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6. 新题型 九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8 m长的围栏，准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园.如图，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案，最佳方案是
方案 3
.(填“方案1”“方案2”或“方案3”) 答案
方案3
解析
【分析】要确定最佳方案，需分别计算三种方案下菜园的最大面积，面积最大的即为最优方案。首先结合围栏总长8m（靠墙一侧不需要围栏）的条件，对每个方案分别建立面积表达式：1. 矩形方案设垂直于墙的边长为未知数，用二次函数求最值；2. 等腰三角形方案利用两腰和为8m，结合面积公式求最大值；3. 半圆形方案根据弧长等于围栏长求半径，再计算面积，最后比较三个最大值即可。
【解析】
1. 计算方案1（矩形）的最大面积：
设矩形垂直于墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $，则平行于墙的边长为$ (8-2x) \, \mathrm{m} $（$ 0＜x＜4 $）。
矩形面积：$ S_1 = x(8-2x) = -2x^2 +8x $
该二次函数开口向下，对称轴为$ x = -\frac{b}{2a} = \frac{8}{4} = 2 $
当$ x=2 $时，$ S_1 $取最大值：$ S_{1\mathrm{max}} = -2×2^2 +8×2 = 8 \, \mathrm{m}^2 $
2. 计算方案2（等腰三角形）的最大面积：
等腰三角形底边靠墙，因此围栏长度为两腰长度之和，即两腰总长8m，每条腰长为$ 4 \, \mathrm{m} $。
设等腰三角形顶角为$ α $，根据三角形面积公式$ S=\frac{1}{2}ab\sin C $，得：
$ S_2 = \frac{1}{2}×4×4×\sinα = 8\sinα $
$ \sinα $最大值为1（当$ α=90° $时取得），因此$ S_{2\mathrm{max}}=8 \, \mathrm{m}^2 $
3. 计算方案3（半圆形）的面积：
半圆形直径靠墙，因此围栏长度等于半圆的弧长，设半圆半径为$ r $，则弧长$ π r =8 $，解得$ r=\frac{8}{π} \, \mathrm{m} $。
半圆面积：$ S_3 = \frac{1}{2}π r^2 = \frac{1}{2}π×(\frac{8}{π})^2 = \frac{32}{π}\approx10.19 \, \mathrm{m}^2 $
对比得$ S_3 ＞ S_1 = S_2 $，因此方案3的面积最大。
【答案】
方案3
【知识点】
二次函数的最值，三角形面积计算，圆的弧长与面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查不同平面图形的面积最值求解，需要学生准确对应围栏长度与图形边长、弧长的关系，再结合对应公式计算，能锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.6
【解析】
1. 计算方案1（矩形）的最大面积：
设矩形垂直于墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $，则平行于墙的边长为$ (8-2x) \, \mathrm{m} $（$ 0＜x＜4 $）。
矩形面积：$ S_1 = x(8-2x) = -2x^2 +8x $
该二次函数开口向下，对称轴为$ x = -\frac{b}{2a} = \frac{8}{4} = 2 $
当$ x=2 $时，$ S_1 $取最大值：$ S_{1\mathrm{max}} = -2×2^2 +8×2 = 8 \, \mathrm{m}^2 $
2. 计算方案2（等腰三角形）的最大面积：
等腰三角形底边靠墙，因此围栏长度为两腰长度之和，即两腰总长8m，每条腰长为$ 4 \, \mathrm{m} $。
设等腰三角形顶角为$ α $，根据三角形面积公式$ S=\frac{1}{2}ab\sin C $，得：
$ S_2 = \frac{1}{2}×4×4×\sinα = 8\sinα $
$ \sinα $最大值为1（当$ α=90° $时取得），因此$ S_{2\mathrm{max}}=8 \, \mathrm{m}^2 $
3. 计算方案3（半圆形）的面积：
半圆形直径靠墙，因此围栏长度等于半圆的弧长，设半圆半径为$ r $，则弧长$ π r =8 $，解得$ r=\frac{8}{π} \, \mathrm{m} $。
半圆面积：$ S_3 = \frac{1}{2}π r^2 = \frac{1}{2}π×(\frac{8}{π})^2 = \frac{32}{π}\approx10.19 \, \mathrm{m}^2 $
对比得$ S_3 ＞ S_1 = S_2 $，因此方案3的面积最大。
【答案】
方案3
【知识点】
二次函数的最值，三角形面积计算，圆的弧长与面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查不同平面图形的面积最值求解，需要学生准确对应围栏长度与图形边长、弧长的关系，再结合对应公式计算，能锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.6
7.甲、乙两人进行羽毛球比赛时的一个瞬间如图所示，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在O点正上方1 m的P处发出一球。已知点O与球网的水平距离为5 m，球网的高度为1.55 m，羽毛球沿水平方向运动4 m时，达到距离地面的最大高度$\frac{5}{3}$ m.
