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1. 若抛物线$y=(x-2)^2 + 2m$的顶点在$x$轴上，则$m=$
0
.答案
1. 0
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式的性质，对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$），其顶点坐标为$(h,k)$；题目给出的抛物线解析式是标准顶点式，可直接提取顶点的纵坐标；再结合“x轴上的点纵坐标为0”的坐标特征，令顶点纵坐标等于0，列一元一次方程求解即可得到$m$的值。
【解析】
解：
∵ 抛物线解析式$y=(x-2)^2 + 2m$是二次函数顶点式，
∴ 该抛物线的顶点坐标为$(2,2m)$，
∵ 抛物线顶点在$x$轴上，$x$轴上所有点的纵坐标为0，
∴ $2m=0$，
解得$m=0$。
【答案】
0
【知识点】
二次函数的顶点式；坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础题型，侧重对基础概念的考查，掌握顶点式下顶点坐标的提取方法，结合坐标轴点的坐标特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式的性质，对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$），其顶点坐标为$(h,k)$；题目给出的抛物线解析式是标准顶点式，可直接提取顶点的纵坐标；再结合“x轴上的点纵坐标为0”的坐标特征，令顶点纵坐标等于0，列一元一次方程求解即可得到$m$的值。
【解析】
解：
∵ 抛物线解析式$y=(x-2)^2 + 2m$是二次函数顶点式，
∴ 该抛物线的顶点坐标为$(2,2m)$，
∵ 抛物线顶点在$x$轴上，$x$轴上所有点的纵坐标为0，
∴ $2m=0$，
解得$m=0$。
【答案】
0
【知识点】
二次函数的顶点式；坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础题型，侧重对基础概念的考查，掌握顶点式下顶点坐标的提取方法，结合坐标轴点的坐标特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 如图，把抛物线 $ y = x^2 $ 平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(-2，0)和原点，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线 $ y = x^2 $ 交于点Q，则图中阴影部分的面积为
1
。答案
2. 1
解析
【分析】
解题思路：第一步，根据抛物线平移的性质，平移不改变二次项系数，因此平移后抛物线m的二次项系数仍为1，结合它过原点$O(0,0)$和点$A(-2,0)$，用交点式即可求出抛物线m的解析式；第二步，根据解析式求出抛物线m的对称轴和顶点P的坐标，再将对称轴的横坐标代入$y=x^2$求出点Q的坐标；第三步，利用二次函数的对称性，通过割补法把不规则的阴影部分转化为规则图形计算面积。
【解析】
1. 求平移后抛物线m的解析式：
抛物线平移后二次项系数不变，仍为1，且抛物线m过$(0,0)$和$(-2,0)$，设解析式为$y = x(x+2)$，整理得$y = x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1$。
2. 求点P、Q的坐标：
抛物线m的对称轴为直线$x = -1$，顶点P的坐标为$(-1, -1)$。
将$x=-1$代入$y=x^2$，得$y=(-1)^2=1$，因此Q点坐标为$(-1, 1)$，则线段PQ的长度为$1 - (-1) = 2$。
3. 计算阴影部分面积：
根据抛物线的对称性，阴影部分的面积等价于底为1（对称轴$x=-1$到y轴的水平距离）、高为2的三角形的面积，代入三角形面积公式得：$S=\frac{1}{2}×1×2=1$。
【答案】
1
【知识点】
二次函数的平移、二次函数的图象与性质、割补法求面积
【点评】
本题将二次函数平移与不规则图形面积计算结合，解题的关键是熟练掌握二次函数平移的性质，灵活运用割补法将不规则阴影转化为规则图形计算，有效简化运算过程。
【难度系数】
0.6
解题思路：第一步，根据抛物线平移的性质，平移不改变二次项系数，因此平移后抛物线m的二次项系数仍为1，结合它过原点$O(0,0)$和点$A(-2,0)$，用交点式即可求出抛物线m的解析式；第二步，根据解析式求出抛物线m的对称轴和顶点P的坐标，再将对称轴的横坐标代入$y=x^2$求出点Q的坐标；第三步，利用二次函数的对称性，通过割补法把不规则的阴影部分转化为规则图形计算面积。
【解析】
1. 求平移后抛物线m的解析式：
