登录
10. (★★)先化简,再求值:$\frac{2x^2 - 8y^2}{x^2 + 4xy + 4y^2}$,其中$x=2,y=\frac{1}{2}$
答案
解：
原式$=\frac{2(x^2 - 4y^2)}{x^2 + 4xy + 4y^2}$
$=\frac{2(x+2y)(x-2y)}{(x+2y)^2}$
$=\frac{2(x-2y)}{x+2y}$
当$x=2$，$y=\frac{1}{2}$时，
代入得：
$\frac{2×(2 - 2×\frac{1}{2})}{2 + 2×\frac{1}{2}}=\frac{2×(2-1)}{2+1}=\frac{2}{3}$
原式$=\frac{2(x^2 - 4y^2)}{x^2 + 4xy + 4y^2}$
$=\frac{2(x+2y)(x-2y)}{(x+2y)^2}$
$=\frac{2(x-2y)}{x+2y}$
当$x=2$，$y=\frac{1}{2}$时，
代入得：
$\frac{2×(2 - 2×\frac{1}{2})}{2 + 2×\frac{1}{2}}=\frac{2×(2-1)}{2+1}=\frac{2}{3}$
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题遵循“先化简，再求值”的原则，可大幅降低计算量：第一步先处理分子，先提取公因式2后，剩余的$x^2-4y^2$符合平方差公式特征，可因式分解；第二步处理分母，$x^2+4xy+4y^2$符合完全平方公式特征，可因式分解；第三步根据分式的基本性质，约去分子分母的公因式（需确认公因式不为0）得到最简分式；最后将给定的x、y的值代入最简分式计算结果即可。
【解析】
解：
原式$=\frac{2(x^2 - 4y^2)}{x^2 + 4xy + 4y^2}$
对分子利用平方差公式、分母利用完全平方公式因式分解，得：
$=\frac{2(x+2y)(x-2y)}{(x+2y)^2}$
约去分子分母的公因式$x+2y$（由$x=2,y=\frac{1}{2}$可知$x+2y=3≠0$，可约分），得：
$=\frac{2(x-2y)}{x+2y}$
将$x=2$，$y=\frac{1}{2}$代入上式：
$\frac{2×(2 - 2×\frac{1}{2})}{2 + 2×\frac{1}{2}}=\frac{2×(2-1)}{2+1}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
因式分解；分式的约分；分式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的基础常规题，核心考查乘法公式的运用和分式基本性质的应用，解题时注意先化简再代值，约分前要确认公因式不为0，代值计算时注意运算顺序，避免低级运算错误。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值类题目，解题遵循“先化简，再求值”的原则，可大幅降低计算量：第一步先处理分子，先提取公因式2后，剩余的$x^2-4y^2$符合平方差公式特征，可因式分解；第二步处理分母，$x^2+4xy+4y^2$符合完全平方公式特征，可因式分解；第三步根据分式的基本性质，约去分子分母的公因式（需确认公因式不为0）得到最简分式；最后将给定的x、y的值代入最简分式计算结果即可。
【解析】
解：
原式$=\frac{2(x^2 - 4y^2)}{x^2 + 4xy + 4y^2}$
对分子利用平方差公式、分母利用完全平方公式因式分解，得：
$=\frac{2(x+2y)(x-2y)}{(x+2y)^2}$
约去分子分母的公因式$x+2y$（由$x=2,y=\frac{1}{2}$可知$x+2y=3≠0$，可约分），得：
$=\frac{2(x-2y)}{x+2y}$
将$x=2$，$y=\frac{1}{2}$代入上式：
$\frac{2×(2 - 2×\frac{1}{2})}{2 + 2×\frac{1}{2}}=\frac{2×(2-1)}{2+1}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
因式分解；分式的约分；分式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的基础常规题，核心考查乘法公式的运用和分式基本性质的应用，解题时注意先化简再代值，约分前要确认公因式不为0，代值计算时注意运算顺序，避免低级运算错误。
【难度系数】
0.8
11. (★)下列说法正确的是 【 】
A.$\frac{2}{3ab}$与$\frac{1}{2a^2}$的最简公分母是$5a^2b$
B.$\frac{1}{a+b^2}$与$\frac{1}{a^2+b}$的最简公分母是$(a+b)^2$
