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1. (★)利用分式的基本性质填空：
(1) $\frac{ab}{bc}=\frac{a}{(\quad)}$；
(2) $\frac{8a^2c}{12a^2b}=\frac{2c}{(\quad)}$；
(3) $\frac{y}{3x}=\frac{(\quad)}{15x^2y}$；
(4) $\frac{1}{x+y}=\frac{(\quad)}{x^2-y^2}$；
(5) $\frac{y+2}{y-2}=\frac{(\quad)}{y^2-4}$。
(1) $\frac{ab}{bc}=\frac{a}{(\quad)}$；
(2) $\frac{8a^2c}{12a^2b}=\frac{2c}{(\quad)}$；
(3) $\frac{y}{3x}=\frac{(\quad)}{15x^2y}$；
(4) $\frac{1}{x+y}=\frac{(\quad)}{x^2-y^2}$；
(5) $\frac{y+2}{y-2}=\frac{(\quad)}{y^2-4}$。
答案
解：
(1) 分式$\frac{ab}{bc}$的分子、分母同时除以不为0的整式$b$，得$\frac{ab÷ b}{bc÷ b}=\frac{a}{c}$，括号内填$c$；
(2) 分式$\frac{8a^2c}{12a^2b}$的分子、分母同时除以不为0的整式$4a^2$，得$\frac{8a^2c÷ 4a^2}{12a^2b÷ 4a^2}=\frac{2c}{3b}$，括号内填$3b$；
(3) 分式$\frac{y}{3x}$的分子、分母同时乘不为0的整式$5xy$，得$\frac{y· 5xy}{3x· 5xy}=\frac{5xy^2}{15x^2y}$，括号内填$5xy^2$；
(4) 分式$\frac{1}{x+y}$的分子、分母同时乘不为0的整式$x-y$，得$\frac{1·(x-y)}{(x+y)(x-y)}=\frac{x-y}{x^2-y^2}$，括号内填$x-y$；
(5) 分式$\frac{y+2}{y-2}$的分子、分母同时乘不为0的整式$y+2$，得$\frac{(y+2)·(y+2)}{(y-2)·(y+2)}=\frac{y^2+4y+4}{y^2-4}$，括号内填$y^2+4y+4$。
(1) 分式$\frac{ab}{bc}$的分子、分母同时除以不为0的整式$b$，得$\frac{ab÷ b}{bc÷ b}=\frac{a}{c}$，括号内填$c$；
(2) 分式$\frac{8a^2c}{12a^2b}$的分子、分母同时除以不为0的整式$4a^2$，得$\frac{8a^2c÷ 4a^2}{12a^2b÷ 4a^2}=\frac{2c}{3b}$，括号内填$3b$；
(3) 分式$\frac{y}{3x}$的分子、分母同时乘不为0的整式$5xy$，得$\frac{y· 5xy}{3x· 5xy}=\frac{5xy^2}{15x^2y}$，括号内填$5xy^2$；
(4) 分式$\frac{1}{x+y}$的分子、分母同时乘不为0的整式$x-y$，得$\frac{1·(x-y)}{(x+y)(x-y)}=\frac{x-y}{x^2-y^2}$，括号内填$x-y$；
(5) 分式$\frac{y+2}{y-2}$的分子、分母同时乘不为0的整式$y+2$，得$\frac{(y+2)·(y+2)}{(y-2)·(y+2)}=\frac{y^2+4y+4}{y^2-4}$，括号内填$y^2+4y+4$。
解析
【分析】
本题考查分式的基本性质的应用，解题核心依据为：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。解题思路为：先观察已知的分子或分母发生了何种乘除变化，再根据分式的基本性质，让对应的分母或分子做相同的变化，即可求出括号内的整式，注意变形过程中所乘/除的整式不能为0。
【解析】