抛物线平移后二次项系数不变，仍为1，且抛物线m过$(0,0)$和$(-2,0)$，设解析式为$y = x(x+2)$，整理得$y = x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1$。
2. 求点P、Q的坐标：
抛物线m的对称轴为直线$x = -1$，顶点P的坐标为$(-1, -1)$。
将$x=-1$代入$y=x^2$，得$y=(-1)^2=1$，因此Q点坐标为$(-1, 1)$，则线段PQ的长度为$1 - (-1) = 2$。
3. 计算阴影部分面积：
根据抛物线的对称性，阴影部分的面积等价于底为1（对称轴$x=-1$到y轴的水平距离）、高为2的三角形的面积，代入三角形面积公式得：$S=\frac{1}{2}×1×2=1$。
【答案】
1
【知识点】
二次函数的平移、二次函数的图象与性质、割补法求面积
【点评】
本题将二次函数平移与不规则图形面积计算结合，解题的关键是熟练掌握二次函数平移的性质，灵活运用割补法将不规则阴影转化为规则图形计算，有效简化运算过程。
【难度系数】
0.6
3. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度$y$(单位：厘米/天)和光照强度$x$(单位：勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围$(200≤ x＜1\ 000)$内，$y$与$x$近似成一次函数关系；在中高光照强度范围$(x≥ 1\ 000)$内，$y$与$x$近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象，下列结论正确的是 (
A.当$x≥ 1\ 000$时，$y$随$x$的增大而减小
B.当$x=2\ 000$时，$y$有最大值
C.当$y≥ 0.6$时，$x≥ 1\ 000$
D.当$y=0.4$时，$x=600$
B
)A.当$x≥ 1\ 000$时，$y$随$x$的增大而减小
B.当$x=2\ 000$时，$y$有最大值
C.当$y≥ 0.6$时，$x≥ 1\ 000$
D.当$y=0.4$时，$x=600$
答案
3. B
解析
【分析】
本题需要结合分段函数的性质解题，先根据图象确定两段函数的特征：200≤x＜1000为一次函数，x≥1000为开口向下的二次函数，再结合二次函数的对称性、一次函数解析式的求法，逐项判断选项的正误即可。
【解析】
我们逐项分析选项：
1. 分析选项A：当x≥1000时，y与x是开口向下的二次函数关系，由图象可知二次函数过(1000,0.6)、(3000,0.6)两点，对称轴为$x=\frac{1000+3000}{2}=2000$，因此在1000≤x＜2000时y随x增大而增大，x＞2000时y随x增大而减小，故A错误。
2. 分析选项B：上述二次函数开口向下，顶点在对称轴x=2000处，因此x=2000时y取得最大值，故B正确。
3. 分析选项C：由图象可知y≥0.6时，x的取值范围是1000≤x≤3000，当x＞3000时y＜0.6，故C错误。
4. 分析选项D：先求200≤x＜1000时一次函数的解析式，设$y=kx+b$，代入(200,0.3)、(1000,0.6)得：
$\begin{cases}200k+b=0.3\\1000k+b=0.6\end{cases}$
解得$k=\frac{3}{8000}$，$b=0.225$，即$y=\frac{3}{8000}x+0.225$。当y=0.4时，代入得$x\approx467$，同时x≥1000的二次函数段也存在y=0.4的解，因此x不止600，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的应用，二次函数的性质，函数图象识别
【点评】
本题结合植物生长的实际场景考查分段函数的应用，核心是利用二次函数的对称性判断最值，结合一次函数解析式求解对应自变量，解题时需要仔细观察图象特征避免错判。
【难度系数】
0.7
本题需要结合分段函数的性质解题，先根据图象确定两段函数的特征：200≤x＜1000为一次函数，x≥1000为开口向下的二次函数，再结合二次函数的对称性、一次函数解析式的求法，逐项判断选项的正误即可。
【解析】
我们逐项分析选项：
1. 分析选项A：当x≥1000时，y与x是开口向下的二次函数关系，由图象可知二次函数过(1000,0.6)、(3000,0.6)两点，对称轴为$x=\frac{1000+3000}{2}=2000$，因此在1000≤x＜2000时y随x增大而增大，x＞2000时y随x增大而减小，故A错误。
2. 分析选项B：上述二次函数开口向下，顶点在对称轴x=2000处，因此x=2000时y取得最大值，故B正确。
3. 分析选项C：由图象可知y≥0.6时，x的取值范围是1000≤x≤3000，当x＞3000时y＜0.6，故C错误。
