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10.如图,下列说法错误的是 (
A.∠DAO 也可用∠DAC 表示
B.∠COB 也可用∠O 表示
C.∠2 也可用∠OBC 表示
D.∠CDB 也可用∠1 表示
B
)A.∠DAO 也可用∠DAC 表示
B.∠COB 也可用∠O 表示
C.∠2 也可用∠OBC 表示
D.∠CDB 也可用∠1 表示
答案
10.B
解析
【分析】
要判断各选项角的表示是否正确，首先需明确角的表示规则：①用三个大写字母表示角时，顶点字母必须写在中间；②若某个顶点处只有1个角，才能用单个顶点字母表示该角，否则会产生歧义；③角还可以用数字或希腊字母来简化表示。接下来我们依据上述规则逐一分析每个选项即可。
【解析】
我们逐个判断选项：
A选项：∠DAO和∠DAC的顶点都是点A，两条边分别为射线AD、射线AO（射线AO与射线AC为同一条射线），因此二者是同一个角，∠DAO可以用∠DAC表示，该选项表述正确，不符合题意。
B选项：顶点O处存在∠AOC、∠COB、∠AOB多个角，若用∠O表示无法明确指代哪个角，因此∠COB不能用∠O表示，该选项表述错误，符合题意。
C选项：∠2的顶点是点B，两条边为射线BO、射线BC，和∠OBC是同一个角，因此∠2可以用∠OBC表示，该选项表述正确，不符合题意。
D选项：∠CDB就是图中标注为∠1的角，因此∠CDB可以用∠1表示，该选项表述正确，不符合题意。
综上，说法错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
角的表示方法
【点评】
本题考查角的表示规则的应用，易错点是忽略“只有顶点处仅存在一个角时才能用单个顶点字母表示角”的要求，做题时要先观察顶点处角的数量，再判断表示方式是否合理。
【难度系数】
0.8
要判断各选项角的表示是否正确，首先需明确角的表示规则：①用三个大写字母表示角时，顶点字母必须写在中间；②若某个顶点处只有1个角，才能用单个顶点字母表示该角，否则会产生歧义；③角还可以用数字或希腊字母来简化表示。接下来我们依据上述规则逐一分析每个选项即可。
【解析】
我们逐个判断选项：
A选项：∠DAO和∠DAC的顶点都是点A，两条边分别为射线AD、射线AO（射线AO与射线AC为同一条射线），因此二者是同一个角，∠DAO可以用∠DAC表示，该选项表述正确，不符合题意。
B选项：顶点O处存在∠AOC、∠COB、∠AOB多个角，若用∠O表示无法明确指代哪个角，因此∠COB不能用∠O表示，该选项表述错误，符合题意。
C选项：∠2的顶点是点B，两条边为射线BO、射线BC，和∠OBC是同一个角，因此∠2可以用∠OBC表示，该选项表述正确，不符合题意。
D选项：∠CDB就是图中标注为∠1的角，因此∠CDB可以用∠1表示，该选项表述正确，不符合题意。
综上，说法错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
角的表示方法
【点评】
本题考查角的表示规则的应用，易错点是忽略“只有顶点处仅存在一个角时才能用单个顶点字母表示角”的要求，做题时要先观察顶点处角的数量，再判断表示方式是否合理。
【难度系数】
0.8
11.已知$∠α=30°18'$，$∠β=30.18°$，$∠\gamma=30.3°$，则相等的两个角是(
A.$∠α$和$∠β$
B.$∠α$和$∠\gamma$
C.$∠β$和$∠\gamma$
D.无法确定
B
)A.$∠α$和$∠β$
B.$∠α$和$∠\gamma$
C.$∠β$和$∠\gamma$
D.无法确定
答案
11.B
解析
【分析】
要判断哪两个角相等，首先需要统一三个角的单位，由于三个角的呈现形式既有度分组合形式，也有小数形式的度，我们可以利用度和分的60进制换算规则（$1°=60'$），将所有角换算为统一的单位后再比较数值大小，即可找到相等的角。
【解析】
解：根据度分的换算规则$1°=60'$，先将$∠α$换算为以度为单位的形式：
$18'=18÷60=0.3°$，因此$∠α=30°+0.3°=30.3°$。
已知$∠β=30.18°$，$∠\gamma=30.3°$，对比三个角的数值可得$∠α=∠\gamma$。
【答案】
B
【知识点】
度分秒换算，角的大小比较
【点评】
