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1. (★)利用分式的基本性质填空：
(1) $\frac{ab}{bc}=\frac{a}{(\quad)}$；
(2) $\frac{8a^2c}{12a^2b}=\frac{2c}{(\quad)}$；
(3) $\frac{y}{3x}=\frac{(\quad)}{15x^2y}$；
(4) $\frac{1}{x+y}=\frac{(\quad)}{x^2-y^2}$；
(5) $\frac{y+2}{y-2}=\frac{(\quad)}{y^2-4}$。
(1) $\frac{ab}{bc}=\frac{a}{(\quad)}$；
(2) $\frac{8a^2c}{12a^2b}=\frac{2c}{(\quad)}$；
(3) $\frac{y}{3x}=\frac{(\quad)}{15x^2y}$；
(4) $\frac{1}{x+y}=\frac{(\quad)}{x^2-y^2}$；
(5) $\frac{y+2}{y-2}=\frac{(\quad)}{y^2-4}$。
答案
解：
(1) 分式$\frac{ab}{bc}$的分子、分母同时除以不为0的整式$b$，得$\frac{ab÷ b}{bc÷ b}=\frac{a}{c}$，括号内填$c$；
(2) 分式$\frac{8a^2c}{12a^2b}$的分子、分母同时除以不为0的整式$4a^2$，得$\frac{8a^2c÷ 4a^2}{12a^2b÷ 4a^2}=\frac{2c}{3b}$，括号内填$3b$；
(3) 分式$\frac{y}{3x}$的分子、分母同时乘不为0的整式$5xy$，得$\frac{y· 5xy}{3x· 5xy}=\frac{5xy^2}{15x^2y}$，括号内填$5xy^2$；
(4) 分式$\frac{1}{x+y}$的分子、分母同时乘不为0的整式$x-y$，得$\frac{1·(x-y)}{(x+y)(x-y)}=\frac{x-y}{x^2-y^2}$，括号内填$x-y$；
(5) 分式$\frac{y+2}{y-2}$的分子、分母同时乘不为0的整式$y+2$，得$\frac{(y+2)·(y+2)}{(y-2)·(y+2)}=\frac{y^2+4y+4}{y^2-4}$，括号内填$y^2+4y+4$。
(1) 分式$\frac{ab}{bc}$的分子、分母同时除以不为0的整式$b$，得$\frac{ab÷ b}{bc÷ b}=\frac{a}{c}$，括号内填$c$；
(2) 分式$\frac{8a^2c}{12a^2b}$的分子、分母同时除以不为0的整式$4a^2$，得$\frac{8a^2c÷ 4a^2}{12a^2b÷ 4a^2}=\frac{2c}{3b}$，括号内填$3b$；
(3) 分式$\frac{y}{3x}$的分子、分母同时乘不为0的整式$5xy$，得$\frac{y· 5xy}{3x· 5xy}=\frac{5xy^2}{15x^2y}$，括号内填$5xy^2$；
(4) 分式$\frac{1}{x+y}$的分子、分母同时乘不为0的整式$x-y$，得$\frac{1·(x-y)}{(x+y)(x-y)}=\frac{x-y}{x^2-y^2}$，括号内填$x-y$；
(5) 分式$\frac{y+2}{y-2}$的分子、分母同时乘不为0的整式$y+2$，得$\frac{(y+2)·(y+2)}{(y-2)·(y+2)}=\frac{y^2+4y+4}{y^2-4}$，括号内填$y^2+4y+4$。
2. (★)分解因式：
(1)$x^2+4x=$；
(2)$a^2-6a+9=$；
(3)$3ax^2-3a=$.
(1)$x^2+4x=$；
(2)$a^2-6a+9=$；
(3)$3ax^2-3a=$.
答案
(1) $\boldsymbol{x(x+4)}$
(2) $\boldsymbol{(a-3)^2}$
(3) $\boldsymbol{3a(x+1)(x-1)}$
(2) $\boldsymbol{(a-3)^2}$
(3) $\boldsymbol{3a(x+1)(x-1)}$
解析
解：
(1) 提取公因式$x$，得
$x^2+4x = x(x+4)$
(2) 由完全平方公式，得
$a^2-6a+9 = (a-3)^2$
(3) 先提取公因式$3a$，再利用平方差公式分解，得
$3ax^2-3a = 3a(x^2-1) = 3a(x+1)(x-1)$
最终
(1) 提取公因式$x$，得
$x^2+4x = x(x+4)$
(2) 由完全平方公式，得
$a^2-6a+9 = (a-3)^2$
(3) 先提取公因式$3a$，再利用平方差公式分解，得
$3ax^2-3a = 3a(x^2-1) = 3a(x+1)(x-1)$
最终
3. (★)根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的约去,叫作分式的约分.分子和分母没有的分式,叫作最简分式.
