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1. (★)根据乘方的意义及同底数幂的运算性质填空：
(1) $(5^3)^2 = 5^3 × 5^3 = 5^{(\_\_\_\_\_\_)}, (a^2)^4 = \_\_\_\_\_\_ = a^{(\_\_\_\_\_\_)};$
(2) $(ab)^2 = (ab) · (ab) = (a · a) · (b · b) = a^{(\_\_\_\_\_\_)}b^{(\_\_\_\_\_\_)},$
$(ab)^3 = \_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_ = a^{(\_\_\_\_\_\_)}b^{(\_\_\_\_\_\_)}.$
(1) $(5^3)^2 = 5^3 × 5^3 = 5^{(\_\_\_\_\_\_)}, (a^2)^4 = \_\_\_\_\_\_ = a^{(\_\_\_\_\_\_)};$
(2) $(ab)^2 = (ab) · (ab) = (a · a) · (b · b) = a^{(\_\_\_\_\_\_)}b^{(\_\_\_\_\_\_)},$
$(ab)^3 = \_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_ = a^{(\_\_\_\_\_\_)}b^{(\_\_\_\_\_\_)}.$
答案
解：
(1) $(5^3)^2 = 5^3 × 5^3 = 5^{6}$，$(a^2)^4 = a^2 · a^2 · a^2 · a^2 = a^{8}$；
(2) $(ab)^2 = (ab) · (ab) = (a · a) · (b · b) = a^{2}b^{2}$，
$(ab)^3 = (ab)·(ab)·(ab) = (a· a· a)·(b· b· b) = a^3 · b^3 = a^{3}b^{3}$。
(1) $(5^3)^2 = 5^3 × 5^3 = 5^{6}$，$(a^2)^4 = a^2 · a^2 · a^2 · a^2 = a^{8}$；
(2) $(ab)^2 = (ab) · (ab) = (a · a) · (b · b) = a^{2}b^{2}$，
$(ab)^3 = (ab)·(ab)·(ab) = (a· a· a)·(b· b· b) = a^3 · b^3 = a^{3}b^{3}$。
2. (★)根据以上运算规律,我们有:
(1) $(a^m)^n = \_\_\_\_\_\_$ (m,n都是正整数),即幂的乘方,底数________,指数________.
(2) $(ab)^n = \_\_\_\_\_\_$ (n是正整数),即积的乘方,等于把________分别乘方,再把所得的________相乘.三个或三个以上的积的乘方,也具有这一性质.
(1) $(a^m)^n = \_\_\_\_\_\_$ (m,n都是正整数),即幂的乘方,底数________,指数________.
(2) $(ab)^n = \_\_\_\_\_\_$ (n是正整数),即积的乘方,等于把________分别乘方,再把所得的________相乘.三个或三个以上的积的乘方,也具有这一性质.
答案
解：
(1) $(a^m)^n = \boldsymbol{a^{mn}}$（$m,n$都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘。
(2) $(ab)^n = \boldsymbol{a^n b^n}$（$n$是正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。三个或三个以上的积的乘方，也具有这一性质。
(1) $(a^m)^n = \boldsymbol{a^{mn}}$（$m,n$都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘。
(2) $(ab)^n = \boldsymbol{a^n b^n}$（$n$是正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。三个或三个以上的积的乘方，也具有这一性质。
3. (★) 计算: $(8^3)^5 =$ ; $[(-2)^3]^2 =$ ; $(ab^2)^3 =$ ; $(-2a^3)^3 =$
答案
解：
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$：
$(8^3)^5 = 8^{3×5} = 8^{15}$
$[(-2)^3]^2 = (-2)^{3×2} = (-2)^6 = 64$
根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$：
$(ab^2)^3 = a^3 · (b^2)^3 = a^3b^{2×3} = a^3b^6$
$(-2a^3)^3 = (-2)^3 · (a^3)^3 = -8 · a^{3×3} = -8a^9$
最终答案依次为：$\boldsymbol{8^{15}}$；$\boldsymbol{64}$；$\boldsymbol{a^3b^6}$；$\boldsymbol{-8a^9}$。
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$：
$(8^3)^5 = 8^{3×5} = 8^{15}$
$[(-2)^3]^2 = (-2)^{3×2} = (-2)^6 = 64$
根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$：