(1) 分式$\frac{ab}{bc}$的分子、分母同时除以不为0的整式$b$，得$\frac{ab÷ b}{bc÷ b}=\frac{a}{c}$，括号内填$c$；
(2) 分式$\frac{8a^2c}{12a^2b}$的分子、分母同时除以不为0的整式$4a^2$，得$\frac{8a^2c÷ 4a^2}{12a^2b÷ 4a^2}=\frac{2c}{3b}$，括号内填$3b$；
(3) 分式$\frac{y}{3x}$的分子、分母同时乘不为0的整式$5xy$，得$\frac{y· 5xy}{3x· 5xy}=\frac{5xy^2}{15x^2y}$，括号内填$5xy^2$；
(4) 分式$\frac{1}{x+y}$的分子、分母同时乘不为0的整式$x-y$，得$\frac{1·(x-y)}{(x+y)(x-y)}=\frac{x-y}{x^2-y^2}$，括号内填$x-y$；
(5) 分式$\frac{y+2}{y-2}$的分子、分母同时乘不为0的整式$y+2$，得$\frac{(y+2)·(y+2)}{(y-2)·(y+2)}=\frac{y^2+4y+4}{y^2-4}$，括号内填$y^2+4y+4$。
【答案】
(1)$c$；(2)$3b$；(3)$5xy^2$；(4)$x-y$；(5)$y^2+4y+4$
【知识点】
分式的基本性质；分式的约分；分式的通分
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题型，解题核心是准确判断分子或分母的乘除变化规律，解答时需注意变形过程中所乘或除以的整式不能为0，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题考查分式的基本性质的应用，解题核心依据为：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。解题思路为：先观察已知的分子或分母发生了何种乘除变化，再根据分式的基本性质，让对应的分母或分子做相同的变化，即可求出括号内的整式，注意变形过程中所乘/除的整式不能为0。
【解析】
(1) 分式$\frac{ab}{bc}$的分子、分母同时除以不为0的整式$b$，得$\frac{ab÷ b}{bc÷ b}=\frac{a}{c}$，括号内填$c$；
(2) 分式$\frac{8a^2c}{12a^2b}$的分子、分母同时除以不为0的整式$4a^2$，得$\frac{8a^2c÷ 4a^2}{12a^2b÷ 4a^2}=\frac{2c}{3b}$，括号内填$3b$；
(3) 分式$\frac{y}{3x}$的分子、分母同时乘不为0的整式$5xy$，得$\frac{y· 5xy}{3x· 5xy}=\frac{5xy^2}{15x^2y}$，括号内填$5xy^2$；
(4) 分式$\frac{1}{x+y}$的分子、分母同时乘不为0的整式$x-y$，得$\frac{1·(x-y)}{(x+y)(x-y)}=\frac{x-y}{x^2-y^2}$，括号内填$x-y$；
(5) 分式$\frac{y+2}{y-2}$的分子、分母同时乘不为0的整式$y+2$，得$\frac{(y+2)·(y+2)}{(y-2)·(y+2)}=\frac{y^2+4y+4}{y^2-4}$，括号内填$y^2+4y+4$。
【答案】
(1)$c$；(2)$3b$；(3)$5xy^2$；(4)$x-y$；(5)$y^2+4y+4$
【知识点】
分式的基本性质；分式的约分；分式的通分
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题型，解题核心是准确判断分子或分母的乘除变化规律，解答时需注意变形过程中所乘或除以的整式不能为0，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. (★)分解因式：
(1)$x^2+4x=$；
(2)$a^2-6a+9=$；
(3)$3ax^2-3a=$.
(1)$x^2+4x=$；
(2)$a^2-6a+9=$；
(3)$3ax^2-3a=$.