C.$\frac{a+1}{(a-b)(a+b)}$与$\frac{b+1}{(b-a)(b+a)}$的最简公分母是$(a-b)(a+b)$
D.$\frac{1}{x^2-2x+1}$与$\frac{1}{x^2-1}$的最简公分母是$(x^2-2x+1)(x^2-1)$
A.$\frac{2}{3ab}$与$\frac{1}{2a^2}$的最简公分母是$5a^2b$
B.$\frac{1}{a+b^2}$与$\frac{1}{a^2+b}$的最简公分母是$(a+b)^2$
C.$\frac{a+1}{(a-b)(a+b)}$与$\frac{b+1}{(b-a)(b+a)}$的最简公分母是$(a-b)(a+b)$
D.$\frac{1}{x^2-2x+1}$与$\frac{1}{x^2-1}$的最简公分母是$(x^2-2x+1)(x^2-1)$
答案
C
解析
【分析】
要判断各选项是否正确，需先明确最简公分母的确定方法：1. 若分母是单项式，取各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母连同它的指数作为公分母的因式；2. 若分母是多项式，先对分母因式分解，再取所有不同因式的最高次幂的乘积，注意互为相反数的因式可通过提负号统一，只需取其中1个即可。接下来我们逐一分析每个选项的最简公分母是否正确即可求解。
【解析】
我们逐个判断选项：
选项A：两个分母分别为$3ab$、$2a^2$，系数最小公倍数是6，$a$的最高次幂为$a^2$，$b$的最高次幂为$b$，因此最简公分母是$6a^2b$，不是$5a^2b$，故A错误。
选项B：两个分母$a+b^2$和$a^2+b$均为无法因式分解的多项式，且无公因式，因此最简公分母是$(a+b^2)(a^2+b)$，不是$(a+b)^2$，故B错误。
选项C：第二个分母的因式$(b-a)=-(a-b)$、$(b+a)=(a+b)$，因此两个分母的因式可统一为$(a-b)(a+b)$，最简公分母就是$(a-b)(a+b)$，故C正确。
选项D：先对分母因式分解：$x^2-2x+1=(x-1)^2$，$x^2-1=(x-1)(x+1)$，取因式的最高次幂，得最简公分母是$(x-1)^2(x+1)$，不需要取$(x^2-2x+1)(x^2-1)$，故D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
最简公分母的确定；因式分解
【点评】
本题考查最简公分母的确定，解题的核心是掌握单项式、多项式分母的最简公分母求解步骤，尤其要注意互为相反数的因式可统一符号，避免重复取因式导致公分母不是最简。
【难度系数】
0.8
要判断各选项是否正确，需先明确最简公分母的确定方法：1. 若分母是单项式，取各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母连同它的指数作为公分母的因式；2. 若分母是多项式，先对分母因式分解，再取所有不同因式的最高次幂的乘积，注意互为相反数的因式可通过提负号统一，只需取其中1个即可。接下来我们逐一分析每个选项的最简公分母是否正确即可求解。
【解析】
我们逐个判断选项：
选项A：两个分母分别为$3ab$、$2a^2$，系数最小公倍数是6，$a$的最高次幂为$a^2$，$b$的最高次幂为$b$，因此最简公分母是$6a^2b$，不是$5a^2b$，故A错误。
选项B：两个分母$a+b^2$和$a^2+b$均为无法因式分解的多项式，且无公因式，因此最简公分母是$(a+b^2)(a^2+b)$，不是$(a+b)^2$，故B错误。
选项C：第二个分母的因式$(b-a)=-(a-b)$、$(b+a)=(a+b)$，因此两个分母的因式可统一为$(a-b)(a+b)$，最简公分母就是$(a-b)(a+b)$，故C正确。
选项D：先对分母因式分解：$x^2-2x+1=(x-1)^2$，$x^2-1=(x-1)(x+1)$，取因式的最高次幂，得最简公分母是$(x-1)^2(x+1)$，不需要取$(x^2-2x+1)(x^2-1)$，故D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
最简公分母的确定；因式分解
【点评】
本题考查最简公分母的确定，解题的核心是掌握单项式、多项式分母的最简公分母求解步骤，尤其要注意互为相反数的因式可统一符号，避免重复取因式导致公分母不是最简。
【难度系数】
0.8
12. (★★)将下列各分式通分:
(1) $\frac{x-1}{3x^2}, \frac{2}{ax}$;
(2) $\frac{3a}{2a-b}, -\frac{1}{b-2a}$;
(3) $\frac{1}{a^2-9}, \frac{2}{a^2+6a+9}$;
(4) $\frac{1}{x^2-4}, \frac{x}{4-2x}$.
