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11. 3D打印技术越来越普及，钛合金、ABS塑料等材料都可用于3D打印。已知钛合金的密度为$4.5×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$，ABS塑料的密度为$1.1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$。小海用钛合金打印的飞机模型质量为450 g。若用ABS塑料来打印该飞机模型，需要塑料（
A.225 g
B.110 g
C.150 g
D.220 g
B
）A.225 g
B.110 g
C.150 g
D.220 g
答案
11. B
解析
【分析】
要解决这道题，需明确：同一个飞机模型的体积是固定不变的，因此钛合金模型的体积等于ABS塑料模型的体积。解题思路为：①先根据钛合金的质量和密度，利用密度公式算出模型的体积；②再用该体积乘以ABS塑料的密度，即可得到所需ABS塑料的质量。
【解析】
首先统一单位：钛合金的密度$\rho_{钛}=4.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=4.5\ \mathrm{g/cm}^3$，钛合金模型质量$m_{钛}=450\ \mathrm{g}$。
根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得模型体积：
$V=\frac{m_{钛}}{\rho_{钛}}=\frac{450\ \mathrm{g}}{4.5\ \mathrm{g/cm}^3}=100\ \mathrm{cm}^3$。
由于模型体积不变，ABS塑料的体积$V_{塑}=V=100\ \mathrm{cm}^3$，ABS塑料的密度$\rho_{塑}=1.1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=1.1\ \mathrm{g/cm}^3$，则所需ABS塑料的质量：
$m_{塑}=\rho_{塑}V_{塑}=1.1\ \mathrm{g/cm}^3×100\ \mathrm{cm}^3=110\ \mathrm{g}$。
【答案】
B
【知识点】
密度公式应用、质量体积密度关系
【点评】
本题考查密度公式的实际应用，核心是抓住“同一模型体积不变”的隐含条件，计算时需注意单位的统一，属于基础密度计算题，难度较低。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需明确：同一个飞机模型的体积是固定不变的，因此钛合金模型的体积等于ABS塑料模型的体积。解题思路为：①先根据钛合金的质量和密度，利用密度公式算出模型的体积；②再用该体积乘以ABS塑料的密度，即可得到所需ABS塑料的质量。
【解析】
首先统一单位：钛合金的密度$\rho_{钛}=4.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=4.5\ \mathrm{g/cm}^3$，钛合金模型质量$m_{钛}=450\ \mathrm{g}$。
根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得模型体积：
$V=\frac{m_{钛}}{\rho_{钛}}=\frac{450\ \mathrm{g}}{4.5\ \mathrm{g/cm}^3}=100\ \mathrm{cm}^3$。
由于模型体积不变，ABS塑料的体积$V_{塑}=V=100\ \mathrm{cm}^3$，ABS塑料的密度$\rho_{塑}=1.1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=1.1\ \mathrm{g/cm}^3$，则所需ABS塑料的质量：
$m_{塑}=\rho_{塑}V_{塑}=1.1\ \mathrm{g/cm}^3×100\ \mathrm{cm}^3=110\ \mathrm{g}$。
【答案】
B
【知识点】
密度公式应用、质量体积密度关系
【点评】
本题考查密度公式的实际应用，核心是抓住“同一模型体积不变”的隐含条件，计算时需注意单位的统一，属于基础密度计算题，难度较低。
【难度系数】
0.6
12.[2025·合肥蜀山区期末]体质指数BMI是衡量人体胖瘦程度的一个指标，它是把人体看成一个圆柱体模型，圆柱体横截面积和高分别用字母S和h表示。可以用$\frac{S}{h}$的大小，直观地反映体型状况，如图所示。若人体的密度为$\rho$，结合密度公式和圆柱体体积计算公式，将质量$m$(kg)、身高$h$(m)按照下列方式计算适合反映体质指数的是（
A.$m\rho h$
B.$m\rho h^2$
C.$\frac{m}{\rho h}$
D.$\frac{m}{\rho h^2}$
D
）A.$m\rho h$
B.$m\rho h^2$
