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1. 解方程组：
(1) $\begin{cases}5x + 15y = 1, & ① \\5x - 10y = -4; & ②\end{cases}$
(2) $\begin{cases}3x + 2y = 13, & ① \\8x - 2y = 20. & ②\end{cases}$
(1) $\begin{cases}5x + 15y = 1, & ① \\5x - 10y = -4; & ②\end{cases}$
(2) $\begin{cases}3x + 2y = 13, & ① \\8x - 2y = 20. & ②\end{cases}$
答案
(1) $\begin{cases}x=-\dfrac{2}{5} \\ y=\dfrac{1}{5}\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=3 \\ y=2\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=3 \\ y=2\end{cases}$
解析
【分析】
这两个二元一次方程组都适合用加减消元法求解：
（1）观察方程组中两个方程的x项系数均为5，数值相等，因此可以用①式减去②式消去未知数x，先求出y的值，再将y的值代入任意一个原方程即可求出x的值；
（2）观察方程组中两个方程的y项系数分别为2和-2，互为相反数，因此可以用①式加上②式消去未知数y，先求出x的值，再将x的值代入任意一个原方程即可求出y的值。
【解析】
(1) $\begin{cases}5x + 15y = 1, & ① \\5x - 10y = -4; & ②\end{cases}$
解：①-②，得：$(5x+15y)-(5x-10y)=1-(-4)$
化简得：$25y=5$
解得：$y=\dfrac{1}{5}$
把$y=\dfrac{1}{5}$代入①式，得：$5x + 15×\dfrac{1}{5}=1$
化简得：$5x + 3 = 1$
解得：$x=-\dfrac{2}{5}$
(2) $\begin{cases}3x + 2y = 13, & ① \\8x - 2y = 20. & ②\end{cases}$
解：①+②，得：$(3x+2y)+(8x-2y)=13+20$
化简得：$11x=33$
解得：$x=3$
把$x=3$代入①式，得：$3×3 + 2y=13$
化简得：$9 + 2y = 13$
解得：$y=2$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=-\dfrac{2}{5} \\ y=\dfrac{1}{5}\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=3 \\ y=2\end{cases}$
【知识点】
加减消元法，二元一次方程组的解
【点评】
本题是加减消元法解二元一次方程组的基础题型，当方程组中同一未知数的系数相等或互为相反数时，优先选择加减消元法，能大幅简化计算，解题时要注意作差运算时的符号处理，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
这两个二元一次方程组都适合用加减消元法求解：
（1）观察方程组中两个方程的x项系数均为5，数值相等，因此可以用①式减去②式消去未知数x，先求出y的值，再将y的值代入任意一个原方程即可求出x的值；
（2）观察方程组中两个方程的y项系数分别为2和-2，互为相反数，因此可以用①式加上②式消去未知数y，先求出x的值，再将x的值代入任意一个原方程即可求出y的值。
【解析】
(1) $\begin{cases}5x + 15y = 1, & ① \\5x - 10y = -4; & ②\end{cases}$
解：①-②，得：$(5x+15y)-(5x-10y)=1-(-4)$
化简得：$25y=5$
解得：$y=\dfrac{1}{5}$
把$y=\dfrac{1}{5}$代入①式，得：$5x + 15×\dfrac{1}{5}=1$
化简得：$5x + 3 = 1$
解得：$x=-\dfrac{2}{5}$
(2) $\begin{cases}3x + 2y = 13, & ① \\8x - 2y = 20. & ②\end{cases}$
解：①+②，得：$(3x+2y)+(8x-2y)=13+20$
化简得：$11x=33$
解得：$x=3$
把$x=3$代入①式，得：$3×3 + 2y=13$
化简得：$9 + 2y = 13$
