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6. 阅读下列解方程组的方法，然后回答问题.
解方程组：$\begin{cases}19x + 17y = 18, & ① \\16x + 14y = 15. & ②\end{cases}$
解:由①$-$②,得 $3x + 3y = 3$,即 $x + y = 1$, ③
③$×14$,得 $14x + 14y = 14$, ④
②$-$④,得 $2x = 1$,解得 $x = \frac{1}{2}$,
从而可得 $y = \frac{1}{2}$,
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = \frac{1}{2}, \\y = \frac{1}{2}.\end{cases}$
(1)请你仿照上面的方法解方程组:
$\begin{cases}2023x + 2021y = 2022, & ① \\2024x + 2022y = 2023. & ②\end{cases}$
(2)直接写出关于 $x, y$ 的方程组
$\begin{cases}(a+1)x + (a-1)y = a, \\(b+1)x + (b-1)y = b\end{cases}(a ≠ b)$的解.
解方程组：$\begin{cases}19x + 17y = 18, & ① \\16x + 14y = 15. & ②\end{cases}$
解:由①$-$②,得 $3x + 3y = 3$,即 $x + y = 1$, ③
③$×14$,得 $14x + 14y = 14$, ④
②$-$④,得 $2x = 1$,解得 $x = \frac{1}{2}$,
从而可得 $y = \frac{1}{2}$,
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = \frac{1}{2}, \\y = \frac{1}{2}.\end{cases}$
(1)请你仿照上面的方法解方程组:
$\begin{cases}2023x + 2021y = 2022, & ① \\2024x + 2022y = 2023. & ②\end{cases}$
(2)直接写出关于 $x, y$ 的方程组
$\begin{cases}(a+1)x + (a-1)y = a, \\(b+1)x + (b-1)y = b\end{cases}(a ≠ b)$的解.
答案
(1) $\begin{cases}x=\dfrac{1}{2} \\ y=\dfrac{1}{2}\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=\dfrac{1}{2} \\ y=\dfrac{1}{2}\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=\dfrac{1}{2} \\ y=\dfrac{1}{2}\end{cases}$
解析
【分析】
本题给出了特殊结构二元一次方程组的简便解法，核心思路是先观察两个方程的系数差，将两式作差后提取公因式得到$x+y$的整体关系式，再结合加减消元法简化计算，避免大系数直接消元的繁琐。对于（1），直接类比示例步骤，先作差求$x+y$，再消元求解；对于（2），将$a、b$看作常数，沿用相同的作差、消元步骤即可推出通用解。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases}2023x + 2021y = 2022, & ① \\2024x + 2022y = 2023. & ②\end{cases}$
由②$-$①，得$x+y=1$， ③
③$×2021$，得$2021x + 2021y = 2021$， ④
①$-$④，得$2x=1$，解得$x=\frac{1}{2}$，
将$x=\frac{1}{2}$代入③，得$y=\frac{1}{2}$。
(2) 解方程组$\begin{cases}(a+1)x + (a-1)y = a, \\(b+1)x + (b-1)y = b\end{cases}(a≠b)$
将第一个方程记为①，第二个方程记为②，由①$-$②，得$(a-b)x + (a-b)y = a-b$，
$\because a≠b$，$\therefore a-b≠0$，两边同时除以$(a-b)$，得$x+y=1$， ③
③$×(a-1)$，得$(a-1)x + (a-1)y = a-1$， ④
①$-$④，得$2x=1$，解得$x=\frac{1}{2}$，
将$x=\frac{1}{2}$代入③，得$y=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=\dfrac{1}{2} \\ y=\dfrac{1}{2}\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=\dfrac{1}{2} \\ y=\dfrac{1}{2}\end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组的解法
2. 整体消元思想
3. 等式的性质
【点评】
