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1. 下列方程中是一元一次方程的是(
A.$x^2 +1=5$
B.$x+2=y-3$
C.$\frac{1}{2x}$
D.$3x=4$
D
)A.$x^2 +1=5$
B.$x+2=y-3$
C.$\frac{1}{2x}$
D.$3x=4$
答案
D
解析
【分析】
要判断一个式子是否为一元一次方程，首先要明确一元一次方程的4个判定要点：①是含有等号的等式；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数是1；④等号两边都是整式（未知数不能出现在分母、根号位置）。解题时只需用这几个要点逐一核对每个选项，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数为1，等号两边都是整式的等式叫做一元一次方程。我们对各选项逐一分析：
选项A：方程中未知数$x$的最高次数是2，不符合“未知数次数为1”的要求，不是一元一次方程；
选项B：方程中含有$x$、$y$两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，不是一元一次方程；
选项C：该式没有等号，不属于等式，因此不是方程，更不是一元一次方程；
选项D：该式是等式，只含未知数$x$，$x$的次数为1，等号两边都是整式，完全符合一元一次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的定义、方程的判定、整式的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是考察对一元一次方程定义的理解，解题时只要牢记判定标准逐一排查选项即可，注意不要混淆代数式、整式、方程的概念。
【难度系数】
0.85
要判断一个式子是否为一元一次方程，首先要明确一元一次方程的4个判定要点：①是含有等号的等式；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数是1；④等号两边都是整式（未知数不能出现在分母、根号位置）。解题时只需用这几个要点逐一核对每个选项，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数为1，等号两边都是整式的等式叫做一元一次方程。我们对各选项逐一分析：
选项A：方程中未知数$x$的最高次数是2，不符合“未知数次数为1”的要求，不是一元一次方程；
选项B：方程中含有$x$、$y$两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，不是一元一次方程；
选项C：该式没有等号，不属于等式，因此不是方程，更不是一元一次方程；
选项D：该式是等式，只含未知数$x$，$x$的次数为1，等号两边都是整式，完全符合一元一次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的定义、方程的判定、整式的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是考察对一元一次方程定义的理解，解题时只要牢记判定标准逐一排查选项即可，注意不要混淆代数式、整式、方程的概念。
【难度系数】
0.85
2. 若$x=1$是方程$2x+a=0$的解，则$a=$(
A.1
B.2
C.$-1$
D.$-2$
D
)A.1
B.2
C.$-1$
D.$-2$
答案
D
解析
【分析】
解题的核心是利用方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=1是方程的解，说明把x=1代入原方程后，等式仍然成立，这样就能得到一个只含有未知数a的一元一次方程，解这个方程即可求出a的值。
【解析】
因为x=1是方程$2x+a=0$的解，将x=1代入原方程，可得：
$2×1 + a = 0$
计算得：$2 + a = 0$
移项解得：$a = -2$
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查将方程的解代入原方程求解未知参数的方法，掌握方程的解的定义是解题的关键，计算量小，不易出错。
【难度系数】
0.9
解题的核心是利用方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=1是方程的解，说明把x=1代入原方程后，等式仍然成立，这样就能得到一个只含有未知数a的一元一次方程，解这个方程即可求出a的值。
【解析】
因为x=1是方程$2x+a=0$的解，将x=1代入原方程，可得：
$2×1 + a = 0$
计算得：$2 + a = 0$
移项解得：$a = -2$
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查将方程的解代入原方程求解未知参数的方法，掌握方程的解的定义是解题的关键，计算量小，不易出错。
【难度系数】
0.9
3. 已知$ a = b $，则下列等式不一定成立的是(
A.$ a - 0.5 = b - \frac{1}{2} $
B.$ \frac{a}{3} + 5 = \frac{b}{3} + 5 $
C.$ -4a -1 = -1 -4b $