(1)求羽毛球飞行的路线对应的函数解析式；
(2)通过计算判断此球能否过网；
(3)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为$\frac{31}{24}$ m的Q处时，乙成功击球，求此时乙与球网的水平距离.
(1)求羽毛球飞行的路线对应的函数解析式；
(2)通过计算判断此球能否过网；
(3)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为$\frac{31}{24}$ m的Q处时，乙成功击球，求此时乙与球网的水平距离.
答案
解：
(1) 由题意可知抛物线的顶点坐标为$(4,\dfrac{5}{3})$，
设羽毛球飞行路线对应的函数解析式为$y=a(x-4)^2+\dfrac{5}{3}$，
将点$P(0,1)$代入解析式：
$1=a·(0-4)^2+\dfrac{5}{3}$，
解得$a=-\dfrac{1}{24}$，
因此所求函数解析式为$y=-\dfrac{1}{24}(x-4)^2+\dfrac{5}{3}\quad (x≥0)$。
(2) 当$x=5$时，代入解析式得：
$y=-\dfrac{1}{24}×(5-4)^2+\dfrac{5}{3}=1.625$，
$\because 1.625＞1.55$，
$\therefore$此球能过网。
(3) 令$y=\dfrac{31}{24}$，代入解析式得：
$-\dfrac{1}{24}(x-4)^2+\dfrac{5}{3}=\dfrac{31}{24}$，
整理得$(x-4)^2=9$，
解得$x_1=7$，$x_2=1$，
由于乙在球过网后击球，此时$x＞5$，故舍去$x=1$，取$x=7$，
乙与球网的水平距离为$7-5=2\ \mathrm{m}$。
答：(1) 羽毛球飞行路线的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{24}(x-4)^2+\dfrac{5}{3}(x≥0)$；(2) 此球能过网；(3) 此时乙与球网的水平距离为$2\ \mathrm{m}$。
(1) 由题意可知抛物线的顶点坐标为$(4,\dfrac{5}{3})$，
设羽毛球飞行路线对应的函数解析式为$y=a(x-4)^2+\dfrac{5}{3}$，
将点$P(0,1)$代入解析式：
$1=a·(0-4)^2+\dfrac{5}{3}$，
解得$a=-\dfrac{1}{24}$，
因此所求函数解析式为$y=-\dfrac{1}{24}(x-4)^2+\dfrac{5}{3}\quad (x≥0)$。
(2) 当$x=5$时，代入解析式得：
$y=-\dfrac{1}{24}×(5-4)^2+\dfrac{5}{3}=1.625$，
$\because 1.625＞1.55$，
$\therefore$此球能过网。
(3) 令$y=\dfrac{31}{24}$，代入解析式得：
$-\dfrac{1}{24}(x-4)^2+\dfrac{5}{3}=\dfrac{31}{24}$，
整理得$(x-4)^2=9$，
解得$x_1=7$，$x_2=1$，
由于乙在球过网后击球，此时$x＞5$，故舍去$x=1$，取$x=7$，
乙与球网的水平距离为$7-5=2\ \mathrm{m}$。
答：(1) 羽毛球飞行路线的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{24}(x-4)^2+\dfrac{5}{3}(x≥0)$；(2) 此球能过网；(3) 此时乙与球网的水平距离为$2\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
(1) 已知羽毛球达到最大高度时对应抛物线的顶点坐标为$(4,\frac{5}{3})$，因此选用二次函数顶点式设解析式，再将已知点$P(0,1)$代入求出参数$a$，即可得到函数解析式，注意自变量取值要符合实际意义。
(2) 判断球能否过网，只需计算球网位置（即$x=5$）对应的羽毛球高度$y$，将其与球网高度1.55m比较大小即可得出结论。
