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3.把抛物线$y=a(x-h)^2+k$先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线$y=\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$.试确定$a,h,k$的值.
知识建构
知识建构
答案
$a=\frac{1}{2},h=1,k=-5$.
解析
【分析】
要确定a、h、k的值，首先明确二次函数平移时开口大小和方向不变，因此二次项系数a与平移后抛物线的a值相等。其次利用二次函数平移“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对函数整体）”的规律，可将平移后得到的抛物线逆向平移（向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度）还原为原抛物线，再和原抛物线的顶点式对比系数，即可求出h、k的值。
【解析】
步骤1：确定a的值
二次函数平移只改变图像位置，不改变开口大小和方向，因此二次项系数a不变，可得$\boldsymbol{a=\frac{1}{2}}$。
步骤2：逆向平移还原原抛物线
将得到的抛物线$y=\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$先向右平移2个单位长度，根据“左加右减”原则，自变量x替换为$x-2$，得：
$y=\frac{1}{2}(x+1-2)^2 -1=\frac{1}{2}(x-1)^2 -1$
再将上述抛物线向下平移4个单位长度，根据“上加下减”原则，整体减去4，得原抛物线解析式：
$y=\frac{1}{2}(x-1)^2 -1 -4=\frac{1}{2}(x-1)^2 -5$
步骤3：对比系数求h、k
将还原的原抛物线和$y=a(x-h)^2+k$对比，可得$h=1$，$k=-5$。
【答案】
$a=\frac{1}{2},h=1,k=-5$
【知识点】
1.二次函数平移规律 2.二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心是掌握“左加右减、上加下减”的平移规则，既可以通过正向平移列等式求解，也可以通过逆向平移还原原解析式简化计算，熟练掌握规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要确定a、h、k的值，首先明确二次函数平移时开口大小和方向不变，因此二次项系数a与平移后抛物线的a值相等。其次利用二次函数平移“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对函数整体）”的规律，可将平移后得到的抛物线逆向平移（向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度）还原为原抛物线，再和原抛物线的顶点式对比系数，即可求出h、k的值。
【解析】
步骤1：确定a的值
二次函数平移只改变图像位置，不改变开口大小和方向，因此二次项系数a不变，可得$\boldsymbol{a=\frac{1}{2}}$。
步骤2：逆向平移还原原抛物线
将得到的抛物线$y=\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$先向右平移2个单位长度，根据“左加右减”原则，自变量x替换为$x-2$，得：
$y=\frac{1}{2}(x+1-2)^2 -1=\frac{1}{2}(x-1)^2 -1$
再将上述抛物线向下平移4个单位长度，根据“上加下减”原则，整体减去4，得原抛物线解析式：
$y=\frac{1}{2}(x-1)^2 -1 -4=\frac{1}{2}(x-1)^2 -5$
步骤3：对比系数求h、k
将还原的原抛物线和$y=a(x-h)^2+k$对比，可得$h=1$，$k=-5$。
【答案】
$a=\frac{1}{2},h=1,k=-5$
【知识点】
1.二次函数平移规律 2.二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心是掌握“左加右减、上加下减”的平移规则，既可以通过正向平移列等式求解，也可以通过逆向平移还原原解析式简化计算，熟练掌握规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
1.对于抛物线$y=2(x-1)^2+3$，下列说法正确的是（
A.抛物线的开口向下
B.抛物线的顶点坐标为$(1,3)$
C.抛物线的对称轴为直线$x=-1$
D.当$x＞-3$时，$y$随$x$的增大而增大
B
）A.抛物线的开口向下
B.抛物线的顶点坐标为$(1,3)$
C.抛物线的对称轴为直线$x=-1$
D.当$x＞-3$时，$y$随$x$的增大而增大
答案
B
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质，解题时首先要明确该形式中各参数的意义：$a$的正负决定开口方向，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，再结合开口方向判断函数的增减性，最后逐一核对四个选项即可得出正确答案。
【解析】
对于抛物线$y=2(x-1)^2+3$，属于二次函数的顶点式，其中$a=2$，$h=1$，$k=3$：
1. 判断开口方向：$\because a=2＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，故A选项错误；
2. 判断顶点坐标：顶点坐标为$(h,k)$即$(1,3)$，故B选项正确；
3. 判断对称轴：对称轴为直线$x=h=1$，故C选项错误；