4. 分析选项D：先求200≤x＜1000时一次函数的解析式，设$y=kx+b$，代入(200,0.3)、(1000,0.6)得：
$\begin{cases}200k+b=0.3\\1000k+b=0.6\end{cases}$
解得$k=\frac{3}{8000}$，$b=0.225$，即$y=\frac{3}{8000}x+0.225$。当y=0.4时，代入得$x\approx467$，同时x≥1000的二次函数段也存在y=0.4的解，因此x不止600，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的应用，二次函数的性质，函数图象识别
【点评】
本题结合植物生长的实际场景考查分段函数的应用，核心是利用二次函数的对称性判断最值，结合一次函数解析式求解对应自变量，解题时需要仔细观察图象特征避免错判。
【难度系数】
0.7
4. 某汽车刹车后行驶的距离 $ y $（单位：m）与行驶的时间 $ t $（单位：s）之间近似满足函数关系 $ y=at^2+bt(a＜0) $. 如图记录了 $ y $ 与 $ t $ 的两组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间为 （
A.2.25 s
B.1.25 s
C.0.75 s
D.0.25 s
B
）A.2.25 s
B.1.25 s
C.0.75 s
D.0.25 s
答案
4. B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先我们利用图中给出的两组t和y的对应值，通过待定系数法求出二次函数$y=at^2+bt$的系数$a$和$b$。汽车刹车后到停下来时，行驶的距离$y$达到最大值，对于开口向下（$a＜0$）的二次函数，最大值出现在对称轴位置，因此求出该二次函数对称轴对应的$t$值，就是刹车后到停下来所用的时间。
【解析】
将图中两组数据代入函数解析式$y=at^2+bt$，可得：
当$t=0.5\ \mathrm{s}$时，$y=6\ \mathrm{m}$，代入得：$\boldsymbol{0.25a + 0.5b = 6}$ ①
当$t=1\ \mathrm{s}$时，$y=9\ \mathrm{m}$，代入得：$\boldsymbol{a + b = 9}$ ②
将①式两边同时乘以4，得：$a + 2b = 24$ ③
用③式减去②式：$(a+2b)-(a+b)=24-9$，解得$b=15$
将$b=15$代入②式，得$a + 15 = 9$，解得$a=-6$
所以二次函数解析式为$y=-6t^2+15t$
对于二次函数$y=ax^2+bx(a≠0)$，其对称轴公式为$t=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-6$，$b=15$得：
$t=-\frac{15}{2×(-6)}=\frac{15}{12}=1.25\ \mathrm{s}$
即汽车刹车后到停下来所用的时间为1.25s。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的性质；二次函数实际应用
【点评】
本题结合刹车的实际场景考查二次函数的应用，解题核心是理解刹车停止时对应二次函数取得最大值，结合二次函数对称轴公式即可求解，体现了数学知识与实际生活的联系。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先我们利用图中给出的两组t和y的对应值，通过待定系数法求出二次函数$y=at^2+bt$的系数$a$和$b$。汽车刹车后到停下来时，行驶的距离$y$达到最大值，对于开口向下（$a＜0$）的二次函数，最大值出现在对称轴位置，因此求出该二次函数对称轴对应的$t$值，就是刹车后到停下来所用的时间。
【解析】
将图中两组数据代入函数解析式$y=at^2+bt$，可得：
当$t=0.5\ \mathrm{s}$时，$y=6\ \mathrm{m}$，代入得：$\boldsymbol{0.25a + 0.5b = 6}$ ①
当$t=1\ \mathrm{s}$时，$y=9\ \mathrm{m}$，代入得：$\boldsymbol{a + b = 9}$ ②
将①式两边同时乘以4，得：$a + 2b = 24$ ③
用③式减去②式：$(a+2b)-(a+b)=24-9$，解得$b=15$
将$b=15$代入②式，得$a + 15 = 9$，解得$a=-6$
所以二次函数解析式为$y=-6t^2+15t$
对于二次函数$y=ax^2+bx(a≠0)$，其对称轴公式为$t=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-6$，$b=15$得：
$t=-\frac{15}{2×(-6)}=\frac{15}{12}=1.25\ \mathrm{s}$
