2. 计算$(a - \dfrac{b^2}{a}) ÷ \dfrac{a - b}{a}$的结果是（）

A.$a - b$
B.$a + b$
C.$\dfrac{1}{a - b}$
D.$\dfrac{1}{a + b}$

2. B

【分析】
本题考查分式的混合运算，解题思路如下：第一步先计算括号内的异分母分式减法，需先通分化为同分母分式再相减；第二步将分式除法转化为分式乘法（除以一个分式等于乘这个分式的倒数）；第三步对分子的多项式因式分解后约分，即可得到最终化简结果，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：先计算括号内的运算：
$a - \dfrac{b^2}{a} = \dfrac{a^2}{a} - \dfrac{b^2}{a} = \dfrac{a^2 - b^2}{a}$
再将除法转化为乘法：
原式$= \dfrac{a^2 - b^2}{a} × \dfrac{a}{a - b}$
利用平方差公式分解因式：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，代入得：
原式$= \dfrac{(a + b)(a - b)}{a} × \dfrac{a}{a - b}$
约分（隐含条件$a≠0$，$a≠ b$）后得：原式$= a + b$
【答案】
B
【知识点】
分式的混合运算；平方差公式；分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，解题时要遵循先括号后乘除的运算顺序，熟练掌握通分、约分及因式分解的方法是解题的关键，计算时要注意分母不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.8

3. 计算：$(1-\dfrac{1}{x+2})÷\dfrac{x+1}{x^2+4x+4}$

3. $x+2$

【分析】
本题属于分式的混合运算题，解题时按照分式运算的优先级逐步推导即可：第一步先处理括号内的减法，把整数1转化为和括号内分式同分母的形式，再做同分母分式的减法；第二步根据“除以一个非0的分式等于乘它的倒数”，把除法运算转化为乘法运算；第三步先对多项式因式分解，再依据分式的基本性质约分，就能得到最简结果。
【解析】
解：原式$=(\dfrac{x+2}{x+2}-\dfrac{1}{x+2})÷\dfrac{x+1}{(x+2)^2}$
$=\dfrac{x+2-1}{x+2}×\dfrac{(x+2)^2}{x+1}$
$=\dfrac{x+1}{x+2}×\dfrac{(x+2)^2}{x+1}$
约分后得：$x+2$
【答案】
$x+2$
【知识点】
分式的混合运算；完全平方公式；分式的基本性质
【点评】
本题是分式运算的基础常规题，主要考察分式运算顺序、因式分解的应用以及约分规则，计算时先将除法统一为乘法再约分，能有效减少运算错误。
【难度系数】
0.8

4.计算:$( \frac{1}{m+1} + \frac{1}{$$} ) ÷ \frac{m}{m^2 + 2m + 1}$

4. $\frac{2m+2}{m-1}$

【分析】
这是分式的混合运算题，解题遵循分式运算顺序：先算括号内的加法，再算括号外的除法。①括号内是异分母分式相加，先找最简公分母$(m+1)(m-1)$通分，转化为同分母分式后再计算分子的和；②计算除法时，根据分式除法法则，将除法转化为乘以除数的倒数，同时先对除数的分母$m^2+2m+1$因式分解为$(m+1)^2$，方便后续约分；③最后约分、化简得到最终结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}&( \frac{1}{m+1} + \frac{1}{m-1} ) ÷ \frac{m}{m^2 + 2m + 1}\\=&[ \frac{m-1}{(m+1)(m-1)} + \frac{m+1}{(m+1)(m-1)} ] ÷ \frac{m}{(m+1)^2} \\=&\frac{(m-1)+(m+1)}{(m+1)(m-1)} × \frac{(m+1)^2}{m} \\=&\frac{2m}{(m+1)(m-1)} × \frac{(m+1)^2}{m} \\=&\frac{2(m+1)}{m-1}\\=&\frac{2m+2}{m-1}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{2m+2}{m-1}$
【知识点】
分式混合运算；异分母分式加减法；因式分解
【点评】
本题属于分式运算的常规基础题，核心考察分式运算的基本规则，解题时注意遵循运算顺序，先因式分解再约分可简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7

5. 先化简,再求值:$\dfrac{a^2 -6a +9}{a-2} ÷ (a+2+\dfrac{5}{2-a})$,其中$a$是使不等式$\dfrac{a-1}{2} ≤ 1$成立的正整数.