4. 判断增减性：$\because$抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，$\therefore$当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小，因此$x＞-3$时并不全是$y$随$x$增大而增大，故D选项错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题是对二次函数基础性质的考查，牢记顶点式中各参数对应的几何意义是解题的关键，这类题型是二次函数章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质，解题时首先要明确该形式中各参数的意义：$a$的正负决定开口方向，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，再结合开口方向判断函数的增减性，最后逐一核对四个选项即可得出正确答案。
【解析】
对于抛物线$y=2(x-1)^2+3$，属于二次函数的顶点式，其中$a=2$，$h=1$，$k=3$：
1. 判断开口方向：$\because a=2＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，故A选项错误；
2. 判断顶点坐标：顶点坐标为$(h,k)$即$(1,3)$，故B选项正确；
3. 判断对称轴：对称轴为直线$x=h=1$，故C选项错误；
4. 判断增减性：$\because$抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，$\therefore$当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小，因此$x＞-3$时并不全是$y$随$x$增大而增大，故D选项错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题是对二次函数基础性质的考查，牢记顶点式中各参数对应的几何意义是解题的关键，这类题型是二次函数章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
2.已知二次函数$y=(x-m)^2 -3$，当$x＜4$时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（
A.$m≤-4$
B.$m≥-4$
C.$m≥4$
D.$m＜-4$
C
）A.$m≤-4$
B.$m≥-4$
C.$m≥4$
D.$m＜-4$
答案
C
解析
【分析】
首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的基本性质：开口方向由a的符号决定，a＞0时开口向上，此时在对称轴左侧y随x的增大而减小，对称轴右侧y随x的增大而增大。本题先确定给定函数的开口方向和对称轴，再结合“x＜4时y随x增大而减小”的条件，可知x＜4的区间必须全部落在对称轴左侧的递减区间内，由此即可推导m的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=(x-m)^2 -3$：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此函数图象开口向上；
2. 该函数为顶点式，对称轴为直线$x=m$；
3. 开口向上的二次函数，在对称轴左侧（即$x≤ m$时），y随x的增大而减小；
4. 要满足当$x＜4$时y随x的增大而减小，说明$x＜4$的区间完全包含在$x≤ m$的范围内，因此可得$m≥4$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性；二次函数的对称轴
【点评】
本题是二次函数增减性的基础应用题，解题的关键是先明确函数的开口方向和对称轴位置，再结合增减性的区间判断参数的取值范围，解题时要注意判断边界值m=4是否符合题意，避免漏选等号的情况。
【难度系数】
0.7
首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的基本性质：开口方向由a的符号决定，a＞0时开口向上，此时在对称轴左侧y随x的增大而减小，对称轴右侧y随x的增大而增大。本题先确定给定函数的开口方向和对称轴，再结合“x＜4时y随x增大而减小”的条件，可知x＜4的区间必须全部落在对称轴左侧的递减区间内，由此即可推导m的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=(x-m)^2 -3$：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此函数图象开口向上；
2. 该函数为顶点式，对称轴为直线$x=m$；
3. 开口向上的二次函数，在对称轴左侧（即$x≤ m$时），y随x的增大而减小；
4. 要满足当$x＜4$时y随x的增大而减小，说明$x＜4$的区间完全包含在$x≤ m$的范围内，因此可得$m≥4$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性；二次函数的对称轴
【点评】
本题是二次函数增减性的基础应用题，解题的关键是先明确函数的开口方向和对称轴位置，再结合增减性的区间判断参数的取值范围，解题时要注意判断边界值m=4是否符合题意，避免漏选等号的情况。
【难度系数】
0.7
3.若$A(-2,y_1),B(1,y_2),C(2,y_3)$是抛物线$y=-(x+1)^2+2$上的三点,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系用“＞”表示为
$y_1＞y_2＞y_3$
.答案
$y_1＞y_2＞y_3$
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以用两种思路解题：一是利用二次函数$y=a(x-h)^2+k$的性质判断，二是直接代入横坐标计算函数值再比较。首先明确该抛物线$a=-1＜0$，开口向下，在对称轴处函数值最大，且抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越大，后续只需计算三点到对称轴的距离，或直接代入求值，即可得出$y_1,y_2,y_3$的大小关系。
【解析】
方法一：利用二次函数性质比较
已知抛物线解析式为$y=-(x+1)^2+2$，
∴ $a=-1＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$。
开口向下的抛物线上，点离对称轴越近，对应的函数值越大，分别计算三点到对称轴的距离：
