登录
10. 解答一个问题后,将结论作为条件之一,提出与原问题有关的新问题,我们把它称为原问题的一个“逆向”问题.例如:原问题是“长方形的两邻边长分别为3和4,求长方形的周长”,求出周长等于14后,它的一个“逆向”问题可以是“若长方形的周长是14,且一边长为3,求它邻边的长”,也可以是“长方形的周长是14,求长方形面积的最大值”等.
(1)设$ A = \frac{3x}{x-2} - \frac{x}{x+2} $,$ B = \frac{x^2 -4}{x} $,求A与B的积;
(2)提出(1)的一个“逆向”问题,并解答这个问题.
(1)设$ A = \frac{3x}{x-2} - \frac{x}{x+2} $,$ B = \frac{x^2 -4}{x} $,求A与B的积;
(2)提出(1)的一个“逆向”问题,并解答这个问题.
答案
10. (1) $A· B=(\frac{3x}{x-2}-\frac{x}{x+2})·\frac{x^2-4}{x}=3(x+2)-(x-2)=2x+8.$
(2) 已知$A· B=2x+8,B=\frac{x^2-4}{x}$,求$A.$
解:$A=(A· B)÷ B=(2x+8)÷\frac{x^2-4}{x}=(2x+8)·\frac{x}{x^2-4}=\frac{2x^2+8x}{x^2-4}.$
(2) 已知$A· B=2x+8,B=\frac{x^2-4}{x}$,求$A.$
解:$A=(A· B)÷ B=(2x+8)÷\frac{x^2-4}{x}=(2x+8)·\frac{x}{x^2-4}=\frac{2x^2+8x}{x^2-4}.$
解析
【分析】
(1) 要求A与B的积，先观察两个代数式的结构：B的分子$x^2-4$可因式分解为$(x-2)(x+2)$，恰好和A中两个分式的分母对应，因此直接用乘法分配律展开计算即可，无需先通分算A，能大幅简化运算过程，计算中注意约分，最后合并同类项得到最简结果。
(2) 首先明确“逆向”问题的规则：把(1)的结论$A·B=2x+8$作为已知条件，将原问题中的某一个已知项设为待求问题即可，比如可提出“已知A与B的积和B的表达式，求A”，解答时利用分式除法的运算法则，将除法转化为乘法后化简即可。
【解析】
(1) 计算$A·B$：
$\begin{aligned}A·B&=( \frac{3x}{x-2} - \frac{x}{x+2} ) · \frac{x^2-4}{x} \\&=\frac{3x}{x-2}·\frac{(x-2)(x+2)}{x} - \frac{x}{x+2}·\frac{(x-2)(x+2)}{x} \\&=3(x+2)-(x-2) \\&=3x+6-x+2 \\&=2x+8\end{aligned}$
(2) 提出逆向问题：已知$A·B=2x+8$，$B=\frac{x^2 -4}{x}$，求$A$。
解答过程：
$\begin{aligned}A&=(A·B)÷B \\&=(2x+8)÷\frac{x^2-4}{x} \\&=(2x+8)·\frac{x}{x^2-4} \\&=\frac{2x^2+8x}{x^2-4}\end{aligned}$
（逆向问题不唯一，合理即可）
【答案】
(1) $A·B=2x+8$
(2) 示例：已知$A·B=2x+8$，$B=\frac{x^2 -4}{x}$，求$A$，解得$A=\frac{2x^2+8x}{x^2-4}$（答案不唯一）
【知识点】
1. 分式的混合运算
2. 分式的乘除运算
3. 代数式化简
【点评】
本题既考查了分式运算的基础掌握程度，也通过开放型的“逆向问题”设问，锻炼了学生的发散思维和对知识的灵活应用能力，解题时优先观察代数式结构，合理运用运算律可以有效降低计算量。
【难度系数】
0.7
(1) 要求A与B的积，先观察两个代数式的结构：B的分子$x^2-4$可因式分解为$(x-2)(x+2)$，恰好和A中两个分式的分母对应，因此直接用乘法分配律展开计算即可，无需先通分算A，能大幅简化运算过程，计算中注意约分，最后合并同类项得到最简结果。
(2) 首先明确“逆向”问题的规则：把(1)的结论$A·B=2x+8$作为已知条件，将原问题中的某一个已知项设为待求问题即可，比如可提出“已知A与B的积和B的表达式，求A”，解答时利用分式除法的运算法则，将除法转化为乘法后化简即可。