本题属于基础题型，核心考查度分的单位换算规则，解题时需注意度和分之间是60进制，不要误按10进制计算，熟练掌握换算规则即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要判断哪两个角相等，首先需要统一三个角的单位，由于三个角的呈现形式既有度分组合形式，也有小数形式的度，我们可以利用度和分的60进制换算规则（$1°=60'$），将所有角换算为统一的单位后再比较数值大小，即可找到相等的角。
【解析】
解：根据度分的换算规则$1°=60'$，先将$∠α$换算为以度为单位的形式：
$18'=18÷60=0.3°$，因此$∠α=30°+0.3°=30.3°$。
已知$∠β=30.18°$，$∠\gamma=30.3°$，对比三个角的数值可得$∠α=∠\gamma$。
【答案】
B
【知识点】
度分秒换算，角的大小比较
【点评】
本题属于基础题型，核心考查度分的单位换算规则，解题时需注意度和分之间是60进制，不要误按10进制计算，熟练掌握换算规则即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
12. 新考法 如图,海面上有一座灯塔,测得海岛A在灯塔的北偏东$30°$方向上,同时测得海岛B在灯塔的北偏东$80°$方向上,则灯塔的位置是 (
A. 点$O_1$
B. 点$O_2$
C. 点$O_3$
D. 点$O_4$
(3)在凌晨2时至凌晨3时,从凌晨2时开始,经过多少分钟,时针与分针成$30°$角?
思维支架
A
)A. 点$O_1$
B. 点$O_2$
C. 点$O_3$
D. 点$O_4$
(3)在凌晨2时至凌晨3时,从凌晨2时开始,经过多少分钟,时针与分针成$30°$角?
思维支架
答案
12.A
解析
【分析】
要确定灯塔的位置，需结合方位角的定义分析：“北偏东n°”指以观测点（本题中为灯塔）的正北方向为始边，向东旋转n°后得到的射线方向。本题要求观测点同时满足：①从该点观测海岛A为北偏东30°方向；②观测海岛B为北偏东80°方向，即A更靠近观测点的正北方向、B更偏东。接下来逐一验证四个选项的点是否符合要求即可。
【解析】
根据方位角的定义，分别以四个选项的点为观测点验证：
若灯塔为点O₁：以O₁为原点，正北方向为始边，向东转30°的射线恰好经过A，向东转80°的射线恰好经过B，完全符合题意；
若灯塔为O₂、O₃、O₄：均无法同时满足观测A为北偏东30°、观测B为北偏东80°的要求，不符合题意。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
方位角的识别、方向角的应用
【点评】
本题结合实际航海情境考查方位角的理解与应用，解题的核心是明确观测点，准确把握“北偏东”类方位角的含义，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
要确定灯塔的位置，需结合方位角的定义分析：“北偏东n°”指以观测点（本题中为灯塔）的正北方向为始边，向东旋转n°后得到的射线方向。本题要求观测点同时满足：①从该点观测海岛A为北偏东30°方向；②观测海岛B为北偏东80°方向，即A更靠近观测点的正北方向、B更偏东。接下来逐一验证四个选项的点是否符合要求即可。
【解析】
根据方位角的定义，分别以四个选项的点为观测点验证：
若灯塔为点O₁：以O₁为原点，正北方向为始边，向东转30°的射线恰好经过A，向东转80°的射线恰好经过B，完全符合题意；
若灯塔为O₂、O₃、O₄：均无法同时满足观测A为北偏东30°、观测B为北偏东80°的要求，不符合题意。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
方位角的识别、方向角的应用
【点评】
本题结合实际航海情境考查方位角的理解与应用，解题的核心是明确观测点，准确把握“北偏东”类方位角的含义，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
13.把一个平角7等分,每一份是
25°43'
的角.(精确到分)答案
13.25°43'
解析
【分析】
解题时首先回忆平角的度数为180°，将平角7等分就是求180°除以7的商，且结果要求精确到分。思考步骤为：第一步先做除法运算得到商的整数度部分，第二步把剩余不足1度的部分按照1°=60'的进率换算为分，第三步对分的计算结果四舍五入取整，合并后就是最终结果。
【解析】
解：已知平角的度数为180°，将其7等分，每一份的角度为：
$180°÷7$
首先计算整数度部分：$180÷7=25$（度）……$5$（度），即得到$25°$，剩余$5°$需换算为分再计算。
根据度分秒换算规则，$1°=60'$，因此$5°=5×60'=300'$。