点A到对称轴的距离：$|-2 - (-1)|=1$
点B到对称轴的距离：$|1 - (-1)|=2$
点C到对称轴的距离：$|2 - (-1)|=3$
∵ $1＜2＜3$，
∴ $y_1＞y_2＞y_3$。
方法二：代入求值比较
把$x=-2$代入解析式得：$y_1=-(-2+1)^2+2=-1+2=1$
把$x=1$代入解析式得：$y_2=-(1+1)^2+2=-4+2=-2$
把$x=2$代入解析式得：$y_3=-(2+1)^2+2=-9+2=-7$
∵ $1＞-2＞-7$，
∴ $y_1＞y_2＞y_3$。
【答案】
$y_1＞y_2＞y_3$
【知识点】
二次函数的图象性质，二次函数上点的坐标特征，函数值大小比较
【点评】
本题考查二次函数的基础应用，解题方法灵活，既可以通过抛物线开口方向、对称轴与点的位置关系快速判断，也可以通过直接代入计算验证，熟练掌握二次函数$y=a(x-h)^2+k$的相关性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以用两种思路解题：一是利用二次函数$y=a(x-h)^2+k$的性质判断，二是直接代入横坐标计算函数值再比较。首先明确该抛物线$a=-1＜0$，开口向下，在对称轴处函数值最大，且抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越大，后续只需计算三点到对称轴的距离，或直接代入求值，即可得出$y_1,y_2,y_3$的大小关系。
【解析】
方法一：利用二次函数性质比较
已知抛物线解析式为$y=-(x+1)^2+2$，
∴ $a=-1＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$。
开口向下的抛物线上，点离对称轴越近，对应的函数值越大，分别计算三点到对称轴的距离：
点A到对称轴的距离：$|-2 - (-1)|=1$
点B到对称轴的距离：$|1 - (-1)|=2$
点C到对称轴的距离：$|2 - (-1)|=3$
∵ $1＜2＜3$，
∴ $y_1＞y_2＞y_3$。
方法二：代入求值比较
把$x=-2$代入解析式得：$y_1=-(-2+1)^2+2=-1+2=1$
把$x=1$代入解析式得：$y_2=-(1+1)^2+2=-4+2=-2$
把$x=2$代入解析式得：$y_3=-(2+1)^2+2=-9+2=-7$
∵ $1＞-2＞-7$，
∴ $y_1＞y_2＞y_3$。
【答案】
$y_1＞y_2＞y_3$
【知识点】
二次函数的图象性质，二次函数上点的坐标特征，函数值大小比较
【点评】
本题考查二次函数的基础应用，解题方法灵活，既可以通过抛物线开口方向、对称轴与点的位置关系快速判断，也可以通过直接代入计算验证，熟练掌握二次函数$y=a(x-h)^2+k$的相关性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
4.当$-3≤ x≤ 2$时，二次函数$y=a(x-2)^2+1-4a(a≠0)$的最大值为8，则$a=$
$\frac{1}{3}$或$-\frac{7}{4}$
。答案
$\frac{1}{3}$或$-\frac{7}{4}$
解析
【分析】
首先观察二次函数解析式为顶点式，可直接得到对称轴为直线$x=2$，给定自变量的取值范围是$-3≤x≤2$，即自变量全部在对称轴及对称轴左侧。二次函数的最值由开口方向决定，因此需分$a＞0$和$a＜0$两种情况讨论：①若$a＞0$，抛物线开口向上，对称轴左侧y随x增大而减小，所以区间内$x=-3$时取最大值；②若$a＜0$，抛物线开口向下，对称轴左侧y随x增大而增大，所以区间内$x=2$时取最大值。分别代入最值列方程求解，再验证a的符号是否符合分类条件即可。
【解析】
二次函数$y=a(x-2)^2+1-4a$的对称轴为直线$x=2$，已知$-3≤x≤2$，分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时，抛物线开口向上，在$x≤2$范围内，y随x的增大而减小，因此当$x=-3$时，y取得最大值8。
将$x=-3，y=8$代入解析式得：
$\begin{aligned}8&=a×(-3-2)^2 +1 -4a \\8&=25a +1 -4a \\21a&=7 \\a&=\frac{1}{3}\end{aligned}$
$a=\frac{1}{3}＞0$，符合条件。
2. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，在$x≤2$范围内，y随x的增大而增大，因此当$x=2$时，y取得最大值8。
将$x=2，y=8$代入解析式得：
$\begin{aligned}8&=a×(2-2)^2 +1 -4a \\8&=1 -4a \\4a&=-7 \\a&=-\frac{7}{4}\end{aligned}$
$a=-\frac{7}{4}＜0$，符合条件。
综上，$a$的值为$\frac{1}{3}$或$-\frac{7}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$或$-\frac{7}{4}$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数最值求解；分类讨论思想
【点评】
本题核心是结合二次函数的开口方向和增减性，判断给定区间内的最值点，解题时需注意分类讨论a的正负，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先观察二次函数解析式为顶点式，可直接得到对称轴为直线$x=2$，给定自变量的取值范围是$-3≤x≤2$，即自变量全部在对称轴及对称轴左侧。二次函数的最值由开口方向决定，因此需分$a＞0$和$a＜0$两种情况讨论：①若$a＞0$，抛物线开口向上，对称轴左侧y随x增大而减小，所以区间内$x=-3$时取最大值；②若$a＜0$，抛物线开口向下，对称轴左侧y随x增大而增大，所以区间内$x=2$时取最大值。分别代入最值列方程求解，再验证a的符号是否符合分类条件即可。
【解析】