D.$ 2 - \frac{a}{4} = \frac{b}{4} - 2 $
D
)A.$ a - 0.5 = b - \frac{1}{2} $
B.$ \frac{a}{3} + 5 = \frac{b}{3} + 5 $
C.$ -4a -1 = -1 -4b $
D.$ 2 - \frac{a}{4} = \frac{b}{4} - 2 $
答案
D
解析
【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题思路为：已知a=b，我们可依据“等式两边同时加、减同一个数（或式子），或乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立”的性质，逐一验证每个选项的变形是否符合要求，即可找出不一定成立的等式。
【解析】
根据等式的基本性质逐一判断：
1. 验证选项A：等式a=b两边同时减去0.5（即$\frac{1}{2}$），可得$a-0.5 = b-\frac{1}{2}$，该等式一定成立，不符合题意。
2. 验证选项B：等式a=b两边先同时除以3，得$\frac{a}{3}=\frac{b}{3}$，再两边同时加5，可得$\frac{a}{3}+5=\frac{b}{3}+5$，该等式一定成立，不符合题意。
3. 验证选项C：等式a=b两边先同时乘$-4$，得$-4a=-4b$，再两边同时减1，可得$-4a-1=-4b-1$，即$-4a-1=-1-4b$，该等式一定成立，不符合题意。
4. 验证选项D：对等式$2-\frac{a}{4}=\frac{b}{4}-2$变形，两边同时加$\frac{a}{4}$、加2，可得$4=\frac{a+b}{4}$，结合a=b，只有当$a=b=8$时该等式才成立，并非对所有相等的a、b都成立，因此该等式不一定成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是熟练掌握等式的两个基本性质，对等式变形时要严格遵循性质要求，避免无依据的随意变形。
【难度系数】
0.8
本题考查等式基本性质的应用，解题思路为：已知a=b，我们可依据“等式两边同时加、减同一个数（或式子），或乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立”的性质，逐一验证每个选项的变形是否符合要求，即可找出不一定成立的等式。
【解析】
根据等式的基本性质逐一判断：
1. 验证选项A：等式a=b两边同时减去0.5（即$\frac{1}{2}$），可得$a-0.5 = b-\frac{1}{2}$，该等式一定成立，不符合题意。
2. 验证选项B：等式a=b两边先同时除以3，得$\frac{a}{3}=\frac{b}{3}$，再两边同时加5，可得$\frac{a}{3}+5=\frac{b}{3}+5$，该等式一定成立，不符合题意。
3. 验证选项C：等式a=b两边先同时乘$-4$，得$-4a=-4b$，再两边同时减1，可得$-4a-1=-4b-1$，即$-4a-1=-1-4b$，该等式一定成立，不符合题意。
4. 验证选项D：对等式$2-\frac{a}{4}=\frac{b}{4}-2$变形，两边同时加$\frac{a}{4}$、加2，可得$4=\frac{a+b}{4}$，结合a=b，只有当$a=b=8$时该等式才成立，并非对所有相等的a、b都成立，因此该等式不一定成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是熟练掌握等式的两个基本性质，对等式变形时要严格遵循性质要求，避免无依据的随意变形。
【难度系数】
0.8
4. 将方程 $2x=\frac{1}{4}$ 的未知数的系数化为1，得(
A.$x=2$
B.$x=\frac{1}{8}$
C.$x=\frac{1}{2}$
D.$x=8$
B
)A.$x=2$
B.$x=\frac{1}{8}$
C.$x=\frac{1}{2}$
D.$x=8$
答案
B
解析
【分析】
本题考查一元一次方程求解中系数化为1的操作，解题思路依据等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。要将未知数x的系数化为1，只需在方程两边同时除以x的系数2，即可求出x的取值，再对应选项选择即可。
【解析】
已知方程为$2x=\frac{1}{4}$，根据等式的性质，等式两边同时除以2（即乘$\frac{1}{2}$）：
左边：$2x÷2 = x$
右边：$\frac{1}{4}÷2 = \frac{1}{4}×\frac{1}{2} = \frac{1}{8}$
因此解得$x=\frac{1}{8}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 等式的性质
2. 一元一次方程系数化为1
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考察等式性质的应用，解题时注意分数除法的运算规则，避免因计算粗心选错答案。
【难度系数】
0.9
本题考查一元一次方程求解中系数化为1的操作，解题思路依据等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。要将未知数x的系数化为1，只需在方程两边同时除以x的系数2，即可求出x的取值，再对应选项选择即可。