解得：$y=2$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=-\dfrac{2}{5} \\ y=\dfrac{1}{5}\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=3 \\ y=2\end{cases}$
【知识点】
加减消元法，二元一次方程组的解
【点评】
本题是加减消元法解二元一次方程组的基础题型，当方程组中同一未知数的系数相等或互为相反数时，优先选择加减消元法，能大幅简化计算，解题时要注意作差运算时的符号处理，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
2. 解方程组：
(1) $\begin{cases} x + 3y = 5, \quad ① \\ 2x + 5y = 9; \quad ② \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 4x - y = 15, \quad ① \\ 2x + 4y = 3. \quad ② \end{cases}$
(1) $\begin{cases} x + 3y = 5, \quad ① \\ 2x + 5y = 9; \quad ② \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 4x - y = 15, \quad ① \\ 2x + 4y = 3. \quad ② \end{cases}$
答案
(1) $\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=\dfrac{7}{2} \\ y=-1\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=\dfrac{7}{2} \\ y=-1\end{cases}$
解析
【分析】
本题是二元一次方程组求解问题，解题核心思路是消元，将二元方程组转化为一元方程求解，可根据未知数系数特点选择代入消元法或加减消元法：
(1) 观察方程组，可将①式左右两边同乘2，使两个方程中x的系数相同，再作差消去x，先求出y的值，再代入求x；也可将①式变形为x=5-3y，代入②式消元。
(2) 观察到①式中y的系数为-1，可先将①式变形为y=4x-15，代入②式消去y，先求出x的值，再代入求y。
【解析】
(1) 对第一个方程组：
步骤1：消去x，将①$× 2$，得：$2x + 6y = 10$ ③
步骤2：用③$-$②，得：$(2x+6y)-(2x+5y)=10-9$，计算得$y=1$
步骤3：将$y=1$代入①式，得：$x + 3×1=5$，解得$x=2$
(2) 对第二个方程组：
步骤1：由①式变形得：$y=4x-15$ ③
步骤2：将③代入②式，得：$2x + 4(4x-15)=3$
展开计算：$2x + 16x - 60 = 3$，合并同类项得$18x=63$，解得$x=\frac{7}{2}$
步骤3：将$x=\frac{7}{2}$代入③式，得：$y=4×\frac{7}{2} -15 = 14 -15 = -1$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=\dfrac{7}{2} \\ y=-1\end{cases}$
【知识点】
1. 代入消元法
2. 加减消元法
3. 二元一次方程组的解
【点评】
本题是二元一次方程组的基础计算题，解题关键是根据方程系数特点灵活选择消元方法，将二元问题转化为熟悉的一元一次方程求解，熟练掌握两种消元方法是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
本题是二元一次方程组求解问题，解题核心思路是消元，将二元方程组转化为一元方程求解，可根据未知数系数特点选择代入消元法或加减消元法：
(1) 观察方程组，可将①式左右两边同乘2，使两个方程中x的系数相同，再作差消去x，先求出y的值，再代入求x；也可将①式变形为x=5-3y，代入②式消元。
(2) 观察到①式中y的系数为-1，可先将①式变形为y=4x-15，代入②式消去y，先求出x的值，再代入求y。
【解析】
(1) 对第一个方程组：
步骤1：消去x，将①$× 2$，得：$2x + 6y = 10$ ③
步骤2：用③$-$②，得：$(2x+6y)-(2x+5y)=10-9$，计算得$y=1$
步骤3：将$y=1$代入①式，得：$x + 3×1=5$，解得$x=2$
(2) 对第二个方程组：
步骤1：由①式变形得：$y=4x-15$ ③