C.$\frac{m}{\rho h}$
D.$\frac{m}{\rho h^2}$
答案
12. D
解析
【分析】要解决本题，需结合密度公式和圆柱体体积公式，将反映体质指数的量$\frac{S}{h}$用质量$m$、身高$h$、密度$\rho$表示出来。先通过密度公式得到人体体积，再结合圆柱体积公式推导出横截面积$S$的表达式，最后计算$\frac{S}{h}$即可得到结果。
【解析】
1. 根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得人体体积：$V=\frac{m}{\rho}$；
2. 人体视为圆柱体，体积公式为$V=S· h$（$S$为横截面积，$h$为身高），将$V=\frac{m}{\rho}$代入得：$\frac{m}{\rho}=S· h$，解得横截面积$S=\frac{m}{\rho h}$；
3. 题目中反映体质指数的量为$\frac{S}{h}$，将$S=\frac{m}{\rho h}$代入得：$\frac{S}{h}=\frac{\frac{m}{\rho h}}{h}=\frac{m}{\rho h^2}$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】密度公式应用、圆柱体体积计算
【点评】本题将人体模型化为圆柱体，结合两个核心公式推导体质指数的表达式，关键是建立体积与质量、横截面积、身高的关系，属于公式应用类基础题，需准确掌握相关公式。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得人体体积：$V=\frac{m}{\rho}$；
2. 人体视为圆柱体，体积公式为$V=S· h$（$S$为横截面积，$h$为身高），将$V=\frac{m}{\rho}$代入得：$\frac{m}{\rho}=S· h$，解得横截面积$S=\frac{m}{\rho h}$；
3. 题目中反映体质指数的量为$\frac{S}{h}$，将$S=\frac{m}{\rho h}$代入得：$\frac{S}{h}=\frac{\frac{m}{\rho h}}{h}=\frac{m}{\rho h^2}$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】密度公式应用、圆柱体体积计算
【点评】本题将人体模型化为圆柱体，结合两个核心公式推导体质指数的表达式，关键是建立体积与质量、横截面积、身高的关系，属于公式应用类基础题，需准确掌握相关公式。
【难度系数】0.5
13. 在练习天平使用时，小王从家带来体积相等的实心玻璃球甲和橡皮球乙，将天平放在水平位置调平衡后，按照如图所示方式放在天平的左右盘内，天平恰好平衡，则甲、乙两球的密度之比为（
A.$3:2$
B.$4:3$
C.$2:3$
D.$1:2$
A
）A.$3:2$
B.$4:3$
C.$2:3$
D.$1:2$
答案
13. A
解析
【分析】
要解决本题，需先利用天平平衡的条件得出甲、乙两球的质量关系，再结合两球体积相等的条件，根据密度公式计算密度之比。具体步骤：1. 根据天平平衡，左右盘总质量相等，列出质量等式；2. 整理等式得到甲、乙的质量比；3. 利用密度公式，结合体积相等的条件，推导密度之比。
【解析】
天平平衡时，左右两盘物体总质量相等，因此：
$m_甲 + 3m_乙 = 3m_甲$
移项整理得：$3m_乙 = 2m_甲$，即$\frac{m_甲}{m_乙} = \frac{3}{2}$。
已知甲、乙两球体积相等（$V_甲=V_乙$），根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，则：
$\frac{\rho_甲}{\rho_乙} = \frac{\frac{m_甲}{V_甲}}{\frac{m_乙}{V_乙}} = \frac{m_甲}{m_乙} = \frac{3}{2}$，故甲、乙两球的密度之比为$3:2$。
【答案】
A
【知识点】
密度公式应用、天平平衡条件
【点评】
本题结合天平平衡与密度公式考查密度计算，核心是通过天平平衡建立质量关系，再利用体积相等推导密度比，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先利用天平平衡的条件得出甲、乙两球的质量关系，再结合两球体积相等的条件，根据密度公式计算密度之比。具体步骤：1. 根据天平平衡，左右盘总质量相等，列出质量等式；2. 整理等式得到甲、乙的质量比；3. 利用密度公式，结合体积相等的条件，推导密度之比。
【解析】
天平平衡时，左右两盘物体总质量相等，因此：
$m_甲 + 3m_乙 = 3m_甲$
移项整理得：$3m_乙 = 2m_甲$，即$\frac{m_甲}{m_乙} = \frac{3}{2}$。
已知甲、乙两球体积相等（$V_甲=V_乙$），根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，则：