(1) $\frac{x-1}{3x^2}, \frac{2}{ax}$;
(2) $\frac{3a}{2a-b}, -\frac{1}{b-2a}$;
(3) $\frac{1}{a^2-9}, \frac{2}{a^2+6a+9}$;
(4) $\frac{1}{x^2-4}, \frac{x}{4-2x}$.
答案
解：
(1) 最简公分母是$3ax^2$。
$\frac{x-1}{3x^2} = \frac{a(x-1)}{3x^2 · a} = \frac{ax - a}{3ax^2}$，
$\frac{2}{ax} = \frac{2 · 3x}{ax · 3x} = \frac{6x}{3ax^2}$。
(2) 最简公分母是$2a - b$。
$\frac{3a}{2a - b} = \frac{3a}{2a - b}$，
$-\frac{1}{b - 2a} = -\frac{1}{-(2a - b)} = \frac{1}{2a - b}$。
(3) 先对分母因式分解：
$a^2 - 9 = (a+3)(a-3)$，$a^2 + 6a + 9 = (a+3)^2$，
最简公分母是$(a+3)^2(a-3)$。
$\frac{1}{a^2 - 9} = \frac{a+3}{(a+3)(a-3) · (a+3)} = \frac{a+3}{(a+3)^2(a-3)}$，
$\frac{2}{a^2 + 6a + 9} = \frac{2(a-3)}{(a+3)^2 · (a-3)} = \frac{2a - 6}{(a+3)^2(a-3)}$。
(4) 先对分母因式分解：
$x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$，$4 - 2x = -2(x-2)$，
最简公分母是$2(x+2)(x-2)$。
$\frac{1}{x^2 - 4} = \frac{2}{2(x+2)(x-2)}$，
$\frac{x}{4 - 2x} = \frac{x · (x+2)}{-2(x-2) · (x+2)} = -\frac{x(x+2)}{2(x+2)(x-2)} = \frac{-x^2 - 2x}{2(x+2)(x-2)}$。
(1) 最简公分母是$3ax^2$。
$\frac{x-1}{3x^2} = \frac{a(x-1)}{3x^2 · a} = \frac{ax - a}{3ax^2}$，
$\frac{2}{ax} = \frac{2 · 3x}{ax · 3x} = \frac{6x}{3ax^2}$。
(2) 最简公分母是$2a - b$。
$\frac{3a}{2a - b} = \frac{3a}{2a - b}$，
$-\frac{1}{b - 2a} = -\frac{1}{-(2a - b)} = \frac{1}{2a - b}$。
(3) 先对分母因式分解：
$a^2 - 9 = (a+3)(a-3)$，$a^2 + 6a + 9 = (a+3)^2$，
最简公分母是$(a+3)^2(a-3)$。
$\frac{1}{a^2 - 9} = \frac{a+3}{(a+3)(a-3) · (a+3)} = \frac{a+3}{(a+3)^2(a-3)}$，
$\frac{2}{a^2 + 6a + 9} = \frac{2(a-3)}{(a+3)^2 · (a-3)} = \frac{2a - 6}{(a+3)^2(a-3)}$。
(4) 先对分母因式分解：
$x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$，$4 - 2x = -2(x-2)$，
最简公分母是$2(x+2)(x-2)$。
$\frac{1}{x^2 - 4} = \frac{2}{2(x+2)(x-2)}$，
$\frac{x}{4 - 2x} = \frac{x · (x+2)}{-2(x-2) · (x+2)} = -\frac{x(x+2)}{2(x+2)(x-2)} = \frac{-x^2 - 2x}{2(x+2)(x-2)}$。
解析
【分析】
通分的核心是利用分式的基本性质，将异分母分式转化为和原分式相等的同分母分式，解题可按以下思路展开：
1. 先观察每个分式的分母，若分母是可因式分解的多项式，先完成因式分解；