本题侧重考查学生的观察类比能力和运算技巧，通过引导学生捕捉方程系数的共性特征，选用更简便的消元方法，有效降低运算量，帮助学生建立灵活处理特殊方程组的思维。
【难度系数】
0.7
本题给出了特殊结构二元一次方程组的简便解法，核心思路是先观察两个方程的系数差，将两式作差后提取公因式得到$x+y$的整体关系式，再结合加减消元法简化计算，避免大系数直接消元的繁琐。对于（1），直接类比示例步骤，先作差求$x+y$，再消元求解；对于（2），将$a、b$看作常数，沿用相同的作差、消元步骤即可推出通用解。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases}2023x + 2021y = 2022, & ① \\2024x + 2022y = 2023. & ②\end{cases}$
由②$-$①，得$x+y=1$， ③
③$×2021$，得$2021x + 2021y = 2021$， ④
①$-$④，得$2x=1$，解得$x=\frac{1}{2}$，
将$x=\frac{1}{2}$代入③，得$y=\frac{1}{2}$。
(2) 解方程组$\begin{cases}(a+1)x + (a-1)y = a, \\(b+1)x + (b-1)y = b\end{cases}(a≠b)$
将第一个方程记为①，第二个方程记为②，由①$-$②，得$(a-b)x + (a-b)y = a-b$，
$\because a≠b$，$\therefore a-b≠0$，两边同时除以$(a-b)$，得$x+y=1$， ③
③$×(a-1)$，得$(a-1)x + (a-1)y = a-1$， ④
①$-$④，得$2x=1$，解得$x=\frac{1}{2}$，
将$x=\frac{1}{2}$代入③，得$y=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=\dfrac{1}{2} \\ y=\dfrac{1}{2}\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=\dfrac{1}{2} \\ y=\dfrac{1}{2}\end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组的解法
2. 整体消元思想
3. 等式的性质
【点评】
本题侧重考查学生的观察类比能力和运算技巧，通过引导学生捕捉方程系数的共性特征，选用更简便的消元方法，有效降低运算量，帮助学生建立灵活处理特殊方程组的思维。
【难度系数】
0.7
7. 已知$m$，$n$满足方程组$\begin{cases}m + 5n = 10, \\ 3m - n = 2,\end{cases}$则$m + n =$ ______ 。
答案
3
解析
【分析】
要求$m+n$的值，有两种常见解题思路：一是先利用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组，求出$m$、$n$的具体数值后相加；二是观察两个方程的系数特征，将两个方程左右两边直接相加，得到含有$m+n$的整体式子，无需分别求出$m$、$n$的值即可快速计算，计算更简便。
【解析】
解法1（整体法）：
记方程组为$\begin{cases}m + 5n = 10 \quad \mathrm{①} \\ 3m - n = 2 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
将①和②左右两边分别相加，可得：
$(m+5n)+(3m-n)=10+2$
整理得$4m+4n=12$，即$4(m+n)=12$
两边同时除以4，得$m+n=3$。
解法2（常规消元法）：
记方程组为$\begin{cases}m + 5n = 10 \quad \mathrm{①} \\ 3m - n = 2 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
由②移项得$n=3m-2$ ③
将③代入①得：$m+5(3m-2)=10$
展开计算：$m+15m-10=10$
合并同类项得$16m=20$，解得$m=\frac{5}{4}$
把$m=\frac{5}{4}$代入③得：$n=3×\frac{5}{4}-2=\frac{7}{4}$
所以$m+n=\frac{5}{4}+\frac{7}{4}=3$。
【答案】
3
【知识点】
二元一次方程组求解，整体思想求值
【点评】
本题既可以用常规消元法求解后计算，也可以通过观察式子特征用整体法快速得到结果，解题时可优先观察式子结构选择简便方法，提高解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
要求$m+n$的值，有两种常见解题思路：一是先利用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组，求出$m$、$n$的具体数值后相加；二是观察两个方程的系数特征，将两个方程左右两边直接相加，得到含有$m+n$的整体式子，无需分别求出$m$、$n$的值即可快速计算，计算更简便。
【解析】
解法1（整体法）：