$\frac{\rho_甲}{\rho_乙} = \frac{\frac{m_甲}{V_甲}}{\frac{m_乙}{V_乙}} = \frac{m_甲}{m_乙} = \frac{3}{2}$，故甲、乙两球的密度之比为$3:2$。
【答案】
A
【知识点】
密度公式应用、天平平衡条件
【点评】
本题结合天平平衡与密度公式考查密度计算，核心是通过天平平衡建立质量关系，再利用体积相等推导密度比，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.5
14. [物理学与工程实践]用密度为 $2.7× 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$ 的铝制成甲、乙、丙三个大小不同的正方体，要求它们的棱长分别是0.1 m、0.2 m和0.3 m，制成后质检员称出它们的质量分别是3 kg、21.6 kg和54 kg。质检员指出，有两个不合格，其中一个掺入了杂质(次品)，另一个混入了空气泡(废品)，则这三个正方体 （
A.甲为废品，乙为合格品，丙为次品
B.甲为合格品，乙为废品，丙为次品
C.甲为次品，乙为合格品，丙为废品
D.甲为废品，乙为次品，丙为合格品
C
）A.甲为废品，乙为合格品，丙为次品
B.甲为合格品，乙为废品，丙为次品
C.甲为次品，乙为合格品，丙为废品
D.甲为废品，乙为次品，丙为合格品
答案
14. C
解析
【分析】要判断三个正方体的类型，需利用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$计算各自的实际密度，与纯铝的密度（$2.7×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$）对比：合格品密度等于纯铝密度；掺入杂质的次品密度大于纯铝密度；混入空气泡的废品密度小于纯铝密度。先分别计算三个正方体的体积，再求实际密度，最后根据密度差异判断类型。
【解析】
1. 计算各正方体体积：
正方体体积公式为$V=a^3$（$a$为棱长）：
甲的体积：$V_甲=(0.1\ \mathrm{m})^3=0.001\ \mathrm{m}^3$
乙的体积：$V_乙=(0.2\ \mathrm{m})^3=0.008\ \mathrm{m}^3$
丙的体积：$V_丙=(0.3\ \mathrm{m})^3=0.027\ \mathrm{m}^3$
2. 计算各正方体实际密度：
根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$：
甲的密度：$\rho_甲=\frac{m_甲}{V_甲}=\frac{3\ \mathrm{kg}}{0.001\ \mathrm{m}^3}=3×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
乙的密度：$\rho_乙=\frac{m_乙}{V_乙}=\frac{21.6\ \mathrm{kg}}{0.008\ \mathrm{m}^3}=2.7×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
丙的密度：$\rho_丙=\frac{m_丙}{V_丙}=\frac{54\ \mathrm{kg}}{0.027\ \mathrm{m}^3}=2×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
3. 判断类型：
纯铝密度为$2.7×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，$\rho_乙$等于该值，故乙为合格品；$\rho_甲$大于该值，说明掺入杂质，是次品；$\rho_丙$小于该值，说明混入空气泡，是废品。因此甲为次品，乙为合格品，丙为废品，对应选项C。
【答案】C
【知识点】密度公式应用、物质的密度特性
【点评】本题通过计算密度判断物体是否合格，核心是利用正方体体积公式和密度公式，结合不同缺陷物体的密度特点分析，属于密度知识的实际应用，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 计算各正方体体积：
正方体体积公式为$V=a^3$（$a$为棱长）：
甲的体积：$V_甲=(0.1\ \mathrm{m})^3=0.001\ \mathrm{m}^3$
乙的体积：$V_乙=(0.2\ \mathrm{m})^3=0.008\ \mathrm{m}^3$
丙的体积：$V_丙=(0.3\ \mathrm{m})^3=0.027\ \mathrm{m}^3$
2. 计算各正方体实际密度：
根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$：
甲的密度：$\rho_甲=\frac{m_甲}{V_甲}=\frac{3\ \mathrm{kg}}{0.001\ \mathrm{m}^3}=3×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