答案
解：公因式
公因式
公因式
4. (★)根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的的分式，叫作分式的通分。分式通分时，一般取各分母的所有因式的的积作公分母，它叫作最简公分母。
答案
解：
同分母
最高次幂
同分母
最高次幂
5. (★)下列分式属于最简分式的是【】
A.$\dfrac{4}{2x}$
B.$\dfrac{x^2}{xy}$
C.$\dfrac{x-1}{x^2-1}$
D.$\dfrac{x}{x^2+1}$
A.$\dfrac{4}{2x}$
B.$\dfrac{x^2}{xy}$
C.$\dfrac{x-1}{x^2-1}$
D.$\dfrac{x}{x^2+1}$
答案
D
解析
根据最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式，逐一分析选项：
1. 选项A：$\dfrac{4}{2x}$的分子分母有公因式2，可化简为$\dfrac{2}{x}$，不是最简分式；
2. 选项B：$\dfrac{x^2}{xy}$的分子分母有公因式$x$，可化简为$\dfrac{x}{y}$，不是最简分式；
3. 选项C：$\dfrac{x-1}{x^2-1}=\dfrac{x-1}{(x+1)(x-1)}$，分子分母有公因式$x-1$，可化简为$\dfrac{1}{x+1}$，不是最简分式；
4. 选项D：$\dfrac{x}{x^2+1}$的分母$x^2+1$无法因式分解，分子分母没有公因式，属于最简分式。
1. 选项A：$\dfrac{4}{2x}$的分子分母有公因式2，可化简为$\dfrac{2}{x}$，不是最简分式；
2. 选项B：$\dfrac{x^2}{xy}$的分子分母有公因式$x$，可化简为$\dfrac{x}{y}$，不是最简分式；
3. 选项C：$\dfrac{x-1}{x^2-1}=\dfrac{x-1}{(x+1)(x-1)}$，分子分母有公因式$x-1$，可化简为$\dfrac{1}{x+1}$，不是最简分式；
4. 选项D：$\dfrac{x}{x^2+1}$的分母$x^2+1$无法因式分解，分子分母没有公因式，属于最简分式。
6. (★★)约分：
(1) $\frac{3a^2b}{6ab^2c}$；
(2) $\frac{2(x-y)^3}{y-x}$；
(3) $\frac{xy^2 + 2y}{y^2}$；
(4) $\frac{a^2 + 2a + 1}{a^2 - 1}$。
(1) $\frac{3a^2b}{6ab^2c}$；
(2) $\frac{2(x-y)^3}{y-x}$；
(3) $\frac{xy^2 + 2y}{y^2}$；
(4) $\frac{a^2 + 2a + 1}{a^2 - 1}$。
答案
解：
(1) 原式$=\frac{3ab· a}{3ab· 2bc}=\frac{a}{2bc}$
(2) 原式$=\frac{2(x-y)^3}{-(x-y)}=-2(x-y)^2$
(3) 原式$=\frac{y(xy+2)}{y· y}=\frac{xy+2}{y}$
(4) 原式$=\frac{(a+1)^2}{(a+1)(a-1)}=\frac{a+1}{a-1}$
(1) 原式$=\frac{3ab· a}{3ab· 2bc}=\frac{a}{2bc}$
(2) 原式$=\frac{2(x-y)^3}{-(x-y)}=-2(x-y)^2$
(3) 原式$=\frac{y(xy+2)}{y· y}=\frac{xy+2}{y}$
(4) 原式$=\frac{(a+1)^2}{(a+1)(a-1)}=\frac{a+1}{a-1}$
7. (★)分式$\frac{2c}{3a^2b^2},\frac{3a}{-4b^4c},\frac{5b}{2a^2c}$的最简公分母是【 】
A.$12a^2b^4c$
B.$24a^2b^4c$
C.$12a^4b^6c^2$
D.$24a^4b^6c^2$
A.$12a^2b^4c$
B.$24a^2b^4c$
C.$12a^4b^6c^2$
D.$24a^4b^6c^2$
答案
A
解析
求分式最简公分母步骤如下：
1. 取各分母系数的最小公倍数：三个分母的系数分别是3、4、2，它们的最小公倍数是12；
2. 取所有出现的字母，相同字母取最高次幂：
字母a的最高次幂是$a^2$，
字母b的最高次幂是$b^4$，
字母c的最高次幂是$c^1=c$；