【解析】
已知方程为$2x=\frac{1}{4}$，根据等式的性质，等式两边同时除以2（即乘$\frac{1}{2}$）：
左边：$2x÷2 = x$
右边：$\frac{1}{4}÷2 = \frac{1}{4}×\frac{1}{2} = \frac{1}{8}$
因此解得$x=\frac{1}{8}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 等式的性质
2. 一元一次方程系数化为1
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考察等式性质的应用，解题时注意分数除法的运算规则，避免因计算粗心选错答案。
【难度系数】
0.9
5. 把方程$\frac{x}{2} - \frac{x-1}{3}=1$去分母后，正确的是(
A.$3x -2(x-1)=1$
B.$3x+2x-2=6$
C.$3x-2x-2=6$
D.$3x-2(x-1)=6$
D
)A.$3x -2(x-1)=1$
B.$3x+2x-2=6$
C.$3x-2x-2=6$
D.$3x-2(x-1)=6$
答案
D
解析
【分析】
这是一道一元一次方程去分母的题目，解题思路如下：第一步先找到方程中所有分母的最小公倍数，本题分母为2和3，最小公倍数是6；第二步根据等式的性质，方程两边每一项都要乘这个最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项（即等号右侧的1）；第三步如果分子是多项式，乘完公倍数后要给分子整体加括号，避免符号出错，最后将得到的式子和选项对比即可。
【解析】
解：方程$\frac{x}{2} - \frac{x-1}{3}=1$的两个分母是2和3，它们的最小公倍数是6。
根据等式的性质，将方程左右两边的每一项同时乘6：
$\frac{x}{2} × 6 - \frac{x-1}{3} × 6 = 1 × 6$
计算每一项的结果：
第一项：$\frac{x}{2} × 6 = 3x$
第二项：$\frac{x-1}{3} × 6 = 2(x-1)$，所以原式第二项为$-2(x-1)$
第三项（等号右侧）：$1 × 6 = 6$
因此去分母后得到的式子为：$3x - 2(x-1) = 6$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程去分母、等式的基本性质
【点评】
本题考查一元一次方程去分母的运算，易错点有两个：一是容易漏乘等式右侧不含分母的常数项1，二是忘记给多项式分子$x-1$整体加括号导致符号错误，运算时牢记每一项都要乘最小公倍数，多项式分子需加括号即可避开易错点。
【难度系数】
0.8
这是一道一元一次方程去分母的题目，解题思路如下：第一步先找到方程中所有分母的最小公倍数，本题分母为2和3，最小公倍数是6；第二步根据等式的性质，方程两边每一项都要乘这个最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项（即等号右侧的1）；第三步如果分子是多项式，乘完公倍数后要给分子整体加括号，避免符号出错，最后将得到的式子和选项对比即可。
【解析】
解：方程$\frac{x}{2} - \frac{x-1}{3}=1$的两个分母是2和3，它们的最小公倍数是6。
根据等式的性质，将方程左右两边的每一项同时乘6：
$\frac{x}{2} × 6 - \frac{x-1}{3} × 6 = 1 × 6$
计算每一项的结果：
第一项：$\frac{x}{2} × 6 = 3x$
第二项：$\frac{x-1}{3} × 6 = 2(x-1)$，所以原式第二项为$-2(x-1)$
第三项（等号右侧）：$1 × 6 = 6$
因此去分母后得到的式子为：$3x - 2(x-1) = 6$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程去分母、等式的基本性质
【点评】
本题考查一元一次方程去分母的运算，易错点有两个：一是容易漏乘等式右侧不含分母的常数项1，二是忘记给多项式分子$x-1$整体加括号导致符号错误，运算时牢记每一项都要乘最小公倍数，多项式分子需加括号即可避开易错点。
【难度系数】
0.8
6. 若关于$x$的一元一次方程$ax + b = 0(a≠0)$的解为正数，则(
A.$a$，$b$同号
B.$a$，$b$异号
C.$b＞0$
D.$a$，$b$都是整数
B
)A.$a$，$b$同号
B.$a$，$b$异号
C.$b＞0$
D.$a$，$b$都是整数
答案
B
解析
【分析】
首先需要先求解给定的一元一次方程，用含a、b的式子表示出方程的解，再根据“解为正数”即解大于0的条件，结合有理数除法的符号规律，推导a和b的符号关系，最后匹配对应选项即可。
【解析】
1. 求解一元一次方程$ax + b = 0(a≠0)$：
移项得$ax=-b$，因为$a≠0$，方程两边同时除以a，解得$x=-\frac{b}{a}$。
2. 根据题意，方程的解为正数，即$x＞0$，代入得$-\frac{b}{a}＞0$，变形可得$\frac{b}{a}＜0$。
