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活动1 哪个积最大
观察下列各组式子中两个两位数的积(两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10)，你能用二次函数的知识说明其中哪个积最大吗？
91×99，92×98，…，98×92，99×91.
(1)小明的解法如下，请你帮他将下面的解题过程补充完整.
解：设两个两位数的积为y，其中一个乘数的个位上的数为x，则另一个乘数个位上的数为10−x.
根据题意，得$y=(90+x)[90+(10−x)]$，
配方后得到二次函数的顶点式为
(x=1，2，3，…，8，9).
∵
∴当x=
∴
【类比探究】
(2)观察下列各组式子中两个三位数的积(两个乘数的百位上的数都是6，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100)，猜想其中哪个积最大，并类比小明的解法运用二次函数的知识说明理由.
601×699，602×698，603×697，…，697×603，698×602，699×601.
观察下列各组式子中两个两位数的积(两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10)，你能用二次函数的知识说明其中哪个积最大吗？
91×99，92×98，…，98×92，99×91.
(1)小明的解法如下，请你帮他将下面的解题过程补充完整.
解：设两个两位数的积为y，其中一个乘数的个位上的数为x，则另一个乘数个位上的数为10−x.
根据题意，得$y=(90+x)[90+(10−x)]$，
配方后得到二次函数的顶点式为
$y=-(x-5)^2+9025$
(x=1，2，3，…，8，9).
∵
$a=-1$
，∴函数图象开口向下.∴当x=
$5$
时，y有最大值.∴
$95×95$
的积最大.【类比探究】
(2)观察下列各组式子中两个三位数的积(两个乘数的百位上的数都是6，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100)，猜想其中哪个积最大，并类比小明的解法运用二次函数的知识说明理由.
601×699，602×698，603×697，…，697×603，698×602，699×601.
答案
(1) $y=-(x-5)^2+9025$，$a=-1$，5，$95×95$
(2) 猜想650×650的积最大. 理由如下：
设两个三位数的积为y，其中一个乘数的十位与个位上的数组成的数为x，则另一个乘数的十位与个位上的数组成的数为100−x.
根据题意，得 $y=(600+x)(600+100-x)=-(x-50)^2+422500$.
∵$a=-1＜0$，
∴函数图象开口向下.
∴当x=50时，y有最大值.
∴650×650的积最大.
(2) 猜想650×650的积最大. 理由如下：
设两个三位数的积为y，其中一个乘数的十位与个位上的数组成的数为x，则另一个乘数的十位与个位上的数组成的数为100−x.
根据题意，得 $y=(600+x)(600+100-x)=-(x-50)^2+422500$.
∵$a=-1＜0$，
∴函数图象开口向下.
∴当x=50时，y有最大值.
∴650×650的积最大.
解析
【分析】
本题考查二次函数求最值的应用，解题思路如下：(1) 先将给出的乘积表达式展开，通过配方转化为二次函数顶点式，再根据二次项系数的正负判断开口方向，开口向下时顶点处函数值最大，代入顶点横坐标即可得到乘积最大的两个乘数；(2) 类比第一问的方法，先设其中一个三位数的后两位组成的数为x，根据两数后两位之和为100表示出另一个数的后两位，再列出乘积的二次函数表达式，配方后求最值即可得到乘积最大的算式。
【解析】
(1) 化简函数表达式：
$y=(90+x)[90+(10-x)]=(90+x)(100-x)$
展开得：$y=-x^2+10x+9000$
配方：$y=-(x^2-10x+25)+25+9000=-(x-5)^2+9025$
因为二次项系数$a=-1＜0$，所以函数图象开口向下，在顶点处取得最大值，即当$x=5$时，$y$最大，此时两个乘数分别为$90+5=95$、$90+(10-5)=95$，即$95×95$的积最大。
(2) 猜想$650×650$的积最大，理由如下：
设两个三位数的积为$y$，其中一个乘数的十位与个位组成的数为$x$，则另一个乘数的十位与个位组成的数为$100-x$。
根据题意列函数式：
$y=(600+x)(600+100-x)=(600+x)(700-x)$
展开得：$y=-x^2+100x+420000$
配方得：$y=-(x-50)^2+422500$
$\because a=-1＜0$，$\therefore$ 函数图象开口向下，当$x=50$时，$y$取得最大值。
此时两个乘数分别为$600+50=650$、$600+(100-50)=650$，故$650×650$的积最大。
【答案】
(1) $y=-(x-5)^2+9025$，$a=-1＜0$，5，$95×95$
(2) 猜想$650×650$的积最大，理由如下：
设两个三位数的积为$y$，其中一个乘数的十位与个位上的数组成的数为$x$，则另一个乘数的十位与个位上的数组成的数为$100−x$.