(3) 先将$y=\frac{31}{24}$代入解析式求出对应的横坐标$x$，结合“过网后击球”的条件舍去不符合实际的根，再用所得$x$减去球网对应的横坐标5，即可得到乙与球网的水平距离。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线的顶点坐标为$(4,\dfrac{5}{3})$，设羽毛球飞行路线对应的函数解析式为$y=a(x-4)^2+\dfrac{5}{3}$，
将点$P(0,1)$代入解析式：
$1=a·(0-4)^2+\dfrac{5}{3}$，
解得$a=-\dfrac{1}{24}$，
因此所求函数解析式为$y=-\dfrac{1}{24}(x-4)^2+\dfrac{5}{3}\quad (x≥0)$。
(2) 当$x=5$时，代入解析式得：
$y=-\dfrac{1}{24}×(5-4)^2+\dfrac{5}{3}=1.625$，
$\because 1.625＞1.55$，
$\therefore$此球能过网。
(3) 令$y=\dfrac{31}{24}$，代入解析式得：
$-\dfrac{1}{24}(x-4)^2+\dfrac{5}{3}=\dfrac{31}{24}$，
整理得$(x-4)^2=9$，
解得$x_1=7$，$x_2=1$，
由于乙在球过网后击球，此时$x＞5$，故舍去$x=1$，取$x=7$，
乙与球网的水平距离为$7-5=2\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{24}(x-4)^2+\dfrac{5}{3}(x≥0)$；
(2) 此球能过网；
(3) $2\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用
【点评】
本题以羽毛球比赛为生活背景，考查二次函数的实际应用，解题核心是掌握二次函数顶点式的用法，同时要结合实际场景对计算结果进行合理取舍，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 已知羽毛球达到最大高度时对应抛物线的顶点坐标为$(4,\frac{5}{3})$，因此选用二次函数顶点式设解析式，再将已知点$P(0,1)$代入求出参数$a$，即可得到函数解析式，注意自变量取值要符合实际意义。
(2) 判断球能否过网，只需计算球网位置（即$x=5$）对应的羽毛球高度$y$，将其与球网高度1.55m比较大小即可得出结论。
(3) 先将$y=\frac{31}{24}$代入解析式求出对应的横坐标$x$，结合“过网后击球”的条件舍去不符合实际的根，再用所得$x$减去球网对应的横坐标5，即可得到乙与球网的水平距离。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线的顶点坐标为$(4,\dfrac{5}{3})$，设羽毛球飞行路线对应的函数解析式为$y=a(x-4)^2+\dfrac{5}{3}$，
将点$P(0,1)$代入解析式：
$1=a·(0-4)^2+\dfrac{5}{3}$，
解得$a=-\dfrac{1}{24}$，
因此所求函数解析式为$y=-\dfrac{1}{24}(x-4)^2+\dfrac{5}{3}\quad (x≥0)$。
(2) 当$x=5$时，代入解析式得：
$y=-\dfrac{1}{24}×(5-4)^2+\dfrac{5}{3}=1.625$，
$\because 1.625＞1.55$，
$\therefore$此球能过网。
(3) 令$y=\dfrac{31}{24}$，代入解析式得：
$-\dfrac{1}{24}(x-4)^2+\dfrac{5}{3}=\dfrac{31}{24}$，
整理得$(x-4)^2=9$，
解得$x_1=7$，$x_2=1$，
由于乙在球过网后击球，此时$x＞5$，故舍去$x=1$，取$x=7$，
乙与球网的水平距离为$7-5=2\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{24}(x-4)^2+\dfrac{5}{3}(x≥0)$；
(2) 此球能过网；
(3) $2\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用
【点评】
本题以羽毛球比赛为生活背景，考查二次函数的实际应用，解题核心是掌握二次函数顶点式的用法，同时要结合实际场景对计算结果进行合理取舍，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