答案
(1) $\boldsymbol{x(x+4)}$
(2) $\boldsymbol{(a-3)^2}$
(3) $\boldsymbol{3a(x+1)(x-1)}$
(2) $\boldsymbol{(a-3)^2}$
(3) $\boldsymbol{3a(x+1)(x-1)}$
解析
【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的思路：第一步先提取各项的公因式，第二步根据剩余式子的结构套用对应的乘法公式（完全平方公式或平方差公式），第三步检查是否分解到每个因式都不能再分解。
(1) 观察$x^2+4x$，两项都含有公因式$x$，提取后剩余的$x+4$无法继续分解，直接得到结果；
(2) 观察$a^2-6a+9$，没有公因式，且符合“首平方、尾平方，积的两倍在中央”的完全平方公式结构，直接套用公式即可；
(3) 观察$3ax^2-3a$，先提取公因式$3a$，剩余的$x^2-1$符合平方差公式结构，继续套用公式分解，确认最终因式不可再分解即可。
【解析】
(1) 提取公因式$x$：
$x^2+4x = x· x + 4· x = x(x+4)$
(2) 套用完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，此处$b=3$：
$a^2-6a+9 = a^2 - 2· a·3 + 3^2 = (a-3)^2$
(3) 先提取公因式$3a$，再套用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$：
$3ax^2-3a = 3a(x^2-1) = 3a(x+1)(x-1)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{x(x+4)}$
(2) $\boldsymbol{(a-3)^2}$
(3) $\boldsymbol{3a(x+1)(x-1)}$
【知识点】
提取公因式法，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查因式分解的基本操作步骤，需注意提取公因式要彻底，套用公式要准确，最终结果要分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.85
分解因式遵循“一提二套三查”的思路：第一步先提取各项的公因式，第二步根据剩余式子的结构套用对应的乘法公式（完全平方公式或平方差公式），第三步检查是否分解到每个因式都不能再分解。
(1) 观察$x^2+4x$，两项都含有公因式$x$，提取后剩余的$x+4$无法继续分解，直接得到结果；
(2) 观察$a^2-6a+9$，没有公因式，且符合“首平方、尾平方，积的两倍在中央”的完全平方公式结构，直接套用公式即可；
(3) 观察$3ax^2-3a$，先提取公因式$3a$，剩余的$x^2-1$符合平方差公式结构，继续套用公式分解，确认最终因式不可再分解即可。
【解析】
(1) 提取公因式$x$：
$x^2+4x = x· x + 4· x = x(x+4)$
(2) 套用完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，此处$b=3$：
$a^2-6a+9 = a^2 - 2· a·3 + 3^2 = (a-3)^2$
(3) 先提取公因式$3a$，再套用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$：
$3ax^2-3a = 3a(x^2-1) = 3a(x+1)(x-1)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{x(x+4)}$
(2) $\boldsymbol{(a-3)^2}$
(3) $\boldsymbol{3a(x+1)(x-1)}$
【知识点】
提取公因式法，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查因式分解的基本操作步骤，需注意提取公因式要彻底，套用公式要准确，最终结果要分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.85
3. (★)根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的约去,叫作分式的约分.分子和分母没有的分式,叫作最简分式.
答案
解：公因式
公因式
公因式
解析
【分析】
这道题考查分式约分及最简分式的基础定义，解题时直接回忆对应课本概念即可：首先回忆分式约分的定义，明确约分的本质是约去分子分母共有的公因式；再回忆最简分式的判定标准，即分子分母不存在可继续约去的公因式，就能完成填空。
【解析】
根据分式的相关定义：
1. 分式约分的定义为：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分，因此第一个空填公因式；
2. 最简分式的定义为：分子和分母没有公因式的分式，叫作最简分式，因此第二个空填公因式。
