一般地，当$a＞0$(或$a＜0$)时，抛物线$y=ax^2+bx+c$的顶点是最低(或最高)点，即当$x=$时，二次函数$y=ax^2+bx+c$有(或)值，为.

$-\frac{b}{2a}$；最小；最大；$\frac{4ac-b^2}{4a}$

【分析】
这道题考查二次函数的最值与顶点的对应关系，解题思路如下：首先回忆二次函数的基本性质，一是抛物线$y=ax^2+bx+c$的顶点横、纵坐标的计算公式，二是二次项系数$a$的符号决定抛物线的开口方向：$a＞0$时开口向上，顶点是图像最低点，对应函数的最小值；$a＜0$时开口向下，顶点是图像最高点，对应函数的最大值，结合这两个性质即可直接得出答案。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$：
1. 其顶点的横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$；
2. 当$a＞0$时，抛物线开口向上，顶点为图像的最低点，此时二次函数取得最小值，将$x=-\frac{b}{2a}$代入函数式计算，可得最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$；
3. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点为图像的最高点，此时二次函数取得最大值，最大值同样为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
【答案】
$-\frac{b}{2a}$；最小；最大；$\frac{4ac-b^2}{4a}$
【知识点】
二次函数顶点公式；二次函数最值；二次函数图像性质
【点评】
本题是对二次函数基础性质的直接考查，属于识记类基础题，相关结论是解决二次函数实际最值问题的核心依据，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8

1.在体育训练中,某同学掷出的实心球的飞行高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)满足函数解析式$y=-\frac{1}{6}(x-4)^2 +6$,其函数图象如图所示,则实心球飞行的最大高度为m.

6

【分析】
首先观察给出的函数解析式是二次函数的顶点式，实心球的飞行轨迹是开口向下的抛物线，抛物线的最高点对应实心球的最大飞行高度。而顶点式$y=a(x-h)^2+k$中，顶点坐标为$(h,k)$，开口向下时顶点的纵坐标$k$就是函数的最大值，也就是最大高度，我们只需要找出解析式里的$k$值即可得到答案。
【解析】
已知实心球飞行高度的函数解析式为$y=-\frac{1}{6}(x-4)^2 +6$，属于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$：
1. 其中$a=-\frac{1}{6}＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值；
2. 该抛物线的顶点坐标为$(4,6)$，即当水平距离$x=4m$时，飞行高度$y$取得最大值，最大值为$6m$。
【答案】
6
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数最值计算
【点评】
本题结合实心球飞行的实际场景考查二次函数的最值应用，解题的关键是熟练掌握二次函数顶点式的特征，明确开口向下的抛物线顶点纵坐标就是函数的最大值，属于基础应用题。
【难度系数】
0.9

2.小明在篮球比赛中，某次投篮的运动轨迹可以看成抛物线$y=-\dfrac{1}{9}x^2+\dfrac{8}{9}x+\dfrac{20}{9}$的一部分(如图，水平地面为$x$轴，单位:m)，则篮球到达最高点时离地面的距离是m.

4

【分析】
本题要求篮球到达最高点时离地面的距离，本质是求给定二次函数的最大值。该二次函数的二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点的纵坐标就是函数的最大值，也就是最高点离地面的高度，我们可以通过配方法将函数化为顶点式，或者使用顶点纵坐标公式计算得到结果。
【解析】
方法一（配方法）：
将二次函数$y=-\dfrac{1}{9}x^2+\dfrac{8}{9}x+\dfrac{20}{9}$配方：
$\begin{aligned}y&=-\dfrac{1}{9}(x^2-8x)+\dfrac{20}{9}\\&=-\dfrac{1}{9}(x^2-8x+16-16)+\dfrac{20}{9}\\&=-\dfrac{1}{9}[(x-4)^2-16]+\dfrac{20}{9}\\&=-\dfrac{1}{9}(x-4)^2+\dfrac{16}{9}+\dfrac{20}{9}\\&=-\dfrac{1}{9}(x-4)^2+4\end{aligned}$
因此抛物线的顶点坐标为$(4,4)$，即篮球到达最高点时离地面的距离为4m。
方法二（顶点公式法）：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，顶点的纵坐标为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=-\dfrac{1}{9}$，$b=\dfrac{8}{9}$，$c=\dfrac{20}{9}$，代入公式得：
$\begin{aligned}\dfrac{4ac-b^2}{4a}&=\dfrac{4×(-\dfrac{1}{9})×\dfrac{20}{9}-(\dfrac{8}{9})^2}{4×(-\dfrac{1}{9})}\\&=\dfrac{-\dfrac{80}{81}-\dfrac{64}{81}}{-\dfrac{4}{9}}\\&=4\end{aligned}$
因此篮球到达最高点时离地面的距离为4m。
【答案】
4
【知识点】
二次函数最值计算；二次函数顶点坐标
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的实际应用，解题关键是将实际问题转化为求二次函数顶点纵坐标的问题，熟练掌握配方法或顶点公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8