8. 中考趋势·项目式学习 为方便存放劳动实践所用的工具，同学们计划在手工制作课上制作一些长方体形状的工具收纳盒，制作研究如下：
【提出驱动性问题】如何设计工具收纳盒？
【设计实践任务】根据“素材1”“素材2”，设计了“任务1”“任务2”的实践活动。请你尝试帮助他们解决相关问题。
| 素材1 | 利用一边长为40 cm的正方形纸板可以设计成如图所示的无盖收纳盒 | |
| 素材2 | 如图，在正方形纸 板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，剩余部分可折成一个无盖收纳盒 | 
|
【尝试解决问题】
任务1：用素材1中的正方形纸板折一个底面积为$484\ \mathrm{cm}^2$的无盖收纳盒，求剪掉的小正方形的边长为多少。
任务2：用素材2中的正方形纸板折成的无盖收纳盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，请说明理由。
【提出驱动性问题】如何设计工具收纳盒？
【设计实践任务】根据“素材1”“素材2”，设计了“任务1”“任务2”的实践活动。请你尝试帮助他们解决相关问题。
| 素材1 | 利用一边长为40 cm的正方形纸板可以设计成如图所示的无盖收纳盒 | |
| 素材2 | 如图，在正方形
|【尝试解决问题】
任务1：用素材1中的正方形纸板折一个底面积为$484\ \mathrm{cm}^2$的无盖收纳盒，求剪掉的小正方形的边长为多少。
任务2：用素材2中的正方形纸板折成的无盖收纳盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，请说明理由。
答案
解：
任务1：设剪掉的小正方形的边长为$ x\ \mathrm{cm} $，则折成的无盖收纳盒的底面是边长为$ (40-2x)\ \mathrm{cm} $的正方形。
根据题意列方程：
$(40-2x)^2 = 484$
开平方得：$ 40-2x = \pm22 $
解得：$ x_1=9 $，$ x_2=31 $
当$ x=31 $时，$ 40-2x = -22 ＜ 0 $，不符合实际，舍去。
任务2：设剪掉的小正方形的边长为$ x\ \mathrm{cm} $，收纳盒的侧面积为$ S\ \mathrm{cm}^2 $，由题意得$ 0＜x＜20 $。
侧面积为4个完全相同的长方形的面积之和：
$S = 4· x·(40-2x)$
整理得：
$S = -8x^2 + 160x = -8(x-10)^2 + 800$
∵二次项系数$ -8＜0 $，且$ 0＜x＜20 $，
∴当$ x=10 $时，$ S $取得最大值，最大值为800。
答：任务1中剪掉的小正方形的边长为9 cm；任务2中无盖收纳盒的侧面积有最大值，最大值为$ 800\ \mathrm{cm}^2 $，此时剪掉的小正方形的边长为10 cm。
任务1：设剪掉的小正方形的边长为$ x\ \mathrm{cm} $，则折成的无盖收纳盒的底面是边长为$ (40-2x)\ \mathrm{cm} $的正方形。
根据题意列方程：
$(40-2x)^2 = 484$
开平方得：$ 40-2x = \pm22 $
解得：$ x_1=9 $，$ x_2=31 $
当$ x=31 $时，$ 40-2x = -22 ＜ 0 $，不符合实际，舍去。
任务2：设剪掉的小正方形的边长为$ x\ \mathrm{cm} $，收纳盒的侧面积为$ S\ \mathrm{cm}^2 $，由题意得$ 0＜x＜20 $。
侧面积为4个完全相同的长方形的面积之和：
$S = 4· x·(40-2x)$
整理得：
$S = -8x^2 + 160x = -8(x-10)^2 + 800$
∵二次项系数$ -8＜0 $，且$ 0＜x＜20 $，
∴当$ x=10 $时，$ S $取得最大值，最大值为800。
答：任务1中剪掉的小正方形的边长为9 cm；任务2中无盖收纳盒的侧面积有最大值，最大值为$ 800\ \mathrm{cm}^2 $，此时剪掉的小正方形的边长为10 cm。
解析
【分析】
任务1解题思路：要得到剪掉的小正方形边长，首先设小正方形边长为x cm，折成无盖收纳盒后，底面为正方形，其边长等于原正方形边长减去2倍的小正方形边长（四个角各剪去1个小正方形，相邻两边各减少x），再根据正方形面积公式列一元二次方程求解，最后结合实际意义（边长不能为负）舍去不符合要求的解即可。