二次函数$y=a(x-2)^2+1-4a$的对称轴为直线$x=2$，已知$-3≤x≤2$，分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时，抛物线开口向上，在$x≤2$范围内，y随x的增大而减小，因此当$x=-3$时，y取得最大值8。
将$x=-3，y=8$代入解析式得：
$\begin{aligned}8&=a×(-3-2)^2 +1 -4a \\8&=25a +1 -4a \\21a&=7 \\a&=\frac{1}{3}\end{aligned}$
$a=\frac{1}{3}＞0$，符合条件。
2. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，在$x≤2$范围内，y随x的增大而增大，因此当$x=2$时，y取得最大值8。
将$x=2，y=8$代入解析式得：
$\begin{aligned}8&=a×(2-2)^2 +1 -4a \\8&=1 -4a \\4a&=-7 \\a&=-\frac{7}{4}\end{aligned}$
$a=-\frac{7}{4}＜0$，符合条件。
综上，$a$的值为$\frac{1}{3}$或$-\frac{7}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$或$-\frac{7}{4}$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数最值求解；分类讨论思想
【点评】
本题核心是结合二次函数的开口方向和增减性，判断给定区间内的最值点，解题时需注意分类讨论a的正负，避免漏解。
【难度系数】
0.6
5.已知函数$y=3(x-4)^2 -27$。
(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。
(2)当x的取值在什么范围时，y随x的增大而增大？
(3)当x取何值时，y取得最值？求出这个最值。
(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。
(2)当x的取值在什么范围时，y随x的增大而增大？
(3)当x取何值时，y取得最值？求出这个最值。
答案
(1)此函数图象的开口向上，对称轴为直线$x=4$，顶点坐标为$(4,-27)$.
(2)当$x＞4$时，$y$随$x$的增大而增大.
(3)当$x=4$时，$y$有最小值，最小值为$-27$.
(2)当$x＞4$时，$y$随$x$的增大而增大.
(3)当$x=4$时，$y$有最小值，最小值为$-27$.
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的图象与性质，解题思路如下：1. 先根据二次项系数$a$的符号判断开口方向；2. 直接从顶点式中提取$h$、$k$的值，得到对称轴和顶点坐标；3. 结合开口方向和对称轴，判断函数的增减性；4. 根据开口方向确定最值类型，顶点处的函数值就是最值。
【解析】
(1) 函数$y=3(x-4)^2 -27$是二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，对应参数为$a=3$，$h=4$，$k=-27$。
因为$a=3＞0$，所以函数图象开口向上；
对称轴为直线$x=h=4$；
顶点坐标为$(h,k)=(4,-27)$。
(2) 开口向上的抛物线，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，已知对称轴为直线$x=4$，因此当$x＞4$时，$y$随$x$的增大而增大。
(3) 开口向上的抛物线有最低点，顶点处函数值为最小值，因此当$x=4$时，$y$取得最小值，最小值为$k=-27$。
【答案】
(1)此函数图象的开口向上，对称轴为直线$x=4$，顶点坐标为$(4,-27)$。
(2)当$x＞4$时，$y$随$x$的增大而增大。
(3)当$x=4$时，$y$有最小值，最小值为$-27$。
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心是掌握顶点式$y=a(x-h)^2+k$中各参数对应的图象特征，熟练记忆相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的图象与性质，解题思路如下：1. 先根据二次项系数$a$的符号判断开口方向；2. 直接从顶点式中提取$h$、$k$的值，得到对称轴和顶点坐标；3. 结合开口方向和对称轴，判断函数的增减性；4. 根据开口方向确定最值类型，顶点处的函数值就是最值。
【解析】
(1) 函数$y=3(x-4)^2 -27$是二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，对应参数为$a=3$，$h=4$，$k=-27$。
因为$a=3＞0$，所以函数图象开口向上；
对称轴为直线$x=h=4$；
顶点坐标为$(h,k)=(4,-27)$。
(2) 开口向上的抛物线，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，已知对称轴为直线$x=4$，因此当$x＞4$时，$y$随$x$的增大而增大。
(3) 开口向上的抛物线有最低点，顶点处函数值为最小值，因此当$x=4$时，$y$取得最小值，最小值为$k=-27$。
【答案】
(1)此函数图象的开口向上，对称轴为直线$x=4$，顶点坐标为$(4,-27)$。
(2)当$x＞4$时，$y$随$x$的增大而增大。
(3)当$x=4$时，$y$有最小值，最小值为$-27$。
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心是掌握顶点式$y=a(x-h)^2+k$中各参数对应的图象特征，熟练记忆相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
6.二次函数$y=a(x+1)^2+4$的图象的一部分如图所示，已知该图象过点$A(-4,0)$。
(1)确定$a$的值。
(2)设抛物线的顶点是$P$，$B$是$x$轴上一点，若$△ PAB$的面积为6，求点$B$的坐标。
(1)确定$a$的值。
(2)设抛物线的顶点是$P$，$B$是$x$轴上一点，若$△ PAB$的面积为6，求点$B$的坐标。
答案
(1)$a=-\frac{4}{9}$.