5. 原式$=\frac{a-3}{a+3}.$
$\because a$是使不等式$\frac{a-1}{2} ≤ 1$成立的正整数,
$\therefore a≤ 3$且$a$为正整数.
$\therefore a=1,2,3.$
又 $a-2≠0,(a+3)(a-3)≠0,$
$\therefore a≠2,a≠3,a≠-3.$
$\therefore a=1.$
当$a=1$时,原式$=\frac{1-3}{1+3}=-\frac{1}{2}.$

【分析】
这是一道分式化简求值结合一元一次不等式的综合题，解题思路分为三步：第一步先进行分式化简，先处理括号内的分式加法，将整式通分转化为同分母分式运算，再将除法运算转化为乘法运算，对分子分母因式分解后约分得到最简分式；第二步解给定的一元一次不等式，找出满足条件的正整数a的可能取值；第三步根据分式分母不为0、除数不为0的要求，排除使分式无意义的a值，最后将合法的a值代入最简式计算结果。
【解析】
1. 化简原式：
对分子因式分解得：$\dfrac{a^2 -6a +9}{a-2} = \dfrac{(a-3)^2}{a-2}$
处理括号内的运算，将整式通分转化为同分母分式：
$a+2+\dfrac{5}{2-a} = a+2 - \dfrac{5}{a-2} = \dfrac{(a+2)(a-2) - 5}{a-2}$
利用平方差公式计算分子：$(a+2)(a-2) -5 = a^2 -4 -5 = a^2 -9 = (a+3)(a-3)$
因此括号内结果为$\dfrac{(a+3)(a-3)}{a-2}$
将除法转化为乘法运算：
原式$= \dfrac{(a-3)^2}{a-2} ÷ \dfrac{(a+3)(a-3)}{a-2} = \dfrac{(a-3)^2}{a-2} × \dfrac{a-2}{(a+3)(a-3)}$
约去公因式后得最简式：$\dfrac{a-3}{a+3}$
2. 确定a的取值范围：
解不等式$\dfrac{a-1}{2} ≤ 1$，两边同乘2得$a-1 ≤ 2$，解得$a ≤ 3$
因为a是正整数，所以a的可能取值为1、2、3
3. 筛选合法的a值：
分式有意义要求分母、除数均不为0，因此：
$a-2 ≠ 0$，$a^2 -9 ≠ 0$，即$a ≠ 2$，$a ≠ \pm3$
排除不符合的取值后，可得$a=1$
4. 代入求值：
将$a=1$代入最简式得：$\dfrac{1-3}{1+3} = -\dfrac{1}{2}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式混合运算，一元一次不等式求解，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式计算的常考题型，综合考查了分式运算规则和不等式求解能力，解题时要注意代入求值前必须先排除使分式无意义的取值，避免因忽略限制条件出现错误。
【难度系数】
0.7

6. 先化简：$1 - \dfrac{a - 1}{a} ÷ ( \dfrac{a}{a + 2} - \dfrac{1}{a^2 + 2a} )$，然后选一个合适的整数作为$a$的值代入求值。

6. 原式$=-\frac{1}{a+1}.$ 当$a=2$时,原式$=-\frac{1}{3}.$(注意:$a$不能取$-1,0,1,-2$)

【分析】
这是分式的化简求值题，解题思路遵循分式混合运算的顺序：①先算括号内的异分母分式减法，先对括号内第二个分式的分母因式分解，找到最简公分母通分后计算；②再计算分式除法，将除法转化为乘法后约分；③最后计算减法得到最简结果；④代入a的值时，要先确定a的取值范围：保证原式中所有分母、除式均不为0，排除不合适的a值后再选择整数代入计算。
【解析】
解：先对原式括号内的分母因式分解：$a^2+2a=a(a+2)$，
∴ 括号内通分计算：
$\dfrac{a}{a+2} - \dfrac{1}{a^2+2a} = \dfrac{a}{a+2} - \dfrac{1}{a(a+2)} = \dfrac{a· a}{a(a+2)} - \dfrac{1}{a(a+2)} = \dfrac{a^2 - 1}{a(a+2)} = \dfrac{(a+1)(a-1)}{a(a+2)}$
再计算除法：
$\dfrac{a-1}{a} ÷ \dfrac{(a+1)(a-1)}{a(a+2)} = \dfrac{a-1}{a} × \dfrac{a(a+2)}{(a+1)(a-1)} = \dfrac{a+2}{a+1}$
最后计算减法：
$1 - \dfrac{a+2}{a+1} = \dfrac{a+1}{a+1} - \dfrac{a+2}{a+1} = \dfrac{(a+1)-(a+2)}{a+1} = \dfrac{-1}{a+1} = -\dfrac{1}{a+1}$
要使分式有意义，则分母和除式不为0，即：
$a≠0，a+2≠0，a^2+2a≠0，a+1≠0，a-1≠0$
解得$a$不能取$-1,0,1,-2$，选合适的整数$a=2$代入：
原式$=-\dfrac{1}{2+1}=-\dfrac{1}{3}$
【答案】
原式化简结果为$-\dfrac{1}{a+1}$，当$a=2$时，原式$=-\dfrac{1}{3}$（注意：$a$不能取$-1,0,1,-2$）
【知识点】
分式混合运算，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题考查分式的化简求值，核心是掌握分式混合运算的运算顺序和通分、约分的运算法则，易错点是代入求值时忽略分式有意义的条件，误选使分母为0的a值。
【难度系数】
0.7

