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9. (★)如果$(a^m b^n)^3 = a^9 b^{12}$，那么【 】
A.$m=9, n=4$
B.$m=3, n=4$
C.$m=4, n=3$
D.$m=9, n=6$
A.$m=9, n=4$
B.$m=3, n=4$
C.$m=4, n=3$
D.$m=9, n=6$
答案
B
解析
根据积的乘方和幂的乘方运算法则，可得$(a^m b^n)^3 = a^{3m}b^{3n}$。结合已知条件$(a^m b^n)^3 = a^9 b^{12}$，对应指数相等，列出等式$3m=9$，$3n=12$，解得$m=3$，$n=4$。
10. (★)计算:(1)$(2a)^3 =$；(2)$(-5a)^2 =$
答案
解：
(1) $(2a)^3 = 2^3 · a^3 = 8a^3$
(2) $(-5a)^2 = (-5)^2 · a^2 = 25a^2$
(1) $(2a)^3 = 2^3 · a^3 = 8a^3$
(2) $(-5a)^2 = (-5)^2 · a^2 = 25a^2$
11. (★)计算:
(1)$(2ab)^4$;
(2)$(-\dfrac{1}{2}x^2y^3)^2$;
(3)$(-\dfrac{1}{5})^{2027} × 5^{2027}$;
(4)$x^3 · (-2x^2)^3$.
(1)$(2ab)^4$;
(2)$(-\dfrac{1}{2}x^2y^3)^2$;
(3)$(-\dfrac{1}{5})^{2027} × 5^{2027}$;
(4)$x^3 · (-2x^2)^3$.
答案
解：
(1) 原式 = 2⁴ · a⁴ · b⁴
= 16a⁴b⁴
(2) 原式 = $(-\dfrac{1}{2})^2 · (x^2)^2 · (y^3)^2$
= $\dfrac{1}{4} · x^4 · y^6$
= $\dfrac{1}{4}x^4y^6$
(3) 原式 = $(-\dfrac{1}{5} × 5)^{2027}$
= $(-1)^{2027}$
= $-1$
(4) 原式 = $x^3 · [(-2)^3 · (x^2)^3]$
= $x^3 · (-8x^6)$
= $-8x^{3+6}$
= $-8x^9$
(1) 原式 = 2⁴ · a⁴ · b⁴
= 16a⁴b⁴
(2) 原式 = $(-\dfrac{1}{2})^2 · (x^2)^2 · (y^3)^2$
= $\dfrac{1}{4} · x^4 · y^6$
= $\dfrac{1}{4}x^4y^6$
(3) 原式 = $(-\dfrac{1}{5} × 5)^{2027}$
= $(-1)^{2027}$
= $-1$
(4) 原式 = $x^3 · [(-2)^3 · (x^2)^3]$
= $x^3 · (-8x^6)$
= $-8x^{3+6}$
= $-8x^9$
12. (★★)如果$(9^n)^2=3^{12}$,那么n的值是【 】
A.4
B.3
C.2
D.1
A.4
B.3
C.2
D.1
答案
B
解析
先将底数9转化为3²，根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，对等式左边变形：$(9^n)^2=[(3^2)^n]^2=(3^{2n})^2=3^{4n}$。已知等式右边为$3^{12}$，当同底数幂相等时，指数对应相等，可得$4n=12$，解得$n=3$。
13. (★★)已知$a=5^{22}, b=4^{33}, c=3^{44}$，则a，b，c的大小关系是【 】
A.$a＞b＞c$
B.$a＞c＞b$
C.$b＞a＞c$
D.$c＞b＞a$
A.$a＞b＞c$
B.$a＞c＞b$
C.$b＞a＞c$
D.$c＞b＞a$
答案
D
解析
利用幂的乘方运算法则，将三个数的指数统一化为11：
1. 对a变形：$a=5^{22}=(5^2)^{11}=25^{11}$
2. 对b变形：$b=4^{33}=(4^3)^{11}=64^{11}$
3. 对c变形：$c=3^{44}=(3^4)^{11}=81^{11}$
当指数相同时，底数越大，幂的值越大，因为$81＞64＞25$，所以$81^{11}＞64^{11}＞25^{11}$，即$c＞b＞a$。
1. 对a变形：$a=5^{22}=(5^2)^{11}=25^{11}$
2. 对b变形：$b=4^{33}=(4^3)^{11}=64^{11}$
3. 对c变形：$c=3^{44}=(3^4)^{11}=81^{11}$
当指数相同时，底数越大，幂的值越大，因为$81＞64＞25$，所以$81^{11}＞64^{11}＞25^{11}$，即$c＞b＞a$。
14. (★★)填空：$-x^2 · (-x^2)^3 = \_\_\_\_\_\_$；
若$x^5 · (x^m)^3 = x^{11}$，则$m = \_\_\_\_\_\_$。
若$x^5 · (x^m)^3 = x^{11}$，则$m = \_\_\_\_\_\_$。
答案
$x^8$；$2$
解析
解：
$-x^2 · (-x^2)^3$
$=-x^2 · (-x^6)$
$=x^8$