即汽车刹车后到停下来所用的时间为1.25s。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的性质；二次函数实际应用
【点评】
本题结合刹车的实际场景考查二次函数的应用，解题核心是理解刹车停止时对应二次函数取得最大值，结合二次函数对称轴公式即可求解，体现了数学知识与实际生活的联系。
【难度系数】
0.7
5. 某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候出现亏本的经营状况. 因此，公司规定：若无利润时，该景点关闭. 经跟踪测算，该景点一年中的利润$w$（单位：万元）与月份$x$之间满足二次函数$w = -x^2 + 16x - 48$，则该景点一年中有几个月处于关闭状态？（
A.5个月
B.6个月
C.7个月
D.8个月
A
）A.5个月
B.6个月
C.7个月
D.8个月
答案
5. A
解析
【分析】
首先明确景点关闭的条件是利润$w≤0$，因此我们需要先求出利润为0时对应的月份，再结合二次函数的图像性质判断$w≤0$的$x$的取值范围，最后结合月份$x$是1~12的正整数，统计符合条件的月份数量即可。
【解析】
解：令利润$w=0$，可得方程：
$-x^2 + 16x - 48 = 0$
方程两边同时乘$-1$得：$x^2 - 16x + 48 = 0$
因式分解得：$(x-4)(x-12)=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=12$
∵二次函数$w = -x^2 + 16x - 48$的二次项系数为$-1＜0$，
∴抛物线开口向下
∴当$x≤4$或$x≥12$时，$w≤0$，符合关闭条件
又
∵月份$x$为正整数，且$1≤x≤12$
∴满足条件的$x$为：1、2、3、4、12，共5个月
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数的图像与性质，解一元二次方程
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数的应用，解题的关键是将实际场景中的关闭条件转化为函数值小于等于0的数学关系，求解时要注意自变量$x$代表月份，只能取1到12的正整数，不要遗漏端点处$w=0$的情况。
【难度系数】
0.7
首先明确景点关闭的条件是利润$w≤0$，因此我们需要先求出利润为0时对应的月份，再结合二次函数的图像性质判断$w≤0$的$x$的取值范围，最后结合月份$x$是1~12的正整数，统计符合条件的月份数量即可。
【解析】
解：令利润$w=0$，可得方程：
$-x^2 + 16x - 48 = 0$
方程两边同时乘$-1$得：$x^2 - 16x + 48 = 0$
因式分解得：$(x-4)(x-12)=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=12$
∵二次函数$w = -x^2 + 16x - 48$的二次项系数为$-1＜0$，
∴抛物线开口向下
∴当$x≤4$或$x≥12$时，$w≤0$，符合关闭条件
又
∵月份$x$为正整数，且$1≤x≤12$
∴满足条件的$x$为：1、2、3、4、12，共5个月
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数的图像与性质，解一元二次方程
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数的应用，解题的关键是将实际场景中的关闭条件转化为函数值小于等于0的数学关系，求解时要注意自变量$x$代表月份，只能取1到12的正整数，不要遗漏端点处$w=0$的情况。
【难度系数】
0.7
6. 写出一个对称轴为y轴，且过点(0，－2)的抛物线的函数解析式：
$y=x^2-2$(答案不唯一)
.答案
6. $y=x^2-2$(答案不唯一)
解析
【分析】
要写出满足条件的抛物线解析式，首先回忆二次函数的性质：对称轴为y轴的二次函数，其一般式中一次项系数为0，因此可设解析式为$y=ax^2+c$（$a≠0$）。再将已知点$(0,-2)$代入解析式，即可求出常数$c$的值，最后任取一个不为0的$a$值，就能得到符合要求的解析式。
【解析】
∵ 抛物线的对称轴为y轴
∴ 设该抛物线的解析式为$ y=ax^2+c $（$ a ≠ 0 $，$a$、$c$为常数）
将点$ (0,-2) $代入解析式，得：
当$ x=0 $时，$ y=c=-2 $
只需取$ a ≠ 0 $即可满足条件，例如取$ a=1 $，此时抛物线解析式为$ y=x^2-2 $
注：$a$取任意不为0的实数均可，答案不唯一。
【答案】
$ y=x^2-2 $（答案不唯一）
【知识点】
二次函数性质，待定系数法，点与函数图象的关系
【点评】