【答案】
公因式；公因式
【知识点】
约分的定义；最简分式的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，直接考查课本核心定义，熟练掌握相关基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
这道题考查分式约分及最简分式的基础定义，解题时直接回忆对应课本概念即可：首先回忆分式约分的定义，明确约分的本质是约去分子分母共有的公因式；再回忆最简分式的判定标准，即分子分母不存在可继续约去的公因式，就能完成填空。
【解析】
根据分式的相关定义：
1. 分式约分的定义为：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分，因此第一个空填公因式；
2. 最简分式的定义为：分子和分母没有公因式的分式，叫作最简分式，因此第二个空填公因式。
【答案】
公因式；公因式
【知识点】
约分的定义；最简分式的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，直接考查课本核心定义，熟练掌握相关基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
4. (★)根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的的分式，叫作分式的通分。分式通分时，一般取各分母的所有因式的的积作公分母，它叫作最简公分母。
答案
解：
同分母
最高次幂
同分母
最高次幂
解析
【分析】
本题考查分式通分及最简公分母的基础概念，解题时只需回忆教材中相关定义内容对应填空即可。首先回忆通分的核心特征：是将异分母分式转化为和原分式相等的同分母分式；再回忆最简公分母的选取规则：取各分母所有因式的最高次幂的乘积。
【解析】
根据分式通分的定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分，因此第一个空填“同分母”。
根据最简公分母的定义：分式通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫作最简公分母，因此第二个空填“最高次幂”。
【答案】
同分母；最高次幂
【知识点】
分式通分的概念；最简公分母的概念
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考察对分式通分相关基础定义的掌握情况，是后续学习分式加减运算的前提，需要准确记忆相关概念。
【难度系数】
0.9
本题考查分式通分及最简公分母的基础概念，解题时只需回忆教材中相关定义内容对应填空即可。首先回忆通分的核心特征：是将异分母分式转化为和原分式相等的同分母分式；再回忆最简公分母的选取规则：取各分母所有因式的最高次幂的乘积。
【解析】
根据分式通分的定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分，因此第一个空填“同分母”。
根据最简公分母的定义：分式通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫作最简公分母，因此第二个空填“最高次幂”。
【答案】
同分母；最高次幂
【知识点】
分式通分的概念；最简公分母的概念
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考察对分式通分相关基础定义的掌握情况，是后续学习分式加减运算的前提，需要准确记忆相关概念。
【难度系数】
0.9
5. (★)下列分式属于最简分式的是【】
A.$\dfrac{4}{2x}$
B.$\dfrac{x^2}{xy}$
C.$\dfrac{x-1}{x^2-1}$
D.$\dfrac{x}{x^2+1}$
A.$\dfrac{4}{2x}$
B.$\dfrac{x^2}{xy}$
C.$\dfrac{x-1}{x^2-1}$
D.$\dfrac{x}{x^2+1}$
答案
D
解析
【分析】
判断最简分式的核心依据是：分式的分子和分母不存在公因式，无法再约分。解题时我们逐一分析每个选项，先对分子、分母进行因式分解，再判断是否有公因式，不能约分的即为最简分式。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $\dfrac{4}{2x}$：分子4和分母$2x$有公因式2，约分后得$\dfrac{2}{x}$，不是最简分式；
B. $\dfrac{x^2}{xy}$：分子$x^2$和分母$xy$有公因式$x$，约分后得$\dfrac{x}{y}$，不是最简分式；
C. $\dfrac{x-1}{x^2-1}$：利用平方差公式分解分母得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，分子分母有公因式$x-1$，约分后得$\dfrac{1}{x+1}$，不是最简分式；
D. $\dfrac{x}{x^2+1}$：分母$x^2+1$无法因式分解，和分子$x$没有公因式，不能约分，是最简分式。