步骤2：将③代入②式，得：$2x + 4(4x-15)=3$
展开计算：$2x + 16x - 60 = 3$，合并同类项得$18x=63$，解得$x=\frac{7}{2}$
步骤3：将$x=\frac{7}{2}$代入③式，得：$y=4×\frac{7}{2} -15 = 14 -15 = -1$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=\dfrac{7}{2} \\ y=-1\end{cases}$
【知识点】
1. 代入消元法
2. 加减消元法
3. 二元一次方程组的解
【点评】
本题是二元一次方程组的基础计算题，解题关键是根据方程系数特点灵活选择消元方法，将二元问题转化为熟悉的一元一次方程求解，熟练掌握两种消元方法是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
3. 用加减消元法解方程组 $\begin{cases}2x - 3y = 5, & ① \\3x - 2y = 7, & ②\end{cases}$
下列解法不正确的是 （
A.①×3－②×2，消去x
B.①×(－3)＋②×2，消去x
C.①×2－②×3，消去y
D.①×2－②×(－3)，消去y
下列解法不正确的是 （
D
）A.①×3－②×2，消去x
B.①×(－3)＋②×2，消去x
C.①×2－②×3，消去y
D.①×2－②×(－3)，消去y
答案
D
解析
【分析】
要判断各选项的解法是否正确，需依据加减消元法的核心规则：消去某一未知数时，先让两个方程中该未知数的系数绝对值相等，若系数同号则两式相减，异号则两式相加，即可消去该未知数。我们只需逐一验证每个选项的操作是否能消去指定未知数即可。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：①×3得$6x-9y=15$，②×2得$6x-4y=14$，两式相减时x的项为$6x-6x=0$，可消去x，解法正确，不符合题意。
B选项：①×(-3)得$-6x+9y=-15$，②×2得$6x-4y=14$，两式相加时x的项为$-6x+6x=0$，可消去x，解法正确，不符合题意。
C选项：①×2得$4x-6y=10$，②×3得$9x-6y=21$，两式相减时y的项为$-6y-(-6y)=0$，可消去y，解法正确，不符合题意。
D选项：①×2得$4x-6y=10$，②×(-3)得$-9x+6y=-21$，两式按操作相减时y的项为$-6y-6y=-12y$，未消去y，解法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 加减消元法
2. 二元一次方程组解法
【点评】
本题考查加减消元法的实际应用，解题的关键是掌握消元时系数的变换规则，运算时要格外注意符号的变化，避免因符号运算错误导致判断失误。
【难度系数】
0.8
要判断各选项的解法是否正确，需依据加减消元法的核心规则：消去某一未知数时，先让两个方程中该未知数的系数绝对值相等，若系数同号则两式相减，异号则两式相加，即可消去该未知数。我们只需逐一验证每个选项的操作是否能消去指定未知数即可。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：①×3得$6x-9y=15$，②×2得$6x-4y=14$，两式相减时x的项为$6x-6x=0$，可消去x，解法正确，不符合题意。
B选项：①×(-3)得$-6x+9y=-15$，②×2得$6x-4y=14$，两式相加时x的项为$-6x+6x=0$，可消去x，解法正确，不符合题意。
C选项：①×2得$4x-6y=10$，②×3得$9x-6y=21$，两式相减时y的项为$-6y-(-6y)=0$，可消去y，解法正确，不符合题意。
D选项：①×2得$4x-6y=10$，②×(-3)得$-9x+6y=-21$，两式按操作相减时y的项为$-6y-6y=-12y$，未消去y，解法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 加减消元法
2. 二元一次方程组解法
【点评】
本题考查加减消元法的实际应用，解题的关键是掌握消元时系数的变换规则，运算时要格外注意符号的变化，避免因符号运算错误导致判断失误。
【难度系数】
0.8
4.若关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}3x+y=1+3a, \\x+3y=1-a\end{cases}$的解满足$x+y=0$，则$a$的值为（ ）
A.$-1$
B.$-2$
C.$0$
D.不能确定
A.$-1$
B.$-2$
C.$0$