再计算分的部分：$300'÷7≈43'$（四舍五入保留整数）。
合并可得每一份的角度为$25°43'$。
【答案】
$25°43'$
【知识点】
平角的定义；度分秒的换算；角度除法运算
【点评】
本题是角度运算的基础题型，主要考查平角度数的识记和度分秒六十进制的换算方法，计算时需注意精确度要求，切勿将度分秒按十进制换算导致出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平角的度数为180°，将平角7等分就是求180°除以7的商，且结果要求精确到分。思考步骤为：第一步先做除法运算得到商的整数度部分，第二步把剩余不足1度的部分按照1°=60'的进率换算为分，第三步对分的计算结果四舍五入取整，合并后就是最终结果。
【解析】
解：已知平角的度数为180°，将其7等分，每一份的角度为：
$180°÷7$
首先计算整数度部分：$180÷7=25$（度）……$5$（度），即得到$25°$，剩余$5°$需换算为分再计算。
根据度分秒换算规则，$1°=60'$，因此$5°=5×60'=300'$。
再计算分的部分：$300'÷7≈43'$（四舍五入保留整数）。
合并可得每一份的角度为$25°43'$。
【答案】
$25°43'$
【知识点】
平角的定义；度分秒的换算；角度除法运算
【点评】
本题是角度运算的基础题型，主要考查平角度数的识记和度分秒六十进制的换算方法，计算时需注意精确度要求，切勿将度分秒按十进制换算导致出错。
【难度系数】
0.7
14. 新情境 妈妈逛早市时准备购买一些新鲜草莓，她将一盆草莓放到秤上称重，刻度盘上的指针转了$45°$并指向$2.5\ \mathrm{kg}$处.如果指针转了$21°36'$，则此时秤上的草莓质量为
1.2
$\mathrm{kg}.$(盆的质量忽略不计)答案
14.1.2
解析
【分析】
首先明确秤的指针转动角度和所称物体的质量成正比例关系，即质量越大，指针转动角度越大，且二者比值固定。解题时先统一角度单位，将分换算为度，再根据正比例关系列比例式计算即可得到对应的草莓质量。
【解析】
先进行角度单位换算：
∵ $1°=60'$，
∴ $36'=36÷60=0.6°$，则 $21°36'=21.6°$。
设此时秤上的草莓质量为$x\ \mathrm{kg}$，由于指针转动角度与草莓质量成正比，可列比例式：
$\frac{x}{21.6°}=\frac{2.5\ \mathrm{kg}}{45°}$
解得：$x=\frac{2.5×21.6}{45}=1.2\ \mathrm{kg}$
【答案】
1.2
【知识点】
正比例应用、度分秒换算
【点评】
本题结合生活称重场景命题，既考查了角度单位换算的基础能力，也考查了利用正比例关系解决实际问题的能力，解题时注意角度单位换算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
首先明确秤的指针转动角度和所称物体的质量成正比例关系，即质量越大，指针转动角度越大，且二者比值固定。解题时先统一角度单位，将分换算为度，再根据正比例关系列比例式计算即可得到对应的草莓质量。
【解析】
先进行角度单位换算：
∵ $1°=60'$，
∴ $36'=36÷60=0.6°$，则 $21°36'=21.6°$。
设此时秤上的草莓质量为$x\ \mathrm{kg}$，由于指针转动角度与草莓质量成正比，可列比例式：
$\frac{x}{21.6°}=\frac{2.5\ \mathrm{kg}}{45°}$
解得：$x=\frac{2.5×21.6}{45}=1.2\ \mathrm{kg}$
【答案】
1.2
【知识点】
正比例应用、度分秒换算
【点评】
本题结合生活称重场景命题，既考查了角度单位换算的基础能力，也考查了利用正比例关系解决实际问题的能力，解题时注意角度单位换算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
15.如图,在一个圆形时钟的表面上,OA表示时针,OB表示分针(O为两针的转动中心),凌晨3时,OA与OB成直角.
(1)分针每分钟转过的角度是
(2)上午9:30,时针与分针所成的角度是
(1)分针每分钟转过的角度是
6°
,时针每分钟转过的角度是0.5°
.(2)上午9:30,时针与分针所成的角度是
105°
.答案
15.解：(1)6°;0.5° (2)105°
(3)设在凌晨2时至凌晨3时,从凌晨2时开始,经过x min,时针与分针成30°角.