3.如图,琪琪在练习打网球时发现,网球沿与地面成一定角度的方向飞出,网球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,网球的飞行高度$y$(单位:$m$)与飞行时间$x$(单位:$s$)之间具有函数关系$y=-0.5x^2+2x$,请根据要求解答下列问题:
(1)在飞行过程中,网球从飞出到落地所用时间是多少？

(2)在飞行过程中,网球飞行高度何时最大？最大高度是多少？

(1)4 s.(2)在飞行过程中,网球在第2 s时飞行高度最大，最大高度是2 m.

【分析】
(1)网球落地时飞行高度为0，因此只需将y=0代入给出的二次函数解析式，解一元二次方程得到x的取值，舍去初始时刻x=0的解，剩余的解就是网球从飞出到落地的时间。
(2)求网球的最大飞行高度即求开口向下的二次函数的最大值，可通过配方法或者顶点坐标公式找到抛物线的顶点，顶点的横坐标对应最大高度的飞行时间，纵坐标对应最大高度。
【解析】
(1) 当网球落地时，飞行高度$y=0$，将$y=0$代入函数$y=-0.5x^2+2x$，得：
$-0.5x^2+2x=0$
提取公因式得$x(-0.5x+2)=0$
解得$x_1=0$，$x_2=4$
$x=0$为网球飞出的初始时刻，因此网球从飞出到落地所用时间为$4\ \mathrm{s}$。
(2) 用配方法求解：
对函数解析式变形：
$y=-0.5x^2+2x=-0.5(x^2-4x)=-0.5(x^2-4x+4-4)=-0.5(x-2)^2+2$
$\because a=-0.5＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，函数存在最大值
当$x=2$时，$y$取得最大值，最大值为$2$，即网球在第$2\ \mathrm{s}$时飞行高度最大，最大高度为$2\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $4\ \mathrm{s}$；(2) 第$2\ \mathrm{s}$时飞行高度最大，最大高度是$2\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的图象与性质；解一元二次方程
【点评】
本题结合体育运动场景考查二次函数的实际应用，解题的核心是理解实际问题中特殊状态对应的函数值特征，落地对应y=0，最高高度对应二次函数顶点，掌握二次函数基本性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

4.用一段长为24 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，如图①，若墙长10 m，则这个养鸡场的最大面积为 m².

【变式·转化思想】如图②，某小区计划用总长为20 m的铁栅栏围成一个两边靠墙的矩形车棚ABCD（墙足够长），为了方便存车，在BC(BC＞2 m)边上开了一个2 m宽的门（门不是用铁栅栏做成的），则车棚的最大面积为 m².