D.不能确定
答案
A
解析
【分析】
解题时可先观察方程组的系数特点：两个方程中x的系数之和为3+1=4，y的系数之和为1+3=4，系数和相等，因此可以将两个方程左右两边分别相加，直接得到含有x+y的整体表达式，再结合已知条件x+y=0代入计算，不需要分别求解x、y的值，能简化计算过程。
【解析】
解：将方程组中两个方程左右两边分别相加，得：
$\begin{aligned}3x+y + x+3y&=1+3a +1 -a \\4x+4y&=2+2a \\4(x+y)&=2+2a\end{aligned}$
已知$x+y=0$，将其代入上式，可得：
$4×0=2+2a$
即$2+2a=0$，
解得$a=-1$。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的解，整体代入思想，解一元一次方程
【点评】
本题无需单独求解x、y的取值，通过观察方程组的系数特征，利用整体相加的方法构造出x+y的整体，代入已知条件即可快速得出结果，是特殊结构方程组的典型巧解方法，有助于提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时可先观察方程组的系数特点：两个方程中x的系数之和为3+1=4，y的系数之和为1+3=4，系数和相等，因此可以将两个方程左右两边分别相加，直接得到含有x+y的整体表达式，再结合已知条件x+y=0代入计算，不需要分别求解x、y的值，能简化计算过程。
【解析】
解：将方程组中两个方程左右两边分别相加，得：
$\begin{aligned}3x+y + x+3y&=1+3a +1 -a \\4x+4y&=2+2a \\4(x+y)&=2+2a\end{aligned}$
已知$x+y=0$，将其代入上式，可得：
$4×0=2+2a$
即$2+2a=0$，
解得$a=-1$。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的解，整体代入思想，解一元一次方程
【点评】
本题无需单独求解x、y的取值，通过观察方程组的系数特征，利用整体相加的方法构造出x+y的整体，代入已知条件即可快速得出结果，是特殊结构方程组的典型巧解方法，有助于提升解题效率。
【难度系数】
0.8
5.已知关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}4x + 2y = 5k - 4, & ① \\2x + 4y = 5 & ②\end{cases}$的解满足$x + y = 1$，求$k$的值。
答案
$k=1$
解析
【分析】
本题可先观察方程组中两个方程的系数特点，发现将两个方程左右两边分别相加后，x、y的系数相等，可提取公因式得到含x+y的整体表达式，再结合已知条件x+y=1，直接代入即可快速求出k的值，无需单独求解x和y，简化计算过程。
【解析】
解：将方程①和方程②左右两边分别相加，得：
$4x + 2y + 2x + 4y = 5k - 4 + 5$
合并同类项得：$6x + 6y = 5k + 1$
左边提取公因式得：$6(x + y) = 5k + 1$
已知$x + y = 1$，将其代入上式得：
$6×1 = 5k + 1$
即$5k + 1 = 6$
移项计算得：$5k = 5$，解得$k = 1$
【答案】
$k=1$
【知识点】
二元一次方程组的解、整体代入思想、等式的性质
【点评】
本题考查二元一次方程组中参数的求解，解题关键是观察方程组的系数特征，利用整体思想简化运算，避免单独求解未知数的繁琐步骤，有助于提升对代数式结构的观察能力和简便运算的思维。
【难度系数】
0.8
本题可先观察方程组中两个方程的系数特点，发现将两个方程左右两边分别相加后，x、y的系数相等，可提取公因式得到含x+y的整体表达式，再结合已知条件x+y=1，直接代入即可快速求出k的值，无需单独求解x和y，简化计算过程。
【解析】
解：将方程①和方程②左右两边分别相加，得：
$4x + 2y + 2x + 4y = 5k - 4 + 5$
合并同类项得：$6x + 6y = 5k + 1$
左边提取公因式得：$6(x + y) = 5k + 1$
已知$x + y = 1$，将其代入上式得：
$6×1 = 5k + 1$
即$5k + 1 = 6$
移项计算得：$5k = 5$，解得$k = 1$
【答案】
$k=1$
【知识点】
二元一次方程组的解、整体代入思想、等式的性质
【点评】
本题考查二元一次方程组中参数的求解，解题关键是观察方程组的系数特征，利用整体思想简化运算，避免单独求解未知数的繁琐步骤，有助于提升对代数式结构的观察能力和简便运算的思维。
【难度系数】
0.8