任务2解题思路：侧面积最值问题可通过建立二次函数模型解决，同样设小正方形边长为x cm，收纳盒侧面积是4个完全相同的长方形的面积和，每个长方形的长为底面边长（40-2x）、宽为x，据此列出侧面积关于x的函数表达式，整理为顶点式后结合二次函数开口方向、自变量x的取值范围，即可求出最大值及对应的x值。
【解析】
任务1：设剪掉的小正方形的边长为$ x\ \mathrm{cm} $，则折成的无盖收纳盒的底面是边长为$ (40-2x)\ \mathrm{cm} $的正方形。
根据题意列方程：
$(40-2x)^2 = 484$
开平方得：$ 40-2x = \pm22 $
解得：$ x_1=9 $，$ x_2=31 $
当$ x=31 $时，$ 40-2x = -22 ＜ 0 $，不符合实际，舍去。
任务2：设剪掉的小正方形的边长为$ x\ \mathrm{cm} $，收纳盒的侧面积为$ S\ \mathrm{cm}^2 $，由题意得$ 0＜x＜20 $。
侧面积为4个完全相同的长方形的面积之和：
$S = 4· x·(40-2x)$
整理得：
$S = -8x^2 + 160x = -8(x-10)^2 + 800$
∵二次项系数$ -8＜0 $，且$ 0＜x＜20 $，
∴当$ x=10 $时，$ S $取得最大值，最大值为800。
【答案】
任务1中剪掉的小正方形的边长为9 cm；任务2中无盖收纳盒的侧面积有最大值，最大值为$ 800\ \mathrm{cm}^2 $，此时剪掉的小正方形的边长为10 cm。
【知识点】
一元二次方程应用；二次函数最值；几何面积计算
【点评】
本题结合生活中的手工制作场景，将方程、函数知识与几何问题结合，解题时需注意结合实际意义筛选方程的解，求函数最值时要关注自变量的取值范围，能有效提升学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
任务1解题思路：要得到剪掉的小正方形边长，首先设小正方形边长为x cm，折成无盖收纳盒后，底面为正方形，其边长等于原正方形边长减去2倍的小正方形边长（四个角各剪去1个小正方形，相邻两边各减少x），再根据正方形面积公式列一元二次方程求解，最后结合实际意义（边长不能为负）舍去不符合要求的解即可。
任务2解题思路：侧面积最值问题可通过建立二次函数模型解决，同样设小正方形边长为x cm，收纳盒侧面积是4个完全相同的长方形的面积和，每个长方形的长为底面边长（40-2x）、宽为x，据此列出侧面积关于x的函数表达式，整理为顶点式后结合二次函数开口方向、自变量x的取值范围，即可求出最大值及对应的x值。
【解析】
任务1：设剪掉的小正方形的边长为$ x\ \mathrm{cm} $，则折成的无盖收纳盒的底面是边长为$ (40-2x)\ \mathrm{cm} $的正方形。
根据题意列方程：
$(40-2x)^2 = 484$
开平方得：$ 40-2x = \pm22 $
解得：$ x_1=9 $，$ x_2=31 $
当$ x=31 $时，$ 40-2x = -22 ＜ 0 $，不符合实际，舍去。
任务2：设剪掉的小正方形的边长为$ x\ \mathrm{cm} $，收纳盒的侧面积为$ S\ \mathrm{cm}^2 $，由题意得$ 0＜x＜20 $。
侧面积为4个完全相同的长方形的面积之和：
$S = 4· x·(40-2x)$
整理得：
$S = -8x^2 + 160x = -8(x-10)^2 + 800$
∵二次项系数$ -8＜0 $，且$ 0＜x＜20 $，
∴当$ x=10 $时，$ S $取得最大值，最大值为800。
【答案】
任务1中剪掉的小正方形的边长为9 cm；任务2中无盖收纳盒的侧面积有最大值，最大值为$ 800\ \mathrm{cm}^2 $，此时剪掉的小正方形的边长为10 cm。
【知识点】
一元二次方程应用；二次函数最值；几何面积计算
【点评】
本题结合生活中的手工制作场景，将方程、函数知识与几何问题结合，解题时需注意结合实际意义筛选方程的解，求函数最值时要关注自变量的取值范围，能有效提升学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