本题为开放性基础题，核心考查二次函数对称轴与解析式系数的对应关系，解题时先根据对称轴特征简化解析式形式，再代入已知点求解常数，灵活度较高，难度较低。
【难度系数】
0.8
要写出满足条件的抛物线解析式，首先回忆二次函数的性质：对称轴为y轴的二次函数，其一般式中一次项系数为0，因此可设解析式为$y=ax^2+c$（$a≠0$）。再将已知点$(0,-2)$代入解析式，即可求出常数$c$的值，最后任取一个不为0的$a$值，就能得到符合要求的解析式。
【解析】
∵ 抛物线的对称轴为y轴
∴ 设该抛物线的解析式为$ y=ax^2+c $（$ a ≠ 0 $，$a$、$c$为常数）
将点$ (0,-2) $代入解析式，得：
当$ x=0 $时，$ y=c=-2 $
只需取$ a ≠ 0 $即可满足条件，例如取$ a=1 $，此时抛物线解析式为$ y=x^2-2 $
注：$a$取任意不为0的实数均可，答案不唯一。
【答案】
$ y=x^2-2 $（答案不唯一）
【知识点】
二次函数性质，待定系数法，点与函数图象的关系
【点评】
本题为开放性基础题，核心考查二次函数对称轴与解析式系数的对应关系，解题时先根据对称轴特征简化解析式形式，再代入已知点求解常数，灵活度较高，难度较低。
【难度系数】
0.8
7. 某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为
220
W.答案
7. 220
解析
【分析】
本题是二次函数在实际情境中的应用，已知电功率P随电流I变化的图象是抛物线，且与I轴交于(0,0)和(4,0)两点，我们可以先用交点式设出二次函数的解析式，再代入图象上的已知点求出解析式的系数，最后利用二次函数开口向下时顶点处取得最大值的性质，计算出P的最大值。
【解析】
由题意可知，P是关于I的二次函数，且图象与I轴的交点为(0,0)和(4,0)，因此设二次函数解析式为：
$ P = aI(I-4) \quad (a ≠ 0) $
从图象可得，当$ I=1\mathrm{A} $时，$ P=165\mathrm{W} $，代入解析式得：
$ 165 = a × 1 × (1-4) $
解得$ a = -55 $
因此二次函数解析式为：
$ P = -55I(I-4) = -55I^2 + 220I $
该二次函数开口向下，对称轴为$ I = \frac{0+4}{2} = 2\mathrm{A} $，此时P取得最大值，代入$ I=2 $得：
$ P_{\mathrm{max}} = -55 × 2^2 + 220 × 2 = -220 + 440 = 220\mathrm{W} $
【答案】
220
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；二次函数的最值
【点评】
本题结合电功率的实际情境考查二次函数的相关知识，解题的关键是合理选择二次函数的解析式形式，结合已知条件求出函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值，能很好地考查学生对知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数在实际情境中的应用，已知电功率P随电流I变化的图象是抛物线，且与I轴交于(0,0)和(4,0)两点，我们可以先用交点式设出二次函数的解析式，再代入图象上的已知点求出解析式的系数，最后利用二次函数开口向下时顶点处取得最大值的性质，计算出P的最大值。
【解析】
由题意可知，P是关于I的二次函数，且图象与I轴的交点为(0,0)和(4,0)，因此设二次函数解析式为：
$ P = aI(I-4) \quad (a ≠ 0) $
从图象可得，当$ I=1\mathrm{A} $时，$ P=165\mathrm{W} $，代入解析式得：
$ 165 = a × 1 × (1-4) $
解得$ a = -55 $
因此二次函数解析式为：
$ P = -55I(I-4) = -55I^2 + 220I $
该二次函数开口向下，对称轴为$ I = \frac{0+4}{2} = 2\mathrm{A} $，此时P取得最大值，代入$ I=2 $得：
$ P_{\mathrm{max}} = -55 × 2^2 + 220 × 2 = -220 + 440 = 220\mathrm{W} $
【答案】
220
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；二次函数的最值
【点评】
本题结合电功率的实际情境考查二次函数的相关知识，解题的关键是合理选择二次函数的解析式形式，结合已知条件求出函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值，能很好地考查学生对知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