(2)点$B$的坐标为$(-1,0)$或$(-7,0)$.
(2)点$B$的坐标为$(-1,0)$或$(-7,0)$.
解析
【分析】
(1) 已知二次函数的顶点式解析式，且给出图象经过的点A的坐标，只需将点A坐标代入解析式，解关于a的一元一次方程即可求出a的值。
(2) 先根据二次函数顶点式直接得出顶点P的坐标，△PAB的边AB在x轴上，因此AB边上的高等于顶点P的纵坐标的绝对值，结合已知的三角形面积可求出AB的长度，再根据点A的坐标，分点B在点A左侧和右侧两种情况计算即可得到点B的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 将点$A(-4,0)$代入二次函数解析式$y=a(x+1)^2+4$，得：
$0=a(-4+1)^2+4$
化简得：$9a+4=0$
解得：$a=-\frac{4}{9}$
(2) 由二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，可得该抛物线顶点$P$的坐标为$(-1,4)$。
设点$B$的坐标为$(x,0)$，则$△ PAB$中，边$AB$的长度为$|x-(-4)|=|x+4|$，$AB$边上的高为点$P$到$x$轴的距离，即$4$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，已知$S_{△ PAB}=6$，代入得：
$\frac{1}{2}×|x+4|×4=6$
化简得：$2|x+4|=6$，即$|x+4|=3$
当$x+4=3$时，$x=-1$；当$x+4=-3$时，$x=-7$
因此点$B$的坐标为$(-1,0)$或$(-7,0)$
【答案】
(1)$a=-\frac{4}{9}$
(2)点$B$的坐标为$(-1,0)$或$(-7,0)$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式的性质；三角形面积计算
【点评】
本题围绕二次函数顶点式展开考察，解题的核心是熟练掌握顶点式中顶点坐标的求法，计算点B坐标时要注意分情况讨论，避免因忽略其中一种位置导致漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 已知二次函数的顶点式解析式，且给出图象经过的点A的坐标，只需将点A坐标代入解析式，解关于a的一元一次方程即可求出a的值。
(2) 先根据二次函数顶点式直接得出顶点P的坐标，△PAB的边AB在x轴上，因此AB边上的高等于顶点P的纵坐标的绝对值，结合已知的三角形面积可求出AB的长度，再根据点A的坐标，分点B在点A左侧和右侧两种情况计算即可得到点B的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 将点$A(-4,0)$代入二次函数解析式$y=a(x+1)^2+4$，得：
$0=a(-4+1)^2+4$
化简得：$9a+4=0$
解得：$a=-\frac{4}{9}$
(2) 由二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，可得该抛物线顶点$P$的坐标为$(-1,4)$。
设点$B$的坐标为$(x,0)$，则$△ PAB$中，边$AB$的长度为$|x-(-4)|=|x+4|$，$AB$边上的高为点$P$到$x$轴的距离，即$4$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，已知$S_{△ PAB}=6$，代入得：
$\frac{1}{2}×|x+4|×4=6$
化简得：$2|x+4|=6$，即$|x+4|=3$
当$x+4=3$时，$x=-1$；当$x+4=-3$时，$x=-7$
因此点$B$的坐标为$(-1,0)$或$(-7,0)$
【答案】
(1)$a=-\frac{4}{9}$
(2)点$B$的坐标为$(-1,0)$或$(-7,0)$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式的性质；三角形面积计算
【点评】
本题围绕二次函数顶点式展开考察，解题的核心是熟练掌握顶点式中顶点坐标的求法，计算点B坐标时要注意分情况讨论，避免因忽略其中一种位置导致漏解。
【难度系数】
0.7