【解析】
(1) 计算$A·B$：
$\begin{aligned}A·B&=( \frac{3x}{x-2} - \frac{x}{x+2} ) · \frac{x^2-4}{x} \\&=\frac{3x}{x-2}·\frac{(x-2)(x+2)}{x} - \frac{x}{x+2}·\frac{(x-2)(x+2)}{x} \\&=3(x+2)-(x-2) \\&=3x+6-x+2 \\&=2x+8\end{aligned}$
(2) 提出逆向问题：已知$A·B=2x+8$，$B=\frac{x^2 -4}{x}$，求$A$。
解答过程：
$\begin{aligned}A&=(A·B)÷B \\&=(2x+8)÷\frac{x^2-4}{x} \\&=(2x+8)·\frac{x}{x^2-4} \\&=\frac{2x^2+8x}{x^2-4}\end{aligned}$
（逆向问题不唯一，合理即可）
【答案】
(1) $A·B=2x+8$
(2) 示例：已知$A·B=2x+8$，$B=\frac{x^2 -4}{x}$，求$A$，解得$A=\frac{2x^2+8x}{x^2-4}$（答案不唯一）
【知识点】
1. 分式的混合运算
2. 分式的乘除运算
3. 代数式化简
【点评】
本题既考查了分式运算的基础掌握程度，也通过开放型的“逆向问题”设问，锻炼了学生的发散思维和对知识的灵活应用能力，解题时优先观察代数式结构，合理运用运算律可以有效降低计算量。
【难度系数】
0.7
11. 小明准备完成题目: 化简: $\frac{a+2}{a^2+3a} ÷ ( □ + \frac{5}{a+3} )$, 发现代数式“”印刷不清楚.
(1) 他把“”猜成 $\frac{a-3}{a+3}$, 请你化简: $\frac{a+2}{a^2+3a} ÷ ( \frac{a-3}{a+3} + \frac{5}{a+3} )$;
(2) 他妈妈说:“你猜错了,我看到该题标准答案的结果是 $\frac{1}{a(a-2)}$.”通过计算求原题中“”表示的代数式.
(1) 他把“”猜成 $\frac{a-3}{a+3}$, 请你化简: $\frac{a+2}{a^2+3a} ÷ ( \frac{a-3}{a+3} + \frac{5}{a+3} )$;
(2) 他妈妈说:“你猜错了,我看到该题标准答案的结果是 $\frac{1}{a(a-2)}$.”通过计算求原题中“”表示的代数式.
答案
11. (1)
$\begin{aligned}\frac{a+2}{a^2+3a}÷(\frac{a-3}{a+3}+\frac{5}{a+3})&=\frac{a+2}{a(a+3)}÷\frac{a-3+5}{a+3}\\&=\frac{a+2}{a(a+3)}·\frac{a+3}{a+2}\\&=\frac{1}{a}.\end{aligned}$
(2) 由题意,得$\frac{1}{a(a-2)}=\frac{a+2}{a^2+3a}÷(□+\frac{5}{a+3}).$
$\begin{aligned}\therefore □&=\frac{a+2}{a^2+3a}÷\frac{1}{a(a-2)}-\frac{5}{a+3}\\&=\frac{a+2}{a(a+3)}· a(a-2)-\frac{5}{a+3}\\&=\frac{a^2-4}{a+3}-\frac{5}{a+3}\\&=\frac{(a+3)(a-3)}{a+3}\\&=a-3.\end{aligned}$
$\therefore$ “$□$”表示的代数式为$a-3.$
$\begin{aligned}\frac{a+2}{a^2+3a}÷(\frac{a-3}{a+3}+\frac{5}{a+3})&=\frac{a+2}{a(a+3)}÷\frac{a-3+5}{a+3}\\&=\frac{a+2}{a(a+3)}·\frac{a+3}{a+2}\\&=\frac{1}{a}.\end{aligned}$
(2) 由题意,得$\frac{1}{a(a-2)}=\frac{a+2}{a^2+3a}÷(□+\frac{5}{a+3}).$