【答案】
D
【知识点】
最简分式判断；分式约分；因式分解
【点评】
本题属于基础题型，主要考查最简分式的判定，熟练掌握约分规则和常见因式分解方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
判断最简分式的核心依据是：分式的分子和分母不存在公因式，无法再约分。解题时我们逐一分析每个选项，先对分子、分母进行因式分解，再判断是否有公因式，不能约分的即为最简分式。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $\dfrac{4}{2x}$：分子4和分母$2x$有公因式2，约分后得$\dfrac{2}{x}$，不是最简分式；
B. $\dfrac{x^2}{xy}$：分子$x^2$和分母$xy$有公因式$x$，约分后得$\dfrac{x}{y}$，不是最简分式；
C. $\dfrac{x-1}{x^2-1}$：利用平方差公式分解分母得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，分子分母有公因式$x-1$，约分后得$\dfrac{1}{x+1}$，不是最简分式；
D. $\dfrac{x}{x^2+1}$：分母$x^2+1$无法因式分解，和分子$x$没有公因式，不能约分，是最简分式。
【答案】
D
【知识点】
最简分式判断；分式约分；因式分解
【点评】
本题属于基础题型，主要考查最简分式的判定，熟练掌握约分规则和常见因式分解方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6. (★★)约分：
(1) $\frac{3a^2b}{6ab^2c}$；
(2) $\frac{2(x-y)^3}{y-x}$；
(3) $\frac{xy^2 + 2y}{y^2}$；
(4) $\frac{a^2 + 2a + 1}{a^2 - 1}$。
(1) $\frac{3a^2b}{6ab^2c}$；
(2) $\frac{2(x-y)^3}{y-x}$；
(3) $\frac{xy^2 + 2y}{y^2}$；
(4) $\frac{a^2 + 2a + 1}{a^2 - 1}$。
答案
解：
(1) 原式$=\frac{3ab· a}{3ab· 2bc}=\frac{a}{2bc}$
(2) 原式$=\frac{2(x-y)^3}{-(x-y)}=-2(x-y)^2$
(3) 原式$=\frac{y(xy+2)}{y· y}=\frac{xy+2}{y}$
(4) 原式$=\frac{(a+1)^2}{(a+1)(a-1)}=\frac{a+1}{a-1}$
(1) 原式$=\frac{3ab· a}{3ab· 2bc}=\frac{a}{2bc}$
(2) 原式$=\frac{2(x-y)^3}{-(x-y)}=-2(x-y)^2$
(3) 原式$=\frac{y(xy+2)}{y· y}=\frac{xy+2}{y}$
(4) 原式$=\frac{(a+1)^2}{(a+1)(a-1)}=\frac{a+1}{a-1}$
解析
【分析】
分式约分的核心是利用分式的基本性质，约去分子、分母的公因式，解题思路如下：①若分子、分母是单项式，先找系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，组合得到公因式；②若分子、分母是多项式，先对分子、分母分别因式分解，再确定公因式，注意互为相反数的因式可以通过提取负号转化为相同因式；③约去所有公因式，得到最简分式。
具体到各小题：(1)分子分母均为单项式，直接找公因式3ab即可；(2)分母$y-x$可变形为$-(x-y)$，公因式为$(x-y)$；(3)分子先提取公因式$y$，再和分母找公因式$y$；(4)分子用完全平方公式分解，分母用平方差公式分解，再找公因式$(a+1)$约分。
【解析】
(1) 原式$=\frac{3ab· a}{3ab· 2bc}=\frac{a}{2bc}$
(2) 原式$=\frac{2(x-y)^3}{-(x-y)}=-2(x-y)^2$
(3) 原式$=\frac{y(xy+2)}{y· y}=\frac{xy+2}{y}$
(4) 原式$=\frac{(a+1)^2}{(a+1)(a-1)}=\frac{a+1}{a-1}$
【答案】
(1) $\frac{a}{2bc}$；(2) $-2(x-y)^2$；(3) $\frac{xy+2}{y}$；(4) $\frac{a+1}{a-1}$
【知识点】
分式的基本性质、因式分解、公因式的确定
【点评】
本题是分式约分的常规基础题型，重点考察约分的基本操作方法，解题时需注意：遇到多项式要先因式分解再找公因式，互为相反数的因式转化时不要漏了符号，最终结果要化为最简分式。
【难度系数】
0.8
分式约分的核心是利用分式的基本性质，约去分子、分母的公因式，解题思路如下：①若分子、分母是单项式，先找系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，组合得到公因式；②若分子、分母是多项式，先对分子、分母分别因式分解，再确定公因式，注意互为相反数的因式可以通过提取负号转化为相同因式；③约去所有公因式，得到最简分式。