乙的密度：$\rho_乙=\frac{m_乙}{V_乙}=\frac{21.6\ \mathrm{kg}}{0.008\ \mathrm{m}^3}=2.7×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
丙的密度：$\rho_丙=\frac{m_丙}{V_丙}=\frac{54\ \mathrm{kg}}{0.027\ \mathrm{m}^3}=2×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
3. 判断类型：
纯铝密度为$2.7×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，$\rho_乙$等于该值，故乙为合格品；$\rho_甲$大于该值，说明掺入杂质，是次品；$\rho_丙$小于该值，说明混入空气泡，是废品。因此甲为次品，乙为合格品，丙为废品，对应选项C。
【答案】C
【知识点】密度公式应用、物质的密度特性
【点评】本题通过计算密度判断物体是否合格，核心是利用正方体体积公式和密度公式，结合不同缺陷物体的密度特点分析，属于密度知识的实际应用，难度适中。
【难度系数】0.6
15. 某质量为 232 g 的铜铝合金块(铝的密度为$2.7×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$,铜的密度为$8.9×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$),其中含铝 54 g,求该合金块的密度。
答案
15. $5.8\ \mathrm{g/cm}^3$
解析
【分析】要计算铜铝合金的密度，需依据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，因此需先确定合金的总质量和总体积。已知总质量为232g，关键是求出总体积：总体积等于铝的体积与铜的体积之和，需分别计算铝和铜的体积，再代入公式求解。
【解析】先统一密度单位（$1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=1\ \mathrm{g/cm}^3$），则铝的密度$\rho_{\mathrm{铝}}=2.7\ \mathrm{g/cm}^3$，铜的密度$\rho_{\mathrm{铜}}=8.9\ \mathrm{g/cm}^3$。
1. 计算铝的体积：$V_{\mathrm{铝}}=\frac{m_{\mathrm{铝}}}{\rho_{\mathrm{铝}}}=\frac{54\ \mathrm{g}}{2.7\ \mathrm{g/cm}^3}=20\ \mathrm{cm}^3$；
2. 计算铜的质量：$m_{\mathrm{铜}}=m_{\mathrm{总}}-m_{\mathrm{铝}}=232\ \mathrm{g}-54\ \mathrm{g}=178\ \mathrm{g}$；
3. 计算铜的体积：$V_{\mathrm{铜}}=\frac{m_{\mathrm{铜}}}{\rho_{\mathrm{铜}}}=\frac{178\ \mathrm{g}}{8.9\ \mathrm{g/cm}^3}=20\ \mathrm{cm}^3$；
4. 合金总体积：$V_{\mathrm{总}}=V_{\mathrm{铝}}+V_{\mathrm{铜}}=20\ \mathrm{cm}^3+20\ \mathrm{cm}^3=40\ \mathrm{cm}^3$；
5. 合金密度：$\rho=\frac{m_{\mathrm{总}}}{V_{\mathrm{总}}}=\frac{232\ \mathrm{g}}{40\ \mathrm{cm}^3}=5.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
【答案】$5.8\ \mathrm{g/cm}^3$
【知识点】密度的计算、合金密度
【点评】本题考查密度公式的应用，核心是明确合金总质量为各金属质量之和、总体积为各金属体积之和，难度适中，掌握密度公式即可解答。
【难度系数】0.7
【解析】先统一密度单位（$1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=1\ \mathrm{g/cm}^3$），则铝的密度$\rho_{\mathrm{铝}}=2.7\ \mathrm{g/cm}^3$，铜的密度$\rho_{\mathrm{铜}}=8.9\ \mathrm{g/cm}^3$。
1. 计算铝的体积：$V_{\mathrm{铝}}=\frac{m_{\mathrm{铝}}}{\rho_{\mathrm{铝}}}=\frac{54\ \mathrm{g}}{2.7\ \mathrm{g/cm}^3}=20\ \mathrm{cm}^3$；