7. 先化简, 再求值: $(\dfrac{3x+4}{x^2 -1} - \dfrac{2}{x-1}) ÷ \dfrac{x+2}{x^2 -2x +1}$, 从$-2 ≤ x ＜ 2$中选出合适的$x$的整数值代入求值.

7. 原式$=\frac{x-1}{x+1}.$
当$x=0$时,原式$=\frac{0-1}{0+1}=-1.$(注意:$x$不能取$-2,-1,1$)

【分析】
这是一道分式化简求值题，解题可按三步思考：第一步先处理括号内的异分母分式减法，先对分母因式分解找到最简公分母，通分后合并分子；第二步将除法运算转化为乘法运算，对除式的分母因式分解后约分，得到最简结果；第三步根据分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0）排除不符合要求的x值，从给定范围中选出合法的整数值代入最简式计算即可。
【解析】
解：先对各分母因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$
1. 计算括号内的异分母分式减法：
$\begin{aligned}\frac{3x+4}{x^2-1}-\frac{2}{x-1}&=\frac{3x+4}{(x+1)(x-1)} - \frac{2(x+1)}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{3x+4 - 2x -2}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{x+2}{(x+1)(x-1)}\end{aligned}$
2. 将除法转为乘法，约分得到最简式：
$\begin{aligned}&\frac{x+2}{(x+1)(x-1)} ÷ \frac{x+2}{(x-1)^2}\\=&\frac{x+2}{(x+1)(x-1)} × \frac{(x-1)^2}{x+2}\\=&\frac{x-1}{x+1}\end{aligned}$
3. 确定合法的x取值并代入计算：
要使所有分式有意义，需满足分母不为0、除数不为0，即$x≠\pm1$且$x≠-2$。
已知$-2≤ x＜2$，范围内的整数值为$-2,-1,0,1$，排除不符合要求的取值，仅$x=0$可选。
将$x=0$代入$\frac{x-1}{x+1}$得：$\frac{0-1}{0+1}=-1$
【答案】
原式化简结果为$\frac{x-1}{x+1}$，当$x=0$时，原式的值为$-1$（注意：$x$不能取$-2,-1,1$）
【知识点】
1. 分式的混合运算
2. 分式有意义的条件
3. 因式分解
【点评】
本题是分式运算的典型题型，既考查了分式通分、约分、混合运算的基本技能，也设置了隐含的取值限制条件，需要学生养成运算前先判断分式有意义的习惯，避免直接代入边界值导致错误。
【难度系数】
0.7

8. 小强上山和下山的路程都是$s$ km，上山的速度为$v_1$ km/h，下山的速度为$v_2$ km/h，则小强上山和下山的平均速度为（）

A.$\dfrac{v_1 + v_2}{2}$ km/h
B.$\dfrac{2s}{v_1 + v_2}$ km/h
C.$\dfrac{s}{\dfrac{s}{v_1} + \dfrac{s}{v_2}}$ km/h
D.$\dfrac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$ km/h

8. D

【分析】
要计算上山和下山的平均速度，首先明确平均速度的核心计算公式是总路程÷总时间，不能直接对两个速度取平均。解题步骤可分为三步：第一步计算上山、下山的总路程；第二步分别求出上山、下山的时间，相加得到总时间；第三步用总路程除以总时间得到平均速度的表达式，再通过分式的混合运算化简，匹配对应选项即可。
【解析】
根据平均速度的定义：$\mathrm{平均速度}=\dfrac{\mathrm{总路程}}{\mathrm{总时间}}$
1. 计算总路程：上山路程为$s$，下山路程为$s$，因此总路程$=s+s=2s$
2. 计算总时间：上山时间$t_1=\dfrac{s}{v_1}$，下山时间$t_2=\dfrac{s}{v_2}$，总时间$=t_1+t_2=\dfrac{s}{v_1}+\dfrac{s}{v_2}$
3. 代入公式计算平均速度并化简：
$\begin{aligned}v_{\mathrm{平均}}&=\dfrac{2s}{\dfrac{s}{v_1}+\dfrac{s}{v_2}}\\&=\dfrac{2s}{s(\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2})}\\&=\dfrac{2}{\dfrac{v_1+v_2}{v_1v_2}}\\&=\dfrac{2v_1v_2}{v_1+v_2}\end{aligned}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平均速度计算 2. 分式的混合运算
【点评】
本题的易错点是误将两个速度的平均值当作平均速度，错选选项A。解题的关键是牢记平均速度的计算公式，结合分式运算规则化简表达式即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7