3. 根据有理数除法的符号规则：两数相除，同号得正，异号得负，可知a和b异号，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程求解；有理数除法符号法则
【点评】
本题是基础综合题，将一元一次方程的求解和有理数的符号判断结合考查，掌握解方程的基本步骤和有理数乘除的符号规律即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
首先需要先求解给定的一元一次方程，用含a、b的式子表示出方程的解，再根据“解为正数”即解大于0的条件，结合有理数除法的符号规律，推导a和b的符号关系，最后匹配对应选项即可。
【解析】
1. 求解一元一次方程$ax + b = 0(a≠0)$：
移项得$ax=-b$，因为$a≠0$，方程两边同时除以a，解得$x=-\frac{b}{a}$。
2. 根据题意，方程的解为正数，即$x＞0$，代入得$-\frac{b}{a}＞0$，变形可得$\frac{b}{a}＜0$。
3. 根据有理数除法的符号规则：两数相除，同号得正，异号得负，可知a和b异号，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程求解；有理数除法符号法则
【点评】
本题是基础综合题，将一元一次方程的求解和有理数的符号判断结合考查，掌握解方程的基本步骤和有理数乘除的符号规律即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
7. 若3个连续偶数的和为36，则这3个连续偶数的积为(
A.998
B.1 200
C.1 680
D.1 868
C
)A.998
B.1 200
C.1 680
D.1 868
答案
C
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确连续偶数的特征：相邻两个偶数的差为2。要求三个连续偶数的积，需先求出这三个数具体是多少。已知三个数的和为36，我们可以通过设未知数列一元一次方程的方法求解，为简化计算，优先设中间的偶数为未知数，此时另外两个偶数可表示为中间数加减2，列方程求和时常数项会抵消，能更方便地解出未知数，得到三个数后再计算乘积即可对应选出正确选项。
【解析】
设三个连续偶数中，中间的偶数为$x$，则另外两个偶数分别为$x-2$和$x+2$。
根据三个数的和为36，列方程：
$(x-2) + x + (x+2) = 36$
化简方程左边得：$3x = 36$
解得：$x = 12$
所以三个连续偶数分别为：$12-2=10$，$12$，$12+2=14$
三个数的积为：$10 × 12 × 14 = 1680$
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用，偶数的性质，有理数乘法运算
【点评】
本题是基础的数字类应用题，解题核心是抓住连续偶数相差2的特征合理设未知数，掌握优先设中间量的设元技巧可以大幅简化计算过程，这类题是方程实际应用的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需要明确连续偶数的特征：相邻两个偶数的差为2。要求三个连续偶数的积，需先求出这三个数具体是多少。已知三个数的和为36，我们可以通过设未知数列一元一次方程的方法求解，为简化计算，优先设中间的偶数为未知数，此时另外两个偶数可表示为中间数加减2，列方程求和时常数项会抵消，能更方便地解出未知数，得到三个数后再计算乘积即可对应选出正确选项。
【解析】
设三个连续偶数中，中间的偶数为$x$，则另外两个偶数分别为$x-2$和$x+2$。
根据三个数的和为36，列方程：
$(x-2) + x + (x+2) = 36$
化简方程左边得：$3x = 36$
解得：$x = 12$
所以三个连续偶数分别为：$12-2=10$，$12$，$12+2=14$
三个数的积为：$10 × 12 × 14 = 1680$
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用，偶数的性质，有理数乘法运算
【点评】
本题是基础的数字类应用题，解题核心是抓住连续偶数相差2的特征合理设未知数，掌握优先设中间量的设元技巧可以大幅简化计算过程，这类题是方程实际应用的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
8. 一项工程甲工程队单独做需要 40天完成，乙工程队单独做需要 50天完成. 若甲工程队先单独做4天，两队再合作x天完成这项工程，则根据题意，可列方程为(
A.$\frac{4}{40}+\frac{x}{40+50}=1$
B.$\frac{4}{40}+\frac{x}{40×50}=1$
C.$\frac{4}{40}+\frac{x}{50}=1$
D.$\frac{4}{40}+\frac{x}{40}+\frac{x}{50}=1$
D
)A.$\frac{4}{40}+\frac{x}{40+50}=1$
B.$\frac{4}{40}+\frac{x}{40×50}=1$
C.$\frac{4}{40}+\frac{x}{50}=1$
D.$\frac{4}{40}+\frac{x}{40}+\frac{x}{50}=1$
答案
D
解析
【分析】