70；【变式·转化思想】121

【分析】
首先解决第一题：一边靠墙的矩形面积最值问题，先设垂直于墙的边长为自变量，根据篱笆总长度表示出平行于墙的边长，结合墙长限制求出自变量的取值范围，再列出面积关于自变量的二次函数解析式，结合二次函数的单调性和自变量取值范围求最大值。
再解决变式题：两边靠墙的场景，注意门不需要铁栅栏，先正确推导矩形两条边的长度关系，列出面积的二次函数解析式，利用二次函数顶点性质求最大值，同时验证BC＞2m的限制条件是否满足。
【解析】
原题解答：
设垂直于墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $，则平行于墙的边长为$ (24-2x) \, \mathrm{m} $。
由墙长10m可得限制条件：$ 0 ＜ 24-2x ≤ 10 $，解得$ 7 ≤ x ＜ 12 $。
设养鸡场面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $，则：
$ S = x(24-2x) = -2x^2 +24x $
该二次函数开口向下，对称轴为$ x = \frac{24}{2×2} = 6 $，在$ x ≥ 7 $的区间内$ S $随$ x $增大而减小，因此当$ x=7 $时$ S $取最大值：
$ S_{\mathrm{max}} =7×(24-2×7)=7×10=70 \, \mathrm{m}^2 $
变式题解答：
设$ AB = x \, \mathrm{m} $，因BC边有2m宽的门不需要铁栅栏，因此BC的长度为$ 20+2-x=(22-x) \, \mathrm{m} $。
由$ BC＞2 \, \mathrm{m} $得$ 22-x＞2 $，解得$ x＜20 $，结合边长为正，自变量取值范围为$ 0＜x＜20 $。
设车棚面积为$ S' \, \mathrm{m}^2 $，则：
$ S' = x(22-x) = -x^2 +22x = -(x-11)^2 +121 $
该二次函数开口向下，顶点横坐标$ x=11 $在自变量取值范围内，此时$ BC=22-11=11＞2 $符合条件，因此最大值为$ 121 \, \mathrm{m}^2 $。
【答案】
70；121
【知识点】
二次函数最值应用，矩形面积计算，自变量取值范围确定
【点评】
本题考查二次函数在实际面积最值问题中的应用，解题核心是准确根据题意建立函数关系，尤其要注意实际场景下的边长限制条件，不能直接盲目套用二次函数顶点坐标求最值，变式题需注意门的长度对边长计算的影响。
【难度系数】
0.7

5. 新情境 手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形风筝的两条对角线长度之和为60 cm，菱形风筝的面积$ S $（单位：$\mathrm{cm}^2$）随其中一条对角线的长$ x $（单位：cm）的变化而变化.
(1)请直接写出$ S $与$ x $之间的函数解析式（不要求写出自变量$ x $的取值范围）；
(2)当$ x $是多少时，菱形风筝的面积最大？最大面积是多少？

(1)$S=-\frac{1}{2}x^2+30x$.(2)当$x=30$时，菱形风筝的面积最大，最大面积是$450\ \mathrm{cm}^2$.

【分析】
解决第(1)问时，首先回忆菱形面积公式：菱形面积等于两条对角线乘积的一半。已知两条对角线总长度为60cm，其中一条长为x，那么另一条对角线长就是(60-x)cm，将两个对角线长度代入面积公式，整理即可得到S与x的函数解析式。解决第(2)问时，第(1)问得到的函数是二次函数，且二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处即为函数的最大值点，可通过配方法或者二次函数顶点坐标公式求出对应x的值和最大面积。
【解析】
(1) 已知其中一条对角线长为$x\ \mathrm{cm}$，两条对角线长度之和为60cm，因此另一条对角线长为$(60-x)\ \mathrm{cm}$。
根据菱形面积公式$S=\frac{1}{2}×$对角线1$×$对角线2，代入得：
$S=\frac{1}{2}x(60-x)=-\frac{1}{2}x^2+30x$
(2) 由(1)得函数解析式$S=-\frac{1}{2}x^2+30x$，其中二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此S存在最大值。
根据二次函数顶点坐标公式，对于$y=ax^2+bx+c$，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-\frac{1}{2}$、$b=30$得：
$x=-\frac{30}{2×(-\frac{1}{2})}=30$
将$x=30$代入函数解析式得：
$S=-\frac{1}{2}×30^2+30×30=450$
也可通过配方法推导：
$S=-\frac{1}{2}x^2+30x=-\frac{1}{2}(x^2-60x)=-\frac{1}{2}(x-30)^2+450$，同样可得当$x=30$时，S取最大值450。
【答案】
(1)$S=-\frac{1}{2}x^2+30x$
(2)当$x=30$时，菱形风筝的面积最大，最大面积是$450\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
菱形面积计算；二次函数解析式；二次函数最值应用
【点评】
本题结合手工制作风筝的生活情境，考查了菱形面积公式和二次函数最值的实际应用，解题关键是根据几何关系正确列出函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，属于贴近生活的基础应用题。
【难度系数】
0.7