根据题意，得 $y=(600+x)(600+100-x)=-(x-50)^2+422500$.
∵$a=-1＜0$，
∴函数图象开口向下.
∴当x=50时，y有最大值.
∴$650×650$的积最大.
【知识点】
1. 二次函数配方 2. 二次函数最值 3. 二次函数实际应用
【点评】
本题将数字规律与二次函数知识结合，通过类比的方法引导学生从两位数问题迁移到三位数问题，重点考查学生对二次函数性质的掌握情况和知识迁移能力，解题的核心是正确列出函数解析式并熟练配方求最值。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数求最值的应用，解题思路如下：(1) 先将给出的乘积表达式展开，通过配方转化为二次函数顶点式，再根据二次项系数的正负判断开口方向，开口向下时顶点处函数值最大，代入顶点横坐标即可得到乘积最大的两个乘数；(2) 类比第一问的方法，先设其中一个三位数的后两位组成的数为x，根据两数后两位之和为100表示出另一个数的后两位，再列出乘积的二次函数表达式，配方后求最值即可得到乘积最大的算式。
【解析】
(1) 化简函数表达式：
$y=(90+x)[90+(10-x)]=(90+x)(100-x)$
展开得：$y=-x^2+10x+9000$
配方：$y=-(x^2-10x+25)+25+9000=-(x-5)^2+9025$
因为二次项系数$a=-1＜0$，所以函数图象开口向下，在顶点处取得最大值，即当$x=5$时，$y$最大，此时两个乘数分别为$90+5=95$、$90+(10-5)=95$，即$95×95$的积最大。
(2) 猜想$650×650$的积最大，理由如下：
设两个三位数的积为$y$，其中一个乘数的十位与个位组成的数为$x$，则另一个乘数的十位与个位组成的数为$100-x$。
根据题意列函数式：
$y=(600+x)(600+100-x)=(600+x)(700-x)$
展开得：$y=-x^2+100x+420000$
配方得：$y=-(x-50)^2+422500$
$\because a=-1＜0$，$\therefore$ 函数图象开口向下，当$x=50$时，$y$取得最大值。
此时两个乘数分别为$600+50=650$、$600+(100-50)=650$，故$650×650$的积最大。
【答案】
(1) $y=-(x-5)^2+9025$，$a=-1＜0$，5，$95×95$
(2) 猜想$650×650$的积最大，理由如下：
设两个三位数的积为$y$，其中一个乘数的十位与个位上的数组成的数为$x$，则另一个乘数的十位与个位上的数组成的数为$100−x$.
根据题意，得 $y=(600+x)(600+100-x)=-(x-50)^2+422500$.
∵$a=-1＜0$，
∴函数图象开口向下.
∴当x=50时，y有最大值.
∴$650×650$的积最大.
【知识点】
1. 二次函数配方 2. 二次函数最值 3. 二次函数实际应用
【点评】
本题将数字规律与二次函数知识结合，通过类比的方法引导学生从两位数问题迁移到三位数问题，重点考查学生对二次函数性质的掌握情况和知识迁移能力，解题的核心是正确列出函数解析式并熟练配方求最值。
【难度系数】
0.7
行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表：
(1)在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标、刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象；
(2)测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数解析式；
(3)一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为40 m，已知这条高速公路限速100 km/h，请根据你确定的函数解析式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标、刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象；
(2)测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数解析式；
(3)一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为40 m，已知这条高速公路限速100 km/h，请根据你确定的函数解析式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶.
答案
(1) 图略.
(2) 该图象可能为抛物线，猜想该函数为二次函数.
二次函数的解析式为 $y=\frac{1}{500}x^2+\frac{1}{100}x(x≥0)$.
(3)
∵当x=100时，y=21＜40，
∴汽车已超速行驶.
(2) 该图象可能为抛物线，猜想该函数为二次函数.
二次函数的解析式为 $y=\frac{1}{500}x^2+\frac{1}{100}x(x≥0)$.
(3)
∵当x=100时，y=21＜40，
∴汽车已超速行驶.