2. 计算铜的质量：$m_{\mathrm{铜}}=m_{\mathrm{总}}-m_{\mathrm{铝}}=232\ \mathrm{g}-54\ \mathrm{g}=178\ \mathrm{g}$；
3. 计算铜的体积：$V_{\mathrm{铜}}=\frac{m_{\mathrm{铜}}}{\rho_{\mathrm{铜}}}=\frac{178\ \mathrm{g}}{8.9\ \mathrm{g/cm}^3}=20\ \mathrm{cm}^3$；
4. 合金总体积：$V_{\mathrm{总}}=V_{\mathrm{铝}}+V_{\mathrm{铜}}=20\ \mathrm{cm}^3+20\ \mathrm{cm}^3=40\ \mathrm{cm}^3$；
5. 合金密度：$\rho=\frac{m_{\mathrm{总}}}{V_{\mathrm{总}}}=\frac{232\ \mathrm{g}}{40\ \mathrm{cm}^3}=5.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
【答案】$5.8\ \mathrm{g/cm}^3$
【知识点】密度的计算、合金密度
【点评】本题考查密度公式的应用，核心是明确合金总质量为各金属质量之和、总体积为各金属体积之和，难度适中，掌握密度公式即可解答。
【难度系数】0.7
16.[核心素养·科学思维]甲物质的密度为$5\ \mathrm{g/cm}^3$，乙物质的密度为$2\ \mathrm{g/cm}^3$，各取一定体积混合均匀后密度为$3\ \mathrm{g/cm}^3$，若混合前后总体积保持不变，则所取甲、乙两种物质的体积之比是（
A.$1:2$
B.$2:1$
C.$2:5$
D.$5:2$
A
）A.$1:2$
B.$2:1$
C.$2:5$
D.$5:2$
答案
16. A
解析
【分析】
本题考查混合物质密度的计算，核心思路是利用密度公式，结合混合后总质量等于各物质质量之和、总体积等于各物质体积之和的关系，建立等式求解体积比。首先设甲、乙的体积分别为$V_甲$、$V_乙$，根据密度公式表示出总质量和总体积，再代入混合密度的公式即可推导体积之比。
【解析】
设甲物质的体积为$V_甲$，乙物质的体积为$V_乙$。
根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得甲的质量：$m_甲=\rho_甲V_甲=5\ \mathrm{g/cm}^3 × V_甲$，乙的质量：$m_乙=\rho_乙V_乙=2\ \mathrm{g/cm}^3 × V_乙$。
混合后总质量：$m_总=m_甲+m_乙=5V_甲 + 2V_乙$，总体积：$V_总=V_甲+V_乙$。
已知混合后密度$\rho_混=3\ \mathrm{g/cm}^3$，由$\rho_混=\frac{m_总}{V_总}$得：
$\frac{5V_甲 + 2V_乙}{V_甲 + V_乙}=3$
等式两边同乘$(V_甲+V_乙)$：$5V_甲 + 2V_乙=3V_甲 + 3V_乙$，
移项整理：$2V_甲=V_乙$，即$\frac{V_甲}{V_乙}=\frac{1}{2}$，所以体积之比为$1:2$。
【答案】
A
【知识点】
密度公式应用、混合物质密度计算
【点评】
本题属于密度公式的基础应用题型，关键在于明确混合后总质量与总体积的组成关系，代入公式即可快速求解，难度较低，适合巩固密度知识点的基础练习。
【难度系数】
0.6
本题考查混合物质密度的计算，核心思路是利用密度公式，结合混合后总质量等于各物质质量之和、总体积等于各物质体积之和的关系，建立等式求解体积比。首先设甲、乙的体积分别为$V_甲$、$V_乙$，根据密度公式表示出总质量和总体积，再代入混合密度的公式即可推导体积之比。
【解析】
设甲物质的体积为$V_甲$，乙物质的体积为$V_乙$。
根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得甲的质量：$m_甲=\rho_甲V_甲=5\ \mathrm{g/cm}^3 × V_甲$，乙的质量：$m_乙=\rho_乙V_乙=2\ \mathrm{g/cm}^3 × V_乙$。
混合后总质量：$m_总=m_甲+m_乙=5V_甲 + 2V_乙$，总体积：$V_总=V_甲+V_乙$。
已知混合后密度$\rho_混=3\ \mathrm{g/cm}^3$，由$\rho_混=\frac{m_总}{V_总}$得：
$\frac{5V_甲 + 2V_乙}{V_甲 + V_乙}=3$
等式两边同乘$(V_甲+V_乙)$：$5V_甲 + 2V_乙=3V_甲 + 3V_乙$，
移项整理：$2V_甲=V_乙$，即$\frac{V_甲}{V_乙}=\frac{1}{2}$，所以体积之比为$1:2$。
【答案】
A
【知识点】
密度公式应用、混合物质密度计算
【点评】
本题属于密度公式的基础应用题型，关键在于明确混合后总质量与总体积的组成关系，代入公式即可快速求解，难度较低，适合巩固密度知识点的基础练习。
【难度系数】
0.6