具体到各小题：(1)分子分母均为单项式，直接找公因式3ab即可；(2)分母$y-x$可变形为$-(x-y)$，公因式为$(x-y)$；(3)分子先提取公因式$y$，再和分母找公因式$y$；(4)分子用完全平方公式分解，分母用平方差公式分解，再找公因式$(a+1)$约分。
【解析】
(1) 原式$=\frac{3ab· a}{3ab· 2bc}=\frac{a}{2bc}$
(2) 原式$=\frac{2(x-y)^3}{-(x-y)}=-2(x-y)^2$
(3) 原式$=\frac{y(xy+2)}{y· y}=\frac{xy+2}{y}$
(4) 原式$=\frac{(a+1)^2}{(a+1)(a-1)}=\frac{a+1}{a-1}$
【答案】
(1) $\frac{a}{2bc}$；(2) $-2(x-y)^2$；(3) $\frac{xy+2}{y}$；(4) $\frac{a+1}{a-1}$
【知识点】
分式的基本性质、因式分解、公因式的确定
【点评】
本题是分式约分的常规基础题型，重点考察约分的基本操作方法，解题时需注意：遇到多项式要先因式分解再找公因式，互为相反数的因式转化时不要漏了符号，最终结果要化为最简分式。
【难度系数】
0.8
7. (★)分式$\frac{2c}{3a^2b^2},\frac{3a}{-4b^4c},\frac{5b}{2a^2c}$的最简公分母是【 】
A.$12a^2b^4c$
B.$24a^2b^4c$
C.$12a^4b^6c^2$
D.$24a^4b^6c^2$
A.$12a^2b^4c$
B.$24a^2b^4c$
C.$12a^4b^6c^2$
D.$24a^4b^6c^2$
答案
A
解析
【分析】
本题要求确定三个分式的最简公分母，解题思路可按照最简公分母的确定规则逐步推导：第一步先提取三个分式的分母，明确各分母的系数、所含字母及对应次数；第二步计算各分母系数绝对值的最小公倍数，作为最简公分母的系数；第三步对各字母取最高次幂，最后将系数和各字母的最高次幂相乘，即可得到最简公分母，再匹配选项即可。
【解析】
首先写出三个分式的分母分别为：$3a^2b^2$、$4b^4c$（负号不影响公分母系数，取绝对值即可）、$2a^2c$。
1. 确定系数部分：3、4、2的最小公倍数为12；
2. 确定字母的最高次幂：字母a的最高次幂为$a^2$，字母b的最高次幂为$b^4$，字母c的最高次幂为$c$；
3. 组合得到最简公分母：$12 × a^2 × b^4 × c = 12a^2b^4c$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 最简公分母的确定
2. 最小公倍数计算
3. 字母最高次幂选取
【点评】
本题是分式相关运算的基础题型，核心考查最简公分母的确定方法，熟练掌握“系数取最小公倍数、相同字母取最高次幂、独有字母整体保留”的规则即可快速解题，该知识点是后续分式通分、加减运算的重要基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
本题要求确定三个分式的最简公分母，解题思路可按照最简公分母的确定规则逐步推导：第一步先提取三个分式的分母，明确各分母的系数、所含字母及对应次数；第二步计算各分母系数绝对值的最小公倍数，作为最简公分母的系数；第三步对各字母取最高次幂，最后将系数和各字母的最高次幂相乘，即可得到最简公分母，再匹配选项即可。
【解析】
首先写出三个分式的分母分别为：$3a^2b^2$、$4b^4c$（负号不影响公分母系数，取绝对值即可）、$2a^2c$。
1. 确定系数部分：3、4、2的最小公倍数为12；
2. 确定字母的最高次幂：字母a的最高次幂为$a^2$，字母b的最高次幂为$b^4$，字母c的最高次幂为$c$；
3. 组合得到最简公分母：$12 × a^2 × b^4 × c = 12a^2b^4c$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 最简公分母的确定
2. 最小公倍数计算
3. 字母最高次幂选取
【点评】
本题是分式相关运算的基础题型，核心考查最简公分母的确定方法，熟练掌握“系数取最小公倍数、相同字母取最高次幂、独有字母整体保留”的规则即可快速解题，该知识点是后续分式通分、加减运算的重要基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
8. (★★)通分：
(1) $\frac{6c}{a^2b}$ 与 $\frac{c}{3ab^2}$；
(2) $\frac{2x}{x^2 -9}$ 与 $\frac{x}{2x+6}$。
(1) $\frac{6c}{a^2b}$ 与 $\frac{c}{3ab^2}$；
(2) $\frac{2x}{x^2 -9}$ 与 $\frac{x}{2x+6}$。
答案
解：
(1) 两个分式的最简公分母是$3a^2b^2$。