解析
【分析】
(1) 第一问为基础作图题，解题时先将表格中每组（车速，刹车距离）数据对应为坐标系内的坐标，依次描出各点后用平滑曲线连接即可。
(2) 第二问先观察所得图象的形状，其符合二次函数的抛物线特征，因此选择二次函数模型。由于车速为0时刹车距离必然为0，可设二次函数解析式为$y=ax^2+bx$（常数项$c=0$），选取表格中两组数据代入得到关于$a、b$的方程组，解出系数后用其余数据验证误差在合理范围，即可确定函数解析式。
(3) 第三问判断是否超速，可先将限速100km/h代入函数解析式，计算出限速对应的最大刹车距离，再和现场测得的40m刹车距离比较：若计算值小于40m，说明实际车速高于限速，反之则未超速。
【解析】
(1) 根据表格中的数据，在坐标系中依次描出对应坐标点，再用平滑曲线连接各点，图象略。
(2) 观察绘制的图象，形状接近抛物线，因此猜想该函数为二次函数。
当刹车时车速$x=0$时，刹车距离$y=0$，因此设二次函数解析式为$y=ax^2+bx$（$x≥0$）。
选取两组数据$(10,0.3)$、$(20,1)$代入解析式，得方程组：
$\begin{cases} 100a+10b=0.3 \\400a+20b=1 \end{cases}$
将第一个方程两边同乘2得$200a+20b=0.6$，用第二个方程减去该式得$200a=0.4$，解得$a=\frac{1}{500}$。
把$a=\frac{1}{500}$代入$100a+10b=0.3$，得$0.2+10b=0.3$，解得$b=\frac{1}{100}$。
代入其余表格数据验证误差较小，因此函数解析式为$y=\frac{1}{500}x^2+\frac{1}{100}x(x≥0)$。
(3) 把限速$x=100$代入函数解析式，计算对应刹车距离：
$y=\frac{1}{500}×100^2+\frac{1}{100}×100=20+1=21(\mathrm{m})$
因为$21＜40$，说明刹车距离为40m时车速大于100km/h，所以汽车已超速。
【答案】
(1) 图略.
(2) 该图象可能为抛物线，猜想该函数为二次函数.
二次函数的解析式为 $y=\frac{1}{500}x^2+\frac{1}{100}x(x≥0)$.
(3)
∵当x=100时，y=21＜40，
∴汽车已超速行驶.
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；二次函数求值
【点评】
本题结合汽车刹车的实际场景考查二次函数的相关应用，要求学生能合理选择函数模型，用待定系数法求解解析式，并运用解析式解决实际判断问题，体现了数学知识的实用性。
【难度系数】
0.65
(1) 第一问为基础作图题，解题时先将表格中每组（车速，刹车距离）数据对应为坐标系内的坐标，依次描出各点后用平滑曲线连接即可。
(2) 第二问先观察所得图象的形状，其符合二次函数的抛物线特征，因此选择二次函数模型。由于车速为0时刹车距离必然为0，可设二次函数解析式为$y=ax^2+bx$（常数项$c=0$），选取表格中两组数据代入得到关于$a、b$的方程组，解出系数后用其余数据验证误差在合理范围，即可确定函数解析式。
(3) 第三问判断是否超速，可先将限速100km/h代入函数解析式，计算出限速对应的最大刹车距离，再和现场测得的40m刹车距离比较：若计算值小于40m，说明实际车速高于限速，反之则未超速。
【解析】
(1) 根据表格中的数据，在坐标系中依次描出对应坐标点，再用平滑曲线连接各点，图象略。
(2) 观察绘制的图象，形状接近抛物线，因此猜想该函数为二次函数。
当刹车时车速$x=0$时，刹车距离$y=0$，因此设二次函数解析式为$y=ax^2+bx$（$x≥0$）。
选取两组数据$(10,0.3)$、$(20,1)$代入解析式，得方程组：
$\begin{cases} 100a+10b=0.3 \\400a+20b=1 \end{cases}$
将第一个方程两边同乘2得$200a+20b=0.6$，用第二个方程减去该式得$200a=0.4$，解得$a=\frac{1}{500}$。
把$a=\frac{1}{500}$代入$100a+10b=0.3$，得$0.2+10b=0.3$，解得$b=\frac{1}{100}$。
代入其余表格数据验证误差较小，因此函数解析式为$y=\frac{1}{500}x^2+\frac{1}{100}x(x≥0)$。
(3) 把限速$x=100$代入函数解析式，计算对应刹车距离：
$y=\frac{1}{500}×100^2+\frac{1}{100}×100=20+1=21(\mathrm{m})$
因为$21＜40$，说明刹车距离为40m时车速大于100km/h，所以汽车已超速。
【答案】
(1) 图略.
(2) 该图象可能为抛物线，猜想该函数为二次函数.
二次函数的解析式为 $y=\frac{1}{500}x^2+\frac{1}{100}x(x≥0)$.
(3)
∵当x=100时，y=21＜40，
∴汽车已超速行驶.
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；二次函数求值
【点评】
本题结合汽车刹车的实际场景考查二次函数的相关应用，要求学生能合理选择函数模型，用待定系数法求解解析式，并运用解析式解决实际判断问题，体现了数学知识的实用性。
【难度系数】
0.65
