该情况不成立。
2. 若原点在a、b之间，即a为负数，b为正数：
此时$|a|=-a$，$|b|=b$，代入得$-a=3b$，将$b=a+4$代入得：
$-a=3(a+4)$
$-a=3a+12$
$-4a=12$
解得$a=-3$，则$b=-3+4=1$。
此时a对应数值为-3，向右数3个单位为原点，对应数轴上的点C。
3. 若原点在b右侧，即a、b均为负数：
此时$|a|=-a$，$|b|=-b$，代入得$-a=3×(-b)$，即$a=3b$，将$b=a+4$代入得：
$b=3b+4$
$-2b=4$
解得$b=-2$，则$a=3×(-2)=-6$。
此时b对应数值为-2，向右数2个单位为原点，对应数轴上的点D。
综上，数轴的原点在点C或D处。
【答案】C或D
【知识点】绝对值的性质；数轴的应用
【点评】本题重点考查分类讨论思想在绝对值问题中的应用，解题时需考虑到原点所有可能的位置，逐一验证排除不符合的情况，避免漏解。
【难度系数】0.6
【解析】观察数轴可知，a和b之间相距4个单位长度，且b在a的右侧，因此可得：$b = a + 4$。
已知$|a|=3|b|$，分三种情况讨论：
1. 若原点在点A左侧，即a、b均为正数：
此时$|a|=a$，$|b|=b$，代入得$a=3b$，将$b=a+4$代入得$b=3b+4$，解得$b=-2$，与b为正数矛盾，该情况不成立。
2. 若原点在a、b之间，即a为负数，b为正数：
此时$|a|=-a$，$|b|=b$，代入得$-a=3b$，将$b=a+4$代入得：
$-a=3(a+4)$
$-a=3a+12$
$-4a=12$
解得$a=-3$，则$b=-3+4=1$。
此时a对应数值为-3，向右数3个单位为原点，对应数轴上的点C。
3. 若原点在b右侧，即a、b均为负数：
此时$|a|=-a$，$|b|=-b$，代入得$-a=3×(-b)$，即$a=3b$，将$b=a+4$代入得：
$b=3b+4$
$-2b=4$
解得$b=-2$，则$a=3×(-2)=-6$。
此时b对应数值为-2，向右数2个单位为原点，对应数轴上的点D。
综上，数轴的原点在点C或D处。
【答案】C或D
【知识点】绝对值的性质；数轴的应用
【点评】本题重点考查分类讨论思想在绝对值问题中的应用，解题时需考虑到原点所有可能的位置，逐一验证排除不符合的情况，避免漏解。
【难度系数】0.6