①当分针在时针上方时,
由题意得$2×\frac{360}{12}-6x+0.5x=30$,解得$x=\frac{60}{11}$;
②当分针在时针下方时,
由题意得$6x-2×\frac{360}{12}-0.5x=30$,解得$x=\frac{180}{11}$.
答：在凌晨2时至凌晨3时,从凌晨2时开始,经过$\frac{60}{11}$min或$\frac{180}{11}$min,时针与分针成30°角.
(3)设在凌晨2时至凌晨3时,从凌晨2时开始,经过x min,时针与分针成30°角.
①当分针在时针上方时,
由题意得$2×\frac{360}{12}-6x+0.5x=30$,解得$x=\frac{60}{11}$;
②当分针在时针下方时,
由题意得$6x-2×\frac{360}{12}-0.5x=30$,解得$x=\frac{180}{11}$.
答：在凌晨2时至凌晨3时,从凌晨2时开始,经过$\frac{60}{11}$min或$\frac{180}{11}$min,时针与分针成30°角.
解析
【分析】
(1) 计算分针和时针每分钟转角的思路：钟面一周为周角360°，分针转完整一圈需要60分钟，时针转完整一圈需要12小时（即720分钟），用总角度除以对应总时长即可得到每分钟的转角。
(2) 计算固定时间两针夹角的思路：先分别算出该时刻分针、时针相对于12点位置的总转角，再求两个角度的差值即为两针夹角。
(3) 求解某时段内两针成固定角度的问题时，需要分类讨论两种情况：分针在时针上方、分针在时针下方，分别根据角度差的等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 分针60分钟转360°，因此每分钟转过的角度为：$360°÷60=6°$；
时针12小时转360°，12小时换算为分钟是$12×60=720$分钟，因此每分钟转过的角度为：$360°÷720=0.5°$。
(2) 上午9:30时：
分针走了30分钟，对应转角为$30×6°=180°$；
时针9小时的转角为$9×\frac{360°}{12}=270°$，30分钟额外转过的角度为$30×0.5°=15°$，总转角为$270°+15°=285°$；
两针夹角为$285°-180°=105°$。
(3) 设从凌晨2时开始，经过$x$分钟时针与分针成30°角。2时整时针的初始转角为$2×\frac{360°}{12}=60°$。
① 当分针在时针上方时，时针总转角 - 分针总转角 = 30°，列方程：
$60 + 0.5x - 6x = 30$
解得$x=\frac{60}{11}$。
② 当分针在时针下方时，分针总转角 - 时针总转角 = 30°，列方程：
$6x - (60 + 0.5x) = 30$
解得$x=\frac{180}{11}$。
【答案】
(1)$6°$；$0.5°$ (2)$105°$ (3)经过$\frac{60}{11}\mathrm{min}$或$\frac{180}{11}\mathrm{min}$时针与分针成30°角
【知识点】
时钟角度计算，一元一次方程应用，分类讨论
【点评】
本题结合生活中的时钟场景考查角的相关计算，解题核心是牢记时针、分针的每分钟转动角度，涉及动态夹角问题时要注意分类讨论两种位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 计算分针和时针每分钟转角的思路：钟面一周为周角360°，分针转完整一圈需要60分钟，时针转完整一圈需要12小时（即720分钟），用总角度除以对应总时长即可得到每分钟的转角。
(2) 计算固定时间两针夹角的思路：先分别算出该时刻分针、时针相对于12点位置的总转角，再求两个角度的差值即为两针夹角。
(3) 求解某时段内两针成固定角度的问题时，需要分类讨论两种情况：分针在时针上方、分针在时针下方，分别根据角度差的等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 分针60分钟转360°，因此每分钟转过的角度为：$360°÷60=6°$；
时针12小时转360°，12小时换算为分钟是$12×60=720$分钟，因此每分钟转过的角度为：$360°÷720=0.5°$。
(2) 上午9:30时：
分针走了30分钟，对应转角为$30×6°=180°$；
时针9小时的转角为$9×\frac{360°}{12}=270°$，30分钟额外转过的角度为$30×0.5°=15°$，总转角为$270°+15°=285°$；
两针夹角为$285°-180°=105°$。
(3) 设从凌晨2时开始，经过$x$分钟时针与分针成30°角。2时整时针的初始转角为$2×\frac{360°}{12}=60°$。
① 当分针在时针上方时，时针总转角 - 分针总转角 = 30°，列方程：