记方程组为$\begin{cases}m + 5n = 10 \quad \mathrm{①} \\ 3m - n = 2 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
将①和②左右两边分别相加，可得：
$(m+5n)+(3m-n)=10+2$
整理得$4m+4n=12$，即$4(m+n)=12$
两边同时除以4，得$m+n=3$。
解法2（常规消元法）：
记方程组为$\begin{cases}m + 5n = 10 \quad \mathrm{①} \\ 3m - n = 2 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
由②移项得$n=3m-2$ ③
将③代入①得：$m+5(3m-2)=10$
展开计算：$m+15m-10=10$
合并同类项得$16m=20$，解得$m=\frac{5}{4}$
把$m=\frac{5}{4}$代入③得：$n=3×\frac{5}{4}-2=\frac{7}{4}$
所以$m+n=\frac{5}{4}+\frac{7}{4}=3$。
【答案】
3
【知识点】
二元一次方程组求解，整体思想求值
【点评】
本题既可以用常规消元法求解后计算，也可以通过观察式子特征用整体法快速得到结果，解题时可优先观察式子结构选择简便方法，提高解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
8. 已知方程组$\begin{cases}3a + b = 4, \\a - 2b = 1,\end{cases}$则$2a + 3b$的值是 ______ 。
答案
3
解析
【分析】
本题要求代数式$2a+3b$的值，可从两个思路入手：
思路1：常规解法，先求解给定的二元一次方程组，得到$a$、$b$的具体数值，再代入目标代数式计算即可；
思路2：观察已知两个方程的系数特点，可发现将第一个方程减去第二个方程，左边化简后恰好是目标式$2a+3b$，直接计算两方程右边的差就能得到结果，无需单独求$a$、$b$，计算更简便。
【解析】
方法一（整体法）：
记方程组为$\begin{cases}3a + b = 4 \quad① \\a - 2b = 1 \quad②\end{cases}$
用①式减去②式，左边计算得：
$(3a + b) - (a - 2b) = 3a + b - a + 2b = 2a + 3b$
右边计算得：$4 - 1 = 3$
因此$2a + 3b = 3$。
方法二（常规代入法）：
先解方程组，由①式变形得：$b = 4 - 3a$ ③
将③代入②式得：$a - 2(4 - 3a) = 1$
去括号：$a - 8 + 6a = 1$
合并同类项：$7a = 9$，解得$a = \frac{9}{7}$
将$a = \frac{9}{7}$代入③得：$b = 4 - 3×\frac{9}{7} = \frac{1}{7}$
再将$a=\frac{9}{7}$、$b=\frac{1}{7}$代入$2a+3b$：
$2×\frac{9}{7} + 3×\frac{1}{7} = \frac{18}{7} + \frac{3}{7} = \frac{21}{7} = 3$
【答案】
3
【知识点】
二元一次方程组的解法、代数式求值、整体代入思想
【点评】
本题既可以通过常规解方程组后代入求值的方法求解，也可以观察方程系数特点利用整体思想简化计算，日常解题时可以多观察式子结构特征，选择更简便的方法提升解题效率。
【难度系数】
0.8
本题要求代数式$2a+3b$的值，可从两个思路入手：
思路1：常规解法，先求解给定的二元一次方程组，得到$a$、$b$的具体数值，再代入目标代数式计算即可；
思路2：观察已知两个方程的系数特点，可发现将第一个方程减去第二个方程，左边化简后恰好是目标式$2a+3b$，直接计算两方程右边的差就能得到结果，无需单独求$a$、$b$，计算更简便。
【解析】
方法一（整体法）：
记方程组为$\begin{cases}3a + b = 4 \quad① \\a - 2b = 1 \quad②\end{cases}$
用①式减去②式，左边计算得：
$(3a + b) - (a - 2b) = 3a + b - a + 2b = 2a + 3b$
右边计算得：$4 - 1 = 3$
因此$2a + 3b = 3$。
方法二（常规代入法）：
先解方程组，由①式变形得：$b = 4 - 3a$ ③
将③代入②式得：$a - 2(4 - 3a) = 1$
去括号：$a - 8 + 6a = 1$
合并同类项：$7a = 9$，解得$a = \frac{9}{7}$
将$a = \frac{9}{7}$代入③得：$b = 4 - 3×\frac{9}{7} = \frac{1}{7}$
再将$a=\frac{9}{7}$、$b=\frac{1}{7}$代入$2a+3b$：
$2×\frac{9}{7} + 3×\frac{1}{7} = \frac{18}{7} + \frac{3}{7} = \frac{21}{7} = 3$
【答案】
3
【知识点】
二元一次方程组的解法、代数式求值、整体代入思想
【点评】
本题既可以通过常规解方程组后代入求值的方法求解，也可以观察方程系数特点利用整体思想简化计算，日常解题时可以多观察式子结构特征，选择更简便的方法提升解题效率。
【难度系数】
0.8
9. 先阅读，再解方程组.