3. 将上述结果相乘，得到最简公分母为$12a^2b^4c$。
1. 取各分母系数的最小公倍数：三个分母的系数分别是3、4、2，它们的最小公倍数是12；
2. 取所有出现的字母，相同字母取最高次幂：
字母a的最高次幂是$a^2$，
字母b的最高次幂是$b^4$，
字母c的最高次幂是$c^1=c$；
3. 将上述结果相乘，得到最简公分母为$12a^2b^4c$。
8. (★★)通分：
(1) $\frac{6c}{a^2b}$ 与 $\frac{c}{3ab^2}$；
(2) $\frac{2x}{x^2 -9}$ 与 $\frac{x}{2x+6}$。
(1) $\frac{6c}{a^2b}$ 与 $\frac{c}{3ab^2}$；
(2) $\frac{2x}{x^2 -9}$ 与 $\frac{x}{2x+6}$。
答案
解：
(1) 两个分式的最简公分母是$3a^2b^2$。
$\frac{6c}{a^2b} = \frac{6c · 3b}{a^2b · 3b} = \frac{18bc}{3a^2b^2}$，
$\frac{c}{3ab^2} = \frac{c · a}{3ab^2 · a} = \frac{ac}{3a^2b^2}$。
(2) 先对分母因式分解：
$x^2-9=(x+3)(x-3)$，$2x+6=2(x+3)$，
两个分式的最简公分母是$2(x+3)(x-3)$。
$\frac{2x}{x^2-9} = \frac{2x · 2}{(x+3)(x-3) · 2} = \frac{4x}{2(x+3)(x-3)}$，
$\frac{x}{2x+6} = \frac{x · (x-3)}{2(x+3) · (x-3)} = \frac{x^2-3x}{2(x+3)(x-3)}$。
(1) 两个分式的最简公分母是$3a^2b^2$。
$\frac{6c}{a^2b} = \frac{6c · 3b}{a^2b · 3b} = \frac{18bc}{3a^2b^2}$，
$\frac{c}{3ab^2} = \frac{c · a}{3ab^2 · a} = \frac{ac}{3a^2b^2}$。
(2) 先对分母因式分解：
$x^2-9=(x+3)(x-3)$，$2x+6=2(x+3)$，
两个分式的最简公分母是$2(x+3)(x-3)$。
$\frac{2x}{x^2-9} = \frac{2x · 2}{(x+3)(x-3) · 2} = \frac{4x}{2(x+3)(x-3)}$，
$\frac{x}{2x+6} = \frac{x · (x-3)}{2(x+3) · (x-3)} = \frac{x^2-3x}{2(x+3)(x-3)}$。
9. (★)有下列分式：$\frac{a+b}{a^2+b^2}$，$\frac{a+b}{a^2-b^2}$，$\frac{3x}{12y}$，$\frac{2a+b}{a+b}$。其中最简分式有【 】
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
根据最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式，逐个判断：
1. 分式$\frac{a+b}{a^2+b^2}$：分母$a^2+b^2$无法因式分解，分子分母无公因式，是最简分式；
2. 分式$\frac{a+b}{a^2-b^2}$：分母因式分解为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，分子分母有公因式$a+b$，不是最简分式；
3. 分式$\frac{3x}{12y}$：分子分母有公因式3，可约分为$\frac{x}{4y}$，不是最简分式；
4. 分式$\frac{2a+b}{a+b}$：分子分母无公因式，是最简分式。
综上，最简分式共2个。
1. 分式$\frac{a+b}{a^2+b^2}$：分母$a^2+b^2$无法因式分解，分子分母无公因式，是最简分式；
2. 分式$\frac{a+b}{a^2-b^2}$：分母因式分解为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，分子分母有公因式$a+b$，不是最简分式；
3. 分式$\frac{3x}{12y}$：分子分母有公因式3，可约分为$\frac{x}{4y}$，不是最简分式；
4. 分式$\frac{2a+b}{a+b}$：分子分母无公因式，是最简分式。
综上，最简分式共2个。