9. 下面是小含分式化简的过程,请认真阅读并完成相应的任务.
$\frac{x+2}{x^2-2x+1} · \frac{x^2-1}{x^2+2x} - \frac{2}{x-1}$
$=\frac{x+2}{(x-1)^2} · \frac{(x+1)(x-1)}{x(x+2)} - \frac{2}{x-1}$ ……第一步
$=\frac{x+1}{x(x-1)} - \frac{2}{x-1}$ ……第二步
$=\frac{x+1}{x(x-1)} - \frac{2}{x(x-1)}$ ……第三步
$=\frac{x-1}{x(x-1)}$ ……第四步
$=\frac{1}{x}$ ……第五步
任务一:①以上化简步骤中,从第步开始出现错误,错误的原因是;
②在解题过程中,由第一步到第二步的依据为;
任务二:请直接写出该分式化简后的正确结果,然后在$-2,-1,0,1,2$中选择一个合适的数代入求值.

9. 任务一:①三 通分时分子未乘x ②分式的基本性质
任务二:化简后的正确结果为$-\frac{1}{x}.$ 当$x=-1$时,原式$=1.$(注意:$x$不能取$-2,0,1$).

【分析】
解决本题先梳理分式化简的常规步骤：先对分子分母因式分解，再约分，之后通分计算，最后约分化为最简。任务一先逐步骤核对运算规则：①先看每一步运算是否符合分式运算法则，第三步进行通分时，根据分式的基本性质，将分母变为$x(x-1)$时，分子也要对应乘$x$，观察第三步的第二个分式分子仅为2，未乘$x$，因此第三步出错；②第一步到第二步是将分子分母的公因式约去，依据就是分式的基本性质。任务二则先修正第三步的错误，重新计算化简结果，再根据分式有意义的条件（分母不为0，约掉的公因式对应的取值也排除）筛选可代入的$x$，代入计算即可。
【解析】
任务一
① 逐步骤检查运算：
第一步对各分式分子分母因式分解，运算正确；第二步约去分子分母的公因式$(x-1)$和$(x+2)$，运算正确；第三步通分时，要将$\frac{2}{x-1}$的分母变为$x(x-1)$，需给分子分母同乘$x$，即$\frac{2}{x-1}=\frac{2x}{x(x-1)}$，但原式第三步中第二个分式的分子未乘$x$，因此从第三步开始出现错误，错误原因是通分时分子未乘$x$。
② 第一步到第二步是约分操作，依据为分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
任务二
重新正确化简：
$\begin{aligned}&\frac{x+2}{x^2-2x+1} · \frac{x^2-1}{x^2+2x} - \frac{2}{x-1}\\=&\frac{x+2}{(x-1)^2} · \frac{(x+1)(x-1)}{x(x+2)} - \frac{2}{x-1}\\=&\frac{x+1}{x(x-1)} - \frac{2}{x-1}\\=&\frac{x+1}{x(x-1)} - \frac{2x}{x(x-1)}\\=&\frac{x+1-2x}{x(x-1)}\\=&\frac{1-x}{x(x-1)}\\=&-\frac{1}{x}\end{aligned}$
要使分式有意义，则$x≠-2,0,1$，可选$x=-1$代入：
当$x=-1$时，原式$=-\frac{1}{-1}=1$。
【答案】
任务一:①三 通分时分子未乘x ②分式的基本性质
任务二:化简后的正确结果为$-\frac{1}{x}.$ 当$x=-1$时,原式$=1.$(注意:$x$不能取$-2,0,1$).
【知识点】
分式的基本性质、分式的混合运算、分式有意义的条件
【点评】
本题重点考查分式的化简求值，解题时要严格遵循分式运算规则，通分时注意分子要和分母乘相同的非零整式，代入求值前必须先排除使分式无意义的数值，避免出现错误。
【难度系数】
0.7