$\frac{6c}{a^2b} = \frac{6c · 3b}{a^2b · 3b} = \frac{18bc}{3a^2b^2}$，
$\frac{c}{3ab^2} = \frac{c · a}{3ab^2 · a} = \frac{ac}{3a^2b^2}$。
(2) 先对分母因式分解：
$x^2-9=(x+3)(x-3)$，$2x+6=2(x+3)$，
两个分式的最简公分母是$2(x+3)(x-3)$。
$\frac{2x}{x^2-9} = \frac{2x · 2}{(x+3)(x-3) · 2} = \frac{4x}{2(x+3)(x-3)}$，
$\frac{x}{2x+6} = \frac{x · (x-3)}{2(x+3) · (x-3)} = \frac{x^2-3x}{2(x+3)(x-3)}$。
(1) 两个分式的最简公分母是$3a^2b^2$。
$\frac{6c}{a^2b} = \frac{6c · 3b}{a^2b · 3b} = \frac{18bc}{3a^2b^2}$，
$\frac{c}{3ab^2} = \frac{c · a}{3ab^2 · a} = \frac{ac}{3a^2b^2}$。
(2) 先对分母因式分解：
$x^2-9=(x+3)(x-3)$，$2x+6=2(x+3)$，
两个分式的最简公分母是$2(x+3)(x-3)$。
$\frac{2x}{x^2-9} = \frac{2x · 2}{(x+3)(x-3) · 2} = \frac{4x}{2(x+3)(x-3)}$，
$\frac{x}{2x+6} = \frac{x · (x-3)}{2(x+3) · (x-3)} = \frac{x^2-3x}{2(x+3)(x-3)}$。
解析
【分析】
通分的核心是先确定两个分式的最简公分母，再利用分式的基本性质，将各分式的分子分母同乘合适的整式，把分母统一为最简公分母。
(1) 当分母是单项式时，最简公分母找法：取各分母系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂，所有不同字母都作为公分母的因式。本题两个分母为$a^2b$和$3ab^2$，系数最小公倍数是3，$a$的最高次为$a^2$，$b$的最高次为$b^2$，因此最简公分母为$3a^2b^2$，再分别给两个分式的分子分母补乘各自缺少的因式即可。
(2) 当分母是多项式时，先对分母因式分解，再按单项式找公分母的规则确定最简公分母。本题先把$x^2-9$用平方差公式分解，$2x+6$提公因式分解，再找最简公分母，最后给分子分母补乘缺少的因式。
【解析】
(1) 两个分式的最简公分母是$3a^2b^2$：
$\frac{6c}{a^2b} = \frac{6c · 3b}{a^2b · 3b} = \frac{18bc}{3a^2b^2}$，
$\frac{c}{3ab^2} = \frac{c · a}{3ab^2 · a} = \frac{ac}{3a^2b^2}$。
(2) 先对分母因式分解：
$x^2-9=(x+3)(x-3)$，$2x+6=2(x+3)$，
可得两个分式的最简公分母是$2(x+3)(x-3)$：
$\frac{2x}{x^2-9} = \frac{2x · 2}{(x+3)(x-3) · 2} = \frac{4x}{2(x+3)(x-3)}$，
$\frac{x}{2x+6} = \frac{x · (x-3)}{2(x+3) · (x-3)} = \frac{x^2-3x}{2(x+3)(x-3)}$。
【答案】
(1) $\frac{18bc}{3a^2b^2}$，$\frac{ac}{3a^2b^2}$；
(2) $\frac{4x}{2(x+3)(x-3)}$，$\frac{x^2-3x}{2(x+3)(x-3)}$。
【知识点】
分式通分，因式分解，分式的基本性质
【点评】
本题是分式通分的典型基础题，分别考查了分母为单项式和多项式两种情况的通分方法，解题关键是正确确定最简公分母，注意分母为多项式时要先因式分解再找公分母，熟练掌握分式基本性质即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
通分的核心是先确定两个分式的最简公分母，再利用分式的基本性质，将各分式的分子分母同乘合适的整式，把分母统一为最简公分母。
(1) 当分母是单项式时，最简公分母找法：取各分母系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂，所有不同字母都作为公分母的因式。本题两个分母为$a^2b$和$3ab^2$，系数最小公倍数是3，$a$的最高次为$a^2$，$b$的最高次为$b^2$，因此最简公分母为$3a^2b^2$，再分别给两个分式的分子分母补乘各自缺少的因式即可。
(2) 当分母是多项式时，先对分母因式分解，再按单项式找公分母的规则确定最简公分母。本题先把$x^2-9$用平方差公式分解，$2x+6$提公因式分解，再找最简公分母，最后给分子分母补乘缺少的因式。
【解析】
(1) 两个分式的最简公分母是$3a^2b^2$：