2. 确定最简公分母：系数取各分母系数的最小公倍数，所有出现过的含字母的因式都要选取，相同因式取最高次幂；若分母互为相反数，可先统一符号再确定公分母；
3. 每个分式的分子、分母同乘原分母相对于最简公分母缺少的因式，将分母化为最简公分母，同时计算对应分子即可。
【解析】
(1) 最简公分母是$3ax^2$。
$\frac{x-1}{3x^2} = \frac{a(x-1)}{3x^2 · a} = \frac{ax - a}{3ax^2}$，
$\frac{2}{ax} = \frac{2 · 3x}{ax · 3x} = \frac{6x}{3ax^2}$。
(2) 最简公分母是$2a - b$。
$\frac{3a}{2a - b} = \frac{3a}{2a - b}$，
$-\frac{1}{b - 2a} = -\frac{1}{-(2a - b)} = \frac{1}{2a - b}$。
(3) 先对分母因式分解：
$a^2 - 9 = (a+3)(a-3)$，$a^2 + 6a + 9 = (a+3)^2$，
最简公分母是$(a+3)^2(a-3)$。
$\frac{1}{a^2 - 9} = \frac{a+3}{(a+3)(a-3) · (a+3)} = \frac{a+3}{(a+3)^2(a-3)}$，
$\frac{2}{a^2 + 6a + 9} = \frac{2(a-3)}{(a+3)^2 · (a-3)} = \frac{2a - 6}{(a+3)^2(a-3)}$。
(4) 先对分母因式分解：
$x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$，$4 - 2x = -2(x-2)$，
最简公分母是$2(x+2)(x-2)$。
$\frac{1}{x^2 - 4} = \frac{2}{2(x+2)(x-2)}$，
$\frac{x}{4 - 2x} = \frac{x · (x+2)}{-2(x-2) · (x+2)} = -\frac{x(x+2)}{2(x+2)(x-2)} = \frac{-x^2 - 2x}{2(x+2)(x-2)}$。
【答案】
(1) $\frac{ax - a}{3ax^2}$，$\frac{6x}{3ax^2}$；
(2) $\frac{3a}{2a - b}$，$\frac{1}{2a - b}$；
(3) $\frac{a+3}{(a+3)^2(a-3)}$，$\frac{2a - 6}{(a+3)^2(a-3)}$；
(4) $\frac{2}{2(x+2)(x-2)}$，$\frac{-x^2 - 2x}{2(x+2)(x-2)}$。
【知识点】
分式的基本性质；最简公分母的确定；分式通分
【点评】
本题是分式通分的基础题型，覆盖了单项式分母、互为相反数的多项式分母、可因式分解的多项式分母等常见的分母类型，熟练掌握通分方法是后续学习分式加减运算的基础，解题时要注意先对分母因式分解，做好符号处理，避免计算出错。
【难度系数】
0.8
通分的核心是利用分式的基本性质，将异分母分式转化为和原分式相等的同分母分式，解题可按以下思路展开：
1. 先观察每个分式的分母，若分母是可因式分解的多项式，先完成因式分解；
2. 确定最简公分母：系数取各分母系数的最小公倍数，所有出现过的含字母的因式都要选取，相同因式取最高次幂；若分母互为相反数，可先统一符号再确定公分母；
3. 每个分式的分子、分母同乘原分母相对于最简公分母缺少的因式，将分母化为最简公分母，同时计算对应分子即可。
【解析】
(1) 最简公分母是$3ax^2$。
$\frac{x-1}{3x^2} = \frac{a(x-1)}{3x^2 · a} = \frac{ax - a}{3ax^2}$，
$\frac{2}{ax} = \frac{2 · 3x}{ax · 3x} = \frac{6x}{3ax^2}$。
(2) 最简公分母是$2a - b$。
$\frac{3a}{2a - b} = \frac{3a}{2a - b}$，
$-\frac{1}{b - 2a} = -\frac{1}{-(2a - b)} = \frac{1}{2a - b}$。
(3) 先对分母因式分解：
$a^2 - 9 = (a+3)(a-3)$，$a^2 + 6a + 9 = (a+3)^2$，
最简公分母是$(a+3)^2(a-3)$。
