$y=a(x-h)^2+k$的关系
将二次函数$y=ax^2+bx+c$配方成$y=a(x-h)^2+k$的形式：$y=ax^2+bx+c=$
.

$a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$

【分析】
要将二次函数一般式配方为顶点式，首先需要把含x的二次项、一次项提取二次项系数a，将括号内的二次项系数化为1；再利用完全平方公式在括号内凑完全平方式，凑平方时要注意恒等变形，即新增的数要对应减去，避免改变原式的值；最后合并化简常数项即可得到结果。
【解析】
对$y=ax^2+bx+c$配方步骤如下：
1. 提取二次项系数$a$，分离常数项：
$y=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c$
2. 括号内凑完全平方：一次项系数$\frac{b}{a}$的一半为$\frac{b}{2a}$，其平方为$(\frac{b}{2a})^2$，在括号内先加后减该数保证式子恒等：
$y=a[x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2]+c$
3. 将括号内前三项改写为完全平方形式，把多余的常数项移出括号：
$y=a(x+\frac{b}{2a})^2 - a·\frac{b^2}{4a^2} + c$
4. 化简常数项：
$y=a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$
【答案】
$a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$
【知识点】
二次函数配方，完全平方公式，整式恒等变形
【点评】
本题考查二次函数一般式转化为顶点式的配方方法，是二次函数相关内容的基础技能，熟练掌握配方步骤和恒等变形规则即可正确解题。
【难度系数】
0.8

学习任务二 二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图象和性质
二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图象和性质
二次函数
$ y=ax^2+bx+c(a＞0) $
$ y=ax^2+bx+c(a＜0) $
图象

开口方向
向上
向下
续表
二次函数
$ y=ax^2+bx+c(a＞0) $
$ y=ax^2+bx+c(a＜0) $
对称轴
直线 $ x= $
顶点坐标
（，）
增减性
当 $ x＜ $ 时，y随x的增大而减小；当 $ x＞ $ 时，y随x的增大而增大

当 $ x＜ $ 时，y随x的增大而增大；当 $ x＞ $ 时，y随x的增大而减小
最值
当 $ x= $ 时，$ y_{最小值}= $
当 $ x= $ 时，$ y_{最大值}= $

对称轴：$-\frac{b}{2a}$
顶点坐标：横坐标$-\frac{b}{2a}$，纵坐标$\frac{4ac-b^2}{4a}$
a＞0增减性分界点：$-\frac{b}{2a}$、$-\frac{b}{2a}$
a＜0增减性分界点：$-\frac{b}{2a}$、$-\frac{b}{2a}$
a＞0最值：$x=-\frac{b}{2a}$时，最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$
a＜0最值：$x=-\frac{b}{2a}$时，最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$

【分析】
要推导二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$的相关性质，我们可以利用已经学过的配方法，将一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，结合顶点式的对称轴、顶点坐标、增减性和最值的规律，对应推导一般式的对应结论即可。
【解析】
我们先对二次函数一般式进行配方变形：
$\begin{aligned}y&=ax^2+bx+c\\&=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c\\&=a[x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2]+c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a}+c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac-b^2}{4a}\end{aligned}$
对照顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质（对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$），可得：
1. 对称轴：无论$a$正负，对称轴都是直线$x=-\frac{b}{2a}$；
2. 顶点坐标：为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$；
3. 增减性：
当$a＞0$时，抛物线开口向上，在对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，右侧$y$随$x$增大而增大，即当$x＜-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$增大而减小；当$x＞-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$增大而增大；
当$a＜0$时，抛物线开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，右侧$y$随$x$增大而减小，即当$x＜-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$增大而增大；当$x＞-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$增大而减小；
4. 最值：
当$a＞0$时，抛物线开口向上，顶点为最低点，即当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y_{最小值}=\frac{4ac-b^2}{4a}$；
当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点为最高点，即当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y_{最大值}=\frac{4ac-b^2}{4a}$。
【答案】
对称轴：$-\frac{b}{2a}$；
顶点坐标：$-\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-b^2}{4a}$；
$a＞0$增减性分界点：$-\frac{b}{2a}$，$-\frac{b}{2a}$；
$a＜0$增减性分界点：$-\frac{b}{2a}$，$-\frac{b}{2a}$；
$a＞0$最值：$x=-\frac{b}{2a}$时，最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$；
$a＜0$最值：$x=-\frac{b}{2a}$时，最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
【知识点】
1. 二次函数一般式的性质
2. 配方法
3. 二次函数的增减性与最值
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考察题，核心是通过配方法推导一般式的相关结论，这些结论是解决二次函数各类问题的基础，需要熟练记忆和运用。
【难度系数】
0.8

【例1】已知二次函数$y=x^2+bx+c$的图象经过点$(4,3),(3,0)$。
(1)求$b,c$的值。
(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴。
(3)在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数$y=x^2+bx+c$的图象。

解:

(1)$b=-4,c=3$.
(2)顶点坐标是$(2,-1)$,对称轴为直线$x=2$.
(3)如图所示。

【分析】
(1) 要求b、c的值，已知二次函数图象经过两个已知点，可利用待定系数法，将两点坐标代入函数解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出b、c的值。
(2) 求顶点坐标和对称轴，可将第一问求出的一般式通过配方法转化为顶点式，或者直接利用二次函数顶点、对称轴公式计算，即可得到结果。
(3) 画二次函数图象，先确定图象的关键点：顶点、与x轴的交点、与y轴的交点及对称点，再在坐标系中描出这些点，最后用平滑曲线顺次连接即可得到函数图象。
【解析】
(1) 将点$(4,3)$、$(3,0)$代入二次函数$y=x^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}16 + 4b + c = 3 \\9 + 3b + c = 0\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$c$，得：$7 + b = 3$，解得$b=-4$。
将$b=-4$代入$9 + 3b + c = 0$，得：$9 + 3×(-4) + c = 0$，解得$c=3$。
(2) 由(1)得二次函数解析式为$y=x^2-4x+3$，用配方法变形：
$y=x^2-4x+3 = x^2-4x+4 - 1 = (x-2)^2 -1$
根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的性质，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，可得该函数的顶点坐标为$(2,-1)$，对称轴为直线$x=2$。
(也可使用公式法计算：对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×1}=2$，将$x=2$代入解析式得$y=2^2 -4×2 +3=-1$，故顶点坐标为$(2,-1)$)
(3) 先确定函数图象的关键点：顶点$(2,-1)$，与x轴交点$(1,0)$、$(3,0)$，与y轴交点$(0,3)$，对称点$(4,3)$，在平面直角坐标系中描出上述点，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到二次函数的图象。
【答案】
(1)$b=-4,c=3$
(2)顶点坐标是$(2,-1)$，对称轴为直线$x=2$
(3)如图所示。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的性质；二次函数图象绘制
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，全面考查了二次函数解析式求解、性质应用及图象绘制的相关能力，解题的关键是熟练掌握待定系数法及二次函数的基本性质。
【难度系数】
0.8