$(ab^2)^3 = a^3 · (b^2)^3 = a^3b^{2×3} = a^3b^6$
$(-2a^3)^3 = (-2)^3 · (a^3)^3 = -8 · a^{3×3} = -8a^9$
最终答案依次为：$\boldsymbol{8^{15}}$；$\boldsymbol{64}$；$\boldsymbol{a^3b^6}$；$\boldsymbol{-8a^9}$。
4. (★)在下列各式的括号内,应填入$b^4$的是 【 】
A.$b^{12}=(\quad)^8$
B.$b^{12}=(\quad)^6$
C.$b^{12}=(\quad)^3$
D.$b^{12}=(\quad)^2$
A.$b^{12}=(\quad)^8$
B.$b^{12}=(\quad)^6$
C.$b^{12}=(\quad)^3$
D.$b^{12}=(\quad)^2$
答案
C
解析
根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$，逐一计算各选项：
A. 设括号内式子的指数为$x$，则$8x=12$，解得$x=\frac{3}{2}$，括号内应填$b^{\frac{3}{2}}$，不符合要求；
B. 设括号内式子的指数为$x$，则$6x=12$，解得$x=2$，括号内应填$b^2$，不符合要求；
C. 设括号内式子的指数为$x$，则$3x=12$，解得$x=4$，括号内应填$b^4$，符合要求；
D. 设括号内式子的指数为$x$，则$2x=12$，解得$x=6$，括号内应填$b^6$，不符合要求。
A. 设括号内式子的指数为$x$，则$8x=12$，解得$x=\frac{3}{2}$，括号内应填$b^{\frac{3}{2}}$，不符合要求；
B. 设括号内式子的指数为$x$，则$6x=12$，解得$x=2$，括号内应填$b^2$，不符合要求；
C. 设括号内式子的指数为$x$，则$3x=12$，解得$x=4$，括号内应填$b^4$，符合要求；
D. 设括号内式子的指数为$x$，则$2x=12$，解得$x=6$，括号内应填$b^6$，不符合要求。
5. (★)已知$x^n=6$,则$x^{2n}=$.
答案
解：根据幂的乘方的运算法则，可得
$x^{2n}=(x^n)^2$
将$x^n=6$代入上式，得
$x^{2n}=6^2=36$
$x^{2n}=(x^n)^2$
将$x^n=6$代入上式，得
$x^{2n}=6^2=36$
6. (★★)若$a^m=2,a^n=3$，则$a^{3m+2n}$的值为
答案
解：
$a^{3m+2n}=a^{3m}· a^{2n}$
$=(a^m)^3· (a^n)^2$
将$a^m=2$，$a^n=3$代入得：
原式$=2^3×3^2$
$=8×9$
$=72$
$a^{3m+2n}=a^{3m}· a^{2n}$
$=(a^m)^3· (a^n)^2$
将$a^m=2$，$a^n=3$代入得：
原式$=2^3×3^2$
$=8×9$
$=72$
7. (★★)计算:
(1) $(10^3)^4$；
(2) $[(-x)^3]^2$；
(3) $(a^4)^2 · (a^3)^2$；
(4) $(x^3)^4 + (x^2)^6$；
(5) $[(x+y)^3]^6 + [(x+y)^9]^2$.
(1) $(10^3)^4$；
(2) $[(-x)^3]^2$；
(3) $(a^4)^2 · (a^3)^2$；
(4) $(x^3)^4 + (x^2)^6$；
(5) $[(x+y)^3]^6 + [(x+y)^9]^2$.
答案
解：
(1) 原式$=10^{3×4}=10^{12}$
(2) 原式$=(-x)^{3×2}=(-x)^6=x^6$
(3) 原式$=a^{4×2}· a^{3×2}=a^8· a^6=a^{8+6}=a^{14}$
(4) 原式$=x^{3×4}+x^{2×6}=x^{12}+x^{12}=2x^{12}$
(5) 原式$=(x+y)^{3×6}+(x+y)^{9×2}=(x+y)^{18}+(x+y)^{18}=2(x+y)^{18}$
(1) 原式$=10^{3×4}=10^{12}$
(2) 原式$=(-x)^{3×2}=(-x)^6=x^6$
(3) 原式$=a^{4×2}· a^{3×2}=a^8· a^6=a^{8+6}=a^{14}$
(4) 原式$=x^{3×4}+x^{2×6}=x^{12}+x^{12}=2x^{12}$
(5) 原式$=(x+y)^{3×6}+(x+y)^{9×2}=(x+y)^{18}+(x+y)^{18}=2(x+y)^{18}$
8. (★)计算$(-\dfrac{1}{2}ab^2)^3$的结果正确的是【 】
答案
解：
根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算：
$\begin{aligned}(-\frac{1}{2}ab^2)^3&=(-\frac{1}{2})^3 · a^3 · (b^2)^3\\&=-\frac{1}{8} · a^3 · b^{2×3}\\&=-\frac{1}{8}a^3b^6\end{aligned}$
最终结果对应选项C。
根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算：
$\begin{aligned}(-\frac{1}{2}ab^2)^3&=(-\frac{1}{2})^3 · a^3 · (b^2)^3\\&=-\frac{1}{8} · a^3 · b^{2×3}\\&=-\frac{1}{8}a^3b^6\end{aligned}$
最终结果对应选项C。