$\frac{1}{a^2 - 9} = \frac{a+3}{(a+3)(a-3) · (a+3)} = \frac{a+3}{(a+3)^2(a-3)}$，
$\frac{2}{a^2 + 6a + 9} = \frac{2(a-3)}{(a+3)^2 · (a-3)} = \frac{2a - 6}{(a+3)^2(a-3)}$。
(4) 先对分母因式分解：
$x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$，$4 - 2x = -2(x-2)$，
最简公分母是$2(x+2)(x-2)$。
$\frac{1}{x^2 - 4} = \frac{2}{2(x+2)(x-2)}$，
$\frac{x}{4 - 2x} = \frac{x · (x+2)}{-2(x-2) · (x+2)} = -\frac{x(x+2)}{2(x+2)(x-2)} = \frac{-x^2 - 2x}{2(x+2)(x-2)}$。
【答案】
(1) $\frac{ax - a}{3ax^2}$，$\frac{6x}{3ax^2}$；
(2) $\frac{3a}{2a - b}$，$\frac{1}{2a - b}$；
(3) $\frac{a+3}{(a+3)^2(a-3)}$，$\frac{2a - 6}{(a+3)^2(a-3)}$；
(4) $\frac{2}{2(x+2)(x-2)}$，$\frac{-x^2 - 2x}{2(x+2)(x-2)}$。
【知识点】
分式的基本性质；最简公分母的确定；分式通分
【点评】
本题是分式通分的基础题型，覆盖了单项式分母、互为相反数的多项式分母、可因式分解的多项式分母等常见的分母类型，熟练掌握通分方法是后续学习分式加减运算的基础，解题时要注意先对分母因式分解，做好符号处理，避免计算出错。
【难度系数】
0.8
13. (★★)如图,将一张长方形纸片按如图所示分割成6块,其中有两块是边长为x的正方形,一块是边长为y的正方形,其中0＜x＜y.图中阴影部分面积之和记作$S_1$,非阴影部分面积之和记作$S_2$.
(1)用含x,y的代数式分别表示$S_1$,$S_2$;
(2)若$S_1 - S_2 = 2x^2 - xy$,求$\frac{S_1}{S_2}$的值.
(1)用含x,y的代数式分别表示$S_1$,$S_2$;
(2)若$S_1 - S_2 = 2x^2 - xy$,求$\frac{S_1}{S_2}$的值.
答案
解：
(1) 由图可得大长方形的长为$2x+y$，宽为$x+y$，
则大长方形的面积为：
$(2x+y)(x+y)=2x^2+3xy+y^2$
阴影部分三块的面积分别为$xy$、$xy$、$xy$，因此：
$S_1=xy+xy+xy=3xy$
非阴影部分面积为大长方形面积减去阴影部分面积：
$S_2=(2x^2+3xy+y^2)-3xy=2x^2+y^2$
(2) 将$S_1=3xy$，$S_2=2x^2+y^2$代入$S_1-S_2=2x^2-xy$，得：
$3xy-(2x^2+y^2)=2x^2-xy$
整理得：
$4x^2-4xy+y^2=0$
即$(2x-y)^2=0$，因此$y=2x$。
将$y=2x$代入$S_1$、$S_2$：
$S_1=3x· 2x=6x^2$
$S_2=2x^2+(2x)^2=6x^2$
因此：
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{6x^2}{6x^2}=1$
(1) 由图可得大长方形的长为$2x+y$，宽为$x+y$，
则大长方形的面积为：
$(2x+y)(x+y)=2x^2+3xy+y^2$
阴影部分三块的面积分别为$xy$、$xy$、$xy$，因此：
$S_1=xy+xy+xy=3xy$
非阴影部分面积为大长方形面积减去阴影部分面积：
$S_2=(2x^2+3xy+y^2)-3xy=2x^2+y^2$
(2) 将$S_1=3xy$，$S_2=2x^2+y^2$代入$S_1-S_2=2x^2-xy$，得：
$3xy-(2x^2+y^2)=2x^2-xy$
整理得：
$4x^2-4xy+y^2=0$
即$(2x-y)^2=0$，因此$y=2x$。
将$y=2x$代入$S_1$、$S_2$：
$S_1=3x· 2x=6x^2$
$S_2=2x^2+(2x)^2=6x^2$
因此：