$\frac{6c}{a^2b} = \frac{6c · 3b}{a^2b · 3b} = \frac{18bc}{3a^2b^2}$，
$\frac{c}{3ab^2} = \frac{c · a}{3ab^2 · a} = \frac{ac}{3a^2b^2}$。
(2) 先对分母因式分解：
$x^2-9=(x+3)(x-3)$，$2x+6=2(x+3)$，
可得两个分式的最简公分母是$2(x+3)(x-3)$：
$\frac{2x}{x^2-9} = \frac{2x · 2}{(x+3)(x-3) · 2} = \frac{4x}{2(x+3)(x-3)}$，
$\frac{x}{2x+6} = \frac{x · (x-3)}{2(x+3) · (x-3)} = \frac{x^2-3x}{2(x+3)(x-3)}$。
【答案】
(1) $\frac{18bc}{3a^2b^2}$，$\frac{ac}{3a^2b^2}$；
(2) $\frac{4x}{2(x+3)(x-3)}$，$\frac{x^2-3x}{2(x+3)(x-3)}$。
【知识点】
分式通分，因式分解，分式的基本性质
【点评】
本题是分式通分的典型基础题，分别考查了分母为单项式和多项式两种情况的通分方法，解题关键是正确确定最简公分母，注意分母为多项式时要先因式分解再找公分母，熟练掌握分式基本性质即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
9. (★)有下列分式：$\frac{a+b}{a^2+b^2}$，$\frac{a+b}{a^2-b^2}$，$\frac{3x}{12y}$，$\frac{2a+b}{a+b}$。其中最简分式有【 】
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
【分析】
解题的核心是先明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式为最简分式。解题思路为：逐个对每个分式的分子、分母进行因式分解，判断二者是否存在公因式，若不存在则为最简分式，最后统计最简分式的个数即可得到答案。
【解析】
首先明确最简分式的判定标准：分式的分子与分母不含公因式。我们逐个分析给出的分式：
1. 分析$\frac{a+b}{a^2+b^2}$：初中阶段$a^2+b^2$无法因式分解，分子$a+b$与分母没有公因式，属于最简分式；
2. 分析$\frac{a+b}{a^2-b^2}$：利用平方差公式分解分母得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，分子分母存在公因式$a+b$，可约分为$\frac{1}{a-b}$，不属于最简分式；
3. 分析$\frac{3x}{12y}$：分子分母的系数存在最大公因数3，可约分为$\frac{x}{4y}$，不属于最简分式；
4. 分析$\frac{2a+b}{a+b}$：分子$2a+b$与分母$a+b$没有公因式，属于最简分式。
综上，最简分式共有2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
最简分式的判定、因式分解、分式约分
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心是掌握最简分式的判断方法，解题时要注意先对分子分母做因式分解再判断公因式，避免遗漏系数公因式或可分解的多项式公因式。
【难度系数】
0.8
解题的核心是先明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式为最简分式。解题思路为：逐个对每个分式的分子、分母进行因式分解，判断二者是否存在公因式，若不存在则为最简分式，最后统计最简分式的个数即可得到答案。
【解析】
首先明确最简分式的判定标准：分式的分子与分母不含公因式。我们逐个分析给出的分式：
1. 分析$\frac{a+b}{a^2+b^2}$：初中阶段$a^2+b^2$无法因式分解，分子$a+b$与分母没有公因式，属于最简分式；
2. 分析$\frac{a+b}{a^2-b^2}$：利用平方差公式分解分母得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，分子分母存在公因式$a+b$，可约分为$\frac{1}{a-b}$，不属于最简分式；
3. 分析$\frac{3x}{12y}$：分子分母的系数存在最大公因数3，可约分为$\frac{x}{4y}$，不属于最简分式；
4. 分析$\frac{2a+b}{a+b}$：分子$2a+b$与分母$a+b$没有公因式，属于最简分式。
综上，最简分式共有2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
最简分式的判定、因式分解、分式约分
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心是掌握最简分式的判断方法，解题时要注意先对分子分母做因式分解再判断公因式，避免遗漏系数公因式或可分解的多项式公因式。
【难度系数】
0.8