解决这道工程问题，首先要明确工程问题的基本等量关系：总工作量=各部分工作量之和，通常把总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成工作的总时间。第一步先分别算出甲、乙两队的工作效率；第二步计算甲先单独做4天的工作量；第三步计算两队合作x天里，甲、乙各自完成的工作量；最后把所有工作量相加等于总工作量1，就能列出对应的方程，再匹配选项即可。
【解析】
我们将这项工程的总工作量看作单位“1”。
1. 计算工作效率：甲队单独做40天完成，所以甲队的工作效率为$\frac{1}{40}$；乙队单独做50天完成，所以乙队的工作效率为$\frac{1}{50}$。
2. 计算各阶段工作量：
① 甲先单独做4天的工作量：$4×\frac{1}{40}=\frac{4}{40}$；
② 两队合作x天期间，甲队完成的工作量：$x×\frac{1}{40}=\frac{x}{40}$；
③ 两队合作x天期间，乙队完成的工作量：$x×\frac{1}{50}=\frac{x}{50}$。
3. 根据总工作量为1，列方程得：$\frac{4}{40}+\frac{x}{40}+\frac{x}{50}=1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
工程问题，一元一次方程应用，工作量计算
【点评】
本题是工程问题的基础考查题，核心是牢记总工作量为单位“1”，准确拆分不同阶段各工作主体的工作量，利用“总工作量=各部分工作量之和”的等量关系列方程即可。
【难度系数】
0.7
解决这道工程问题，首先要明确工程问题的基本等量关系：总工作量=各部分工作量之和，通常把总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成工作的总时间。第一步先分别算出甲、乙两队的工作效率；第二步计算甲先单独做4天的工作量；第三步计算两队合作x天里，甲、乙各自完成的工作量；最后把所有工作量相加等于总工作量1，就能列出对应的方程，再匹配选项即可。
【解析】
我们将这项工程的总工作量看作单位“1”。
1. 计算工作效率：甲队单独做40天完成，所以甲队的工作效率为$\frac{1}{40}$；乙队单独做50天完成，所以乙队的工作效率为$\frac{1}{50}$。
2. 计算各阶段工作量：
① 甲先单独做4天的工作量：$4×\frac{1}{40}=\frac{4}{40}$；
② 两队合作x天期间，甲队完成的工作量：$x×\frac{1}{40}=\frac{x}{40}$；
③ 两队合作x天期间，乙队完成的工作量：$x×\frac{1}{50}=\frac{x}{50}$。
3. 根据总工作量为1，列方程得：$\frac{4}{40}+\frac{x}{40}+\frac{x}{50}=1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
工程问题，一元一次方程应用，工作量计算
【点评】
本题是工程问题的基础考查题，核心是牢记总工作量为单位“1”，准确拆分不同阶段各工作主体的工作量，利用“总工作量=各部分工作量之和”的等量关系列方程即可。
【难度系数】
0.7
9. 若某商品以八折的优惠价出售，一件少收入15元，则这件商品的原价是(
A.35元
B.60元
C.75元
D.150元
C
)A.35元
B.60元
C.75元
D.150元
答案
C
解析
【分析】
首先明确折扣的含义：八折优惠意味着售价是原价的80%，少收入的15元对应原价减去八折售价的差额，也就是原价的(1-80%)。我们可以通过设原价为未知数，根据“原价-打折后售价=少收入的金额”这一等量关系列一元一次方程求解，是这类应用题的常规思路。
【解析】
设这件商品的原价为$ x $元，八折后的售价为$ 0.8x $元。
根据题意可列方程：
$ x - 0.8x = 15 $
合并同类项得：$ 0.2x = 15 $
系数化为1得：$ x = 15÷0.2 = 75 $
因此这件商品的原价是75元。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用；折扣问题
【点评】
本题是贴近生活的基础应用型题目，解题关键是准确理解打折的含义，找准题目中的等量关系，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
首先明确折扣的含义：八折优惠意味着售价是原价的80%，少收入的15元对应原价减去八折售价的差额，也就是原价的(1-80%)。我们可以通过设原价为未知数，根据“原价-打折后售价=少收入的金额”这一等量关系列一元一次方程求解，是这类应用题的常规思路。
【解析】
设这件商品的原价为$ x $元，八折后的售价为$ 0.8x $元。
根据题意可列方程：
$ x - 0.8x = 15 $
合并同类项得：$ 0.2x = 15 $
系数化为1得：$ x = 15÷0.2 = 75 $
因此这件商品的原价是75元。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用；折扣问题
【点评】
本题是贴近生活的基础应用型题目，解题关键是准确理解打折的含义，找准题目中的等量关系，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