解方程组：$\begin{cases} \dfrac{x+y}{2}+\dfrac{x-y}{3}=6, \\ 4(x+y)-5(x-y)=2. \end{cases}$
解：设$a=x+y,b=x-y,$
则原方程组变为$\begin{cases} \dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{3}=6, \\ 4a-5b=2, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=8, \\ b=6, \end{cases}$
所以
请用这种方法解下面的方程组：
$\begin{cases} 5(x+y)-3(x-y)=16, \\ 3(x+y)-5(x-y)=0. \end{cases}$
解方程组：$\begin{cases} \dfrac{x+y}{2}+\dfrac{x-y}{3}=6, \\ 4(x+y)-5(x-y)=2. \end{cases}$
解：设$a=x+y,b=x-y,$
则原方程组变为$\begin{cases} \dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{3}=6, \\ 4a-5b=2, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=8, \\ b=6, \end{cases}$
所以
请用这种方法解下面的方程组：
$\begin{cases} 5(x+y)-3(x-y)=16, \\ 3(x+y)-5(x-y)=0. \end{cases}$
答案
$\begin{cases}x=4 \\ y=1\end{cases}$
解析
【分析】
观察待解方程组的结构，发现两个方程中都反复出现$(x+y)$和$(x-y)$这两个整体，可仿照示例使用换元法简化计算：第一步设$a=x+y$，$b=x-y$，将原方程组转化为关于$a$、$b$的简单二元一次方程组；第二步求解$a$、$b$的值；第三步将$a$、$b$还原为$x+y$和$x-y$，再次解二元一次方程组即可得到原方程组的解。
【解析】
解：设$a=x+y$，$b=x-y$，则原方程组可化为：
$\begin{cases}5a - 3b = 16&① \\3a - 5b = 0&② \end{cases}$
由②得：$3a=5b$，即$a=\dfrac{5}{3}b$ ③
将③代入①得：$5×\dfrac{5}{3}b - 3b = 16$
整理得：$\dfrac{25b}{3}-\dfrac{9b}{3}=16$，即$\dfrac{16b}{3}=16$，解得$b=3$
将$b=3$代入③得：$a=\dfrac{5}{3}×3=5$
因此可得$\begin{cases}x+y=5&④ \\x-y=3&⑤ \end{cases}$
④+⑤得：$2x=8$，解得$x=4$
将$x=4$代入④得：$4+y=5$，解得$y=1$
【答案】
$\begin{cases}x=4 \\ y=1\end{cases}$
【知识点】
换元法解方程组；二元一次方程组的解法；整体思想
【点评】
本题核心考查换元法在解方程组中的应用，解题的关键是识别出方程中重复出现的整体结构，通过换元将形式复杂的方程组转化为常规的二元一次方程组，降低计算出错的概率，最后注意要还原求出原未知数的解，不要遗漏最后一步。
【难度系数】
0.7
观察待解方程组的结构，发现两个方程中都反复出现$(x+y)$和$(x-y)$这两个整体，可仿照示例使用换元法简化计算：第一步设$a=x+y$，$b=x-y$，将原方程组转化为关于$a$、$b$的简单二元一次方程组；第二步求解$a$、$b$的值；第三步将$a$、$b$还原为$x+y$和$x-y$，再次解二元一次方程组即可得到原方程组的解。
【解析】
解：设$a=x+y$，$b=x-y$，则原方程组可化为：
$\begin{cases}5a - 3b = 16&① \\3a - 5b = 0&② \end{cases}$
由②得：$3a=5b$，即$a=\dfrac{5}{3}b$ ③
将③代入①得：$5×\dfrac{5}{3}b - 3b = 16$
整理得：$\dfrac{25b}{3}-\dfrac{9b}{3}=16$，即$\dfrac{16b}{3}=16$，解得$b=3$
将$b=3$代入③得：$a=\dfrac{5}{3}×3=5$
因此可得$\begin{cases}x+y=5&④ \\x-y=3&⑤ \end{cases}$
④+⑤得：$2x=8$，解得$x=4$
将$x=4$代入④得：$4+y=5$，解得$y=1$
【答案】
$\begin{cases}x=4 \\ y=1\end{cases}$
【知识点】
换元法解方程组；二元一次方程组的解法；整体思想
【点评】
本题核心考查换元法在解方程组中的应用，解题的关键是识别出方程中重复出现的整体结构，通过换元将形式复杂的方程组转化为常规的二元一次方程组，降低计算出错的概率，最后注意要还原求出原未知数的解，不要遗漏最后一步。
【难度系数】
0.7