$\begin{aligned}\therefore □&=\frac{a+2}{a^2+3a}÷\frac{1}{a(a-2)}-\frac{5}{a+3}\\&=\frac{a+2}{a(a+3)}· a(a-2)-\frac{5}{a+3}\\&=\frac{a^2-4}{a+3}-\frac{5}{a+3}\\&=\frac{(a+3)(a-3)}{a+3}\\&=a-3.\end{aligned}$
$\therefore$ “$□$”表示的代数式为$a-3.$
解析
【分析】
(1) 第一小问是常规分式混合运算，解题思路：先按照同分母分式加法法则计算括号内的式子，再对被除式的分母因式分解，将除法转化为乘法后约去公因式，即可得到化简结果。
(2) 第二小问是逆向求解未知代数式，解题思路：把“”看作未知量，利用除法运算中“除数=被除数÷商”的关系，先列出求的表达式，再按照分式混合运算法则逐步化简，最终得到表示的代数式。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}\frac{a+2}{a^2+3a}÷(\frac{a-3}{a+3}+\frac{5}{a+3})&=\frac{a+2}{a(a+3)}÷\frac{a-3+5}{a+3}\\&=\frac{a+2}{a(a+3)}·\frac{a+3}{a+2}\\&=\frac{1}{a}.\end{aligned}$
(2) 由题意可得：$\frac{1}{a(a-2)}=\frac{a+2}{a^2+3a}÷(□+\frac{5}{a+3})$
$\begin{aligned}\therefore □&=\frac{a+2}{a^2+3a}÷\frac{1}{a(a-2)}-\frac{5}{a+3}\\&=\frac{a+2}{a(a+3)}· a(a-2)-\frac{5}{a+3}\\&=\frac{a^2-4}{a+3}-\frac{5}{a+3}\\&=\frac{(a+3)(a-3)}{a+3}\\&=a-3.\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{1}{a}$；(2) $a-3$
【知识点】
分式的混合运算，同分母分式加减法，因式分解
【点评】
本题包含分式混合运算的正向计算和逆向推导两类考法，既考查分式运算的基本规则，也考查对运算关系的灵活运用能力，是分式章节的典型考查题型。
【难度系数】
0.7
(1) 第一小问是常规分式混合运算，解题思路：先按照同分母分式加法法则计算括号内的式子，再对被除式的分母因式分解，将除法转化为乘法后约去公因式，即可得到化简结果。
(2) 第二小问是逆向求解未知代数式，解题思路：把“”看作未知量，利用除法运算中“除数=被除数÷商”的关系，先列出求的表达式，再按照分式混合运算法则逐步化简，最终得到表示的代数式。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}\frac{a+2}{a^2+3a}÷(\frac{a-3}{a+3}+\frac{5}{a+3})&=\frac{a+2}{a(a+3)}÷\frac{a-3+5}{a+3}\\&=\frac{a+2}{a(a+3)}·\frac{a+3}{a+2}\\&=\frac{1}{a}.\end{aligned}$
(2) 由题意可得：$\frac{1}{a(a-2)}=\frac{a+2}{a^2+3a}÷(□+\frac{5}{a+3})$
$\begin{aligned}\therefore □&=\frac{a+2}{a^2+3a}÷\frac{1}{a(a-2)}-\frac{5}{a+3}\\&=\frac{a+2}{a(a+3)}· a(a-2)-\frac{5}{a+3}\\&=\frac{a^2-4}{a+3}-\frac{5}{a+3}\\&=\frac{(a+3)(a-3)}{a+3}\\&=a-3.\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{1}{a}$；(2) $a-3$
【知识点】
分式的混合运算，同分母分式加减法，因式分解
【点评】
本题包含分式混合运算的正向计算和逆向推导两类考法，既考查分式运算的基本规则，也考查对运算关系的灵活运用能力，是分式章节的典型考查题型。
【难度系数】
0.7