$60 + 0.5x - 6x = 30$
解得$x=\frac{60}{11}$。
② 当分针在时针下方时，分针总转角 - 时针总转角 = 30°，列方程：
$6x - (60 + 0.5x) = 30$
解得$x=\frac{180}{11}$。
【答案】
(1)$6°$；$0.5°$ (2)$105°$ (3)经过$\frac{60}{11}\mathrm{min}$或$\frac{180}{11}\mathrm{min}$时针与分针成30°角
【知识点】
时钟角度计算，一元一次方程应用，分类讨论
【点评】
本题结合生活中的时钟场景考查角的相关计算，解题核心是牢记时针、分针的每分钟转动角度，涉及动态夹角问题时要注意分类讨论两种位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
16. 推理能力 如图，在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得
3
个锐角；画2条不同的射线，可得6
个锐角；画3条不同的射线，可得10
个锐角……照此规律，画n条不同的射线，可得$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
个锐角.答案
16.3;6;10;$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
解析
【分析】
数锐角的本质是从所有射线中任选两条不同的射线组合（因为在锐角∠AOB内部画射线，所有组合出的角均为锐角），解题思路如下：第一步，先明确∠AOB本身有OA、OB共2条射线，每多画1条射线，总射线数就增加1；第二步，用固定起始边的方法有序数角，避免重复遗漏：从最外侧的射线开始，依次和它后方的每一条射线组成角，累加个数即可；第三步，从画1条、2条、3条射线的特殊结果中，归纳推导画n条射线时的通用公式。
【解析】
∠AOB本身包含OA、OB2条射线，内部画射线后任意两条射线组成的角都是锐角：
1. 画1条不同射线时，总射线数为$2+1=3$条，角的总个数为$2+1=3$个；
2. 画2条不同射线时，总射线数为$2+2=4$条，角的总个数为$3+2+1=6$个；
3. 画3条不同射线时，总射线数为$2+3=5$条，角的总个数为$4+3+2+1=10$个；
4. 画n条不同射线时，总射线数为$2+n=(n+2)$条，角的总个数为从1到$(n+1)$的连续正整数之和，用首尾相加法计算：
总和$=\frac{(首项+末项)×项数}{2}=\frac{(1+n+1)×(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$。
【答案】
3;6;10;$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
【知识点】
角的计数；规律探究；连续数求和
【点评】
本题是典型的图形规律类题型，核心考查有序计数的能力，解题时可类比数线段的计数逻辑，从特殊情况入手推导一般规律，是角的概念章节的常考题型。
【难度系数】
0.6
数锐角的本质是从所有射线中任选两条不同的射线组合（因为在锐角∠AOB内部画射线，所有组合出的角均为锐角），解题思路如下：第一步，先明确∠AOB本身有OA、OB共2条射线，每多画1条射线，总射线数就增加1；第二步，用固定起始边的方法有序数角，避免重复遗漏：从最外侧的射线开始，依次和它后方的每一条射线组成角，累加个数即可；第三步，从画1条、2条、3条射线的特殊结果中，归纳推导画n条射线时的通用公式。
【解析】
∠AOB本身包含OA、OB2条射线，内部画射线后任意两条射线组成的角都是锐角：
1. 画1条不同射线时，总射线数为$2+1=3$条，角的总个数为$2+1=3$个；
2. 画2条不同射线时，总射线数为$2+2=4$条，角的总个数为$3+2+1=6$个；
3. 画3条不同射线时，总射线数为$2+3=5$条，角的总个数为$4+3+2+1=10$个；
4. 画n条不同射线时，总射线数为$2+n=(n+2)$条，角的总个数为从1到$(n+1)$的连续正整数之和，用首尾相加法计算：
总和$=\frac{(首项+末项)×项数}{2}=\frac{(1+n+1)×(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$。
【答案】
3;6;10;$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
【知识点】
角的计数；规律探究；连续数求和
【点评】
本题是典型的图形规律类题型，核心考查有序计数的能力，解题时可类比数线段的计数逻辑，从特殊情况入手推导一般规律，是角的概念章节的常考题型。
【难度系数】
0.6