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{6x^2}{6x^2}=1$
解析
【分析】
解决本题先从图形结构入手：(1) 先观察得到大长方形的长为$2x+y$，宽为$x+y$，先计算大长方形总面积；再识别3块阴影部分均为长$y$、宽$x$的长方形，即可求出$S_1$，再用总面积减去$S_1$得到$S_2$。(2) 将(1)中得到的$S_1$、$S_2$代入已知等式，通过移项整理，利用完全平方公式因式分解得到$y$与$x$的数量关系，再将该关系代入$S_1$、$S_2$求比值即可。
【解析】
(1) 由图可知，大长方形的长为$2x+y$，宽为$x+y$，
大长方形的面积为：
$(2x+y)(x+y)=2x^2+3xy+y^2$
观察阴影部分，3块阴影均为长$y$、宽$x$的长方形，每块面积为$xy$，因此：
$S_1=xy+xy+xy=3xy$
非阴影部分面积为大长方形面积减去阴影部分面积：
$S_2=(2x^2+3xy+y^2)-3xy=2x^2+y^2$
(2) 将$S_1=3xy$，$S_2=2x^2+y^2$代入$S_1 - S_2 = 2x^2 - xy$，得：
$3xy-(2x^2+y^2)=2x^2-xy$
移项整理得：
$4x^2-4xy+y^2=0$
由完全平方公式得$(2x-y)^2=0$，因此$y=2x$。
将$y=2x$分别代入$S_1$、$S_2$：
$S_1=3x· 2x=6x^2$
$S_2=2x^2+(2x)^2=2x^2+4x^2=6x^2$
因此：
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{6x^2}{6x^2}=1$
【答案】
(1) $S_1=3xy$，$S_2=2x^2+y^2$；(2) $\frac{S_1}{S_2}=1$
【知识点】
长方形面积计算，完全平方公式，分式化简求值
【点评】
本题是代数与几何结合的基础应用题，解题核心是准确梳理图形边长的数量关系，再结合整式运算、因式分解的知识求解，能有效考查学生数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
解决本题先从图形结构入手：(1) 先观察得到大长方形的长为$2x+y$，宽为$x+y$，先计算大长方形总面积；再识别3块阴影部分均为长$y$、宽$x$的长方形，即可求出$S_1$，再用总面积减去$S_1$得到$S_2$。(2) 将(1)中得到的$S_1$、$S_2$代入已知等式，通过移项整理，利用完全平方公式因式分解得到$y$与$x$的数量关系，再将该关系代入$S_1$、$S_2$求比值即可。
【解析】
(1) 由图可知，大长方形的长为$2x+y$，宽为$x+y$，
大长方形的面积为：
$(2x+y)(x+y)=2x^2+3xy+y^2$
观察阴影部分，3块阴影均为长$y$、宽$x$的长方形，每块面积为$xy$，因此：
$S_1=xy+xy+xy=3xy$
非阴影部分面积为大长方形面积减去阴影部分面积：
$S_2=(2x^2+3xy+y^2)-3xy=2x^2+y^2$
(2) 将$S_1=3xy$，$S_2=2x^2+y^2$代入$S_1 - S_2 = 2x^2 - xy$，得：
$3xy-(2x^2+y^2)=2x^2-xy$
移项整理得：
$4x^2-4xy+y^2=0$
由完全平方公式得$(2x-y)^2=0$，因此$y=2x$。
将$y=2x$分别代入$S_1$、$S_2$：
$S_1=3x· 2x=6x^2$
$S_2=2x^2+(2x)^2=2x^2+4x^2=6x^2$
因此：
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{6x^2}{6x^2}=1$
【答案】
(1) $S_1=3xy$，$S_2=2x^2+y^2$；(2) $\frac{S_1}{S_2}=1$
【知识点】
长方形面积计算，完全平方公式，分式化简求值
【点评】
本题是代数与几何结合的基础应用题，解题核心是准确梳理图形边长的数量关系，再结合整式运算、因式分解的知识求解，能有效考查学生数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
14. (★★★)已知$x$为整数，且分式$\frac{2x-2}{x^2-1}$的值是整数，求$x$的所有可能值.