由$x^5 · (x^m)^3 = x^{11}$，得
$x^5 · x^{3m} = x^{11}$
$x^{5+3m} = x^{11}$
因此$5+3m=11$，
解得$m=2$。
$-x^2 · (-x^2)^3$
$=-x^2 · (-x^6)$
$=x^8$
由$x^5 · (x^m)^3 = x^{11}$，得
$x^5 · x^{3m} = x^{11}$
$x^{5+3m} = x^{11}$
因此$5+3m=11$，
解得$m=2$。
15. (★★)计算：
(1) $-(x^m)^4$；
(2) $(x^{n+2})^3$；
(3) $(a^3)^4 · (a^2)^5$；
(4) $a · a^3 · a^4 + (a^4)^2$。
(1) $-(x^m)^4$；
(2) $(x^{n+2})^3$；
(3) $(a^3)^4 · (a^2)^5$；
(4) $a · a^3 · a^4 + (a^4)^2$。
答案
解：
(1) 原式$ = -x^{m×4} = -x^{4m}$
(2) 原式$ = x^{3×(n+2)} = x^{3n+6}$
(3) 原式$ = a^{3×4} · a^{2×5} = a^{12} · a^{10} = a^{12+10} = a^{22}$
(4) 原式$ = a^{1+3+4} + a^{4×2} = a^8 + a^8 = 2a^8$
(1) 原式$ = -x^{m×4} = -x^{4m}$
(2) 原式$ = x^{3×(n+2)} = x^{3n+6}$
(3) 原式$ = a^{3×4} · a^{2×5} = a^{12} · a^{10} = a^{12+10} = a^{22}$
(4) 原式$ = a^{1+3+4} + a^{4×2} = a^8 + a^8 = 2a^8$
16. (★) 计算：$(3 × 10^4)^2 =$ ；$(-3x^2)^4 =$ ；$-(-3a^2b^3)^4 =$ 。
答案
解：
$(3 × 10^4)^2 = 3^2 × (10^4)^2 = 9 × 10^8$
$(-3x^2)^4 = (-3)^4 · (x^2)^4 = 81x^8$
$-(-3a^2b^3)^4 = - [ (-3)^4 · (a^2)^4 · (b^3)^4 ] = -81a^8b^{12}$
最终答案依次为：$\boldsymbol{9×10^8}$；$\boldsymbol{81x^8}$；$\boldsymbol{-81a^8b^{12}}$。
$(3 × 10^4)^2 = 3^2 × (10^4)^2 = 9 × 10^8$
$(-3x^2)^4 = (-3)^4 · (x^2)^4 = 81x^8$
$-(-3a^2b^3)^4 = - [ (-3)^4 · (a^2)^4 · (b^3)^4 ] = -81a^8b^{12}$
最终答案依次为：$\boldsymbol{9×10^8}$；$\boldsymbol{81x^8}$；$\boldsymbol{-81a^8b^{12}}$。
17. (★)若$(2a^{m}b^{m+n})^{3}=8a^{9}b^{15}$，则$m$的值为________，$n$的值为________。
答案
解：
根据积的乘方和幂的乘方运算法则，展开等式左边：
$(2a^{m}b^{m+n})^{3}=2^3· (a^m)^3· (b^{m+n})^3=8a^{3m}b^{3m+3n}$
由等式左右两边对应字母的指数相等，可得方程组：
$\begin{cases}3m=9 \\3m+3n=15\end{cases}$
解第一个方程，得$m=3$。
将$m=3$代入第二个方程，得$3×3+3n=15$，解得$n=2$。
则$m$的值为$\boldsymbol{3}$，$n$的值为$\boldsymbol{2}$。
根据积的乘方和幂的乘方运算法则，展开等式左边：
$(2a^{m}b^{m+n})^{3}=2^3· (a^m)^3· (b^{m+n})^3=8a^{3m}b^{3m+3n}$
由等式左右两边对应字母的指数相等，可得方程组：
$\begin{cases}3m=9 \\3m+3n=15\end{cases}$
解第一个方程，得$m=3$。
将$m=3$代入第二个方程，得$3×3+3n=15$，解得$n=2$。
则$m$的值为$\boldsymbol{3}$，$n$的值为$\boldsymbol{2}$。
18. (★★)计算：$8^6 × (-\dfrac{1}{2})^{17} =$ .
答案
解：
$8^6=(2^3)^6=2^{18}$
原式$=2^{18} × (-\dfrac{1}{2})^{17}$
$=2 × 2^{17} × (-\dfrac{1}{2})^{17}$
$=2 × [2 × (-\dfrac{1}{2})]^{17}$
$=2 × (-1)^{17}$
$=2 × (-1)$
$=-2$
$8^6=(2^3)^6=2^{18}$
原式$=2^{18} × (-\dfrac{1}{2})^{17}$
$=2 × 2^{17} × (-\dfrac{1}{2})^{17}$
$=2 × [2 × (-\dfrac{1}{2})]^{17}$
$=2 × (-1)^{17}$
$=2 × (-1)$
$=-2$