答案
解：
先对分式变形，因式分解得：
$\frac{2x-2}{x^2-1}=\frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)}$
要使分式有意义，需满足分母不为0，即$x^2-1≠0$，解得$x≠\pm1$。
此时可约去不为0的公因式$x-1$，分式化简为$\frac{2}{x+1}$。
因为分式的值是整数，且$x$为整数，所以$x+1$是2的整数因数，即：
$x+1=\pm1,\pm2$
分别求解得：
当$x+1=1$时，$x=0$；
当$x+1=-1$时，$x=-2$；
当$x+1=2$时，$x=1$，不符合分式有意义的条件，舍去；
当$x+1=-2$时，$x=-3$。
综上，$x$的所有可能值为$-3,-2,0$。
先对分式变形，因式分解得：
$\frac{2x-2}{x^2-1}=\frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)}$
要使分式有意义，需满足分母不为0，即$x^2-1≠0$，解得$x≠\pm1$。
此时可约去不为0的公因式$x-1$，分式化简为$\frac{2}{x+1}$。
因为分式的值是整数，且$x$为整数，所以$x+1$是2的整数因数，即：
$x+1=\pm1,\pm2$
分别求解得：
当$x+1=1$时，$x=0$；
当$x+1=-1$时，$x=-2$；
当$x+1=2$时，$x=1$，不符合分式有意义的条件，舍去；
当$x+1=-2$时，$x=-3$。
综上，$x$的所有可能值为$-3,-2,0$。
解析
【分析】
解决这道题我们可以按三步思路推导：第一步，先考虑分式有意义的前提是分母不为0，首先确定x的允许取值范围，排除使分母为0的x值；第二步，对分子分母分别因式分解，约去非零公因式，将原式化简为更简单的分式形式；第三步，根据分式值为整数、x为整数的条件，可知化简后分式的分母是分子的整数因数，罗列出所有符合要求的因数情况求解，最后再检验解是否满足分式有意义的条件即可。
【解析】
解：先对分式的分子、分母因式分解：
$\frac{2x-2}{x^2-1}=\frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)}$
要使分式有意义，分母不能为0，即$x^2-1≠0$，解得$x≠\pm1$。
此时$x-1≠0$，可约去公因式$x-1$，分式化简为$\frac{2}{x+1}$。
∵分式的值为整数，且x为整数，
∴x+1是2的整数因数，即$x+1=\pm1,\pm2$。
分别求解：
当$x+1=1$时，$x=0$，符合条件；
当$x+1=-1$时，$x=-2$，符合条件；
当$x+1=2$时，$x=1$，不符合$x≠\pm1$的要求，舍去；
当$x+1=-2$时，$x=-3$，符合条件。
综上，x的所有可能值为-3，-2，0。
【答案】
$\boldsymbol{-3,-2,0}$
【知识点】
1.分式有意义的条件
2.分式的约分
3.整数的整除性
【点评】
本题的易错点是容易忽略分式有意义的前提，未排除x=1的情况导致多解。解题时要先确定自变量的取值范围，再根据条件求解，最后要检验所得结果是否符合取值要求。
【难度系数】
0.6
解决这道题我们可以按三步思路推导：第一步，先考虑分式有意义的前提是分母不为0，首先确定x的允许取值范围，排除使分母为0的x值；第二步，对分子分母分别因式分解，约去非零公因式，将原式化简为更简单的分式形式；第三步，根据分式值为整数、x为整数的条件，可知化简后分式的分母是分子的整数因数，罗列出所有符合要求的因数情况求解，最后再检验解是否满足分式有意义的条件即可。
【解析】
解：先对分式的分子、分母因式分解：
$\frac{2x-2}{x^2-1}=\frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)}$
要使分式有意义，分母不能为0，即$x^2-1≠0$，解得$x≠\pm1$。
此时$x-1≠0$，可约去公因式$x-1$，分式化简为$\frac{2}{x+1}$。
∵分式的值为整数，且x为整数，
∴x+1是2的整数因数，即$x+1=\pm1,\pm2$。
分别求解：
当$x+1=1$时，$x=0$，符合条件；
当$x+1=-1$时，$x=-2$，符合条件；
当$x+1=2$时，$x=1$，不符合$x≠\pm1$的要求，舍去；
当$x+1=-2$时，$x=-3$，符合条件。
综上，x的所有可能值为-3，-2，0。
【答案】
$\boldsymbol{-3,-2,0}$
【知识点】
1.分式有意义的条件
2.分式的约分
3.整数的整除性
【点评】
本题的易错点是容易忽略分式有意义的前提，未排除x=1的情况导致多解。解题时要先确定自变量的取值范围，再根据条件求解，最后要检验所得结果是否符合取值要求。
【难度系数】
0.6
