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1.已知二次函数$y=2x^2 -4x +3$。
(1)将$y=2x^2 -4x +3$化成$y=a(x-h)^2 +k$的形式。
(2)求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标。
(3)当$-1≤ x≤4$时，请求出$y$的取值范围。
(1)将$y=2x^2 -4x +3$化成$y=a(x-h)^2 +k$的形式。
(2)求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标。
(3)当$-1≤ x≤4$时，请求出$y$的取值范围。
答案
(1)$y=2(x-1)^2+1$.
(2)由(1),知该二次函数图象的对称轴为直线$x=1$,顶点坐标为$(1,1)$.
(3)$1≤ y≤19$.
(2)由(1),知该二次函数图象的对称轴为直线$x=1$,顶点坐标为$(1,1)$.
(3)$1≤ y≤19$.
解析
【分析】
(1) 第一问需将二次函数一般式转化为顶点式，核心用配方法：先提取二次项系数，再对括号内的二次项、一次项配方，通过“加一次项系数一半的平方再减相同数”保证式子值不变，整理即可得到目标形式。
(2) 第二问直接利用顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，代入第一问结果即可求解。
(3) 第三问求定区间内的函数取值范围，先根据二次项系数判断开口方向，确定顶点处为最小值点，再比较区间两个端点到对称轴的距离，离对称轴越远的点函数值越大，分别计算最值即可得到取值范围。
【解析】
(1) 对$y=2x^2-4x+3$配方：
先提取二次项系数2：$y=2(x^2-2x)+3$
将括号内配成完全平方：$x^2-2x=(x-1)^2-1$，代入得：
$y=2[(x-1)^2-1]+3=2(x-1)^2-2+3=2(x-1)^2+1$
(2) 由(1)得到的顶点式$y=2(x-1)^2+1$，对应$h=1,k=1$，因此该二次函数图象的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,1)$。
(3) 因为$a=2＞0$，二次函数开口向上，顶点为图象最低点，所以当$x=1$时，$y$取最小值1。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-1$时，$y=2×(-1-1)^2+1=9$；
当$x=4$时，$y=2×(4-1)^2+1=19$。
因为$19＞9$，所以区间内$y$的最大值为19，因此$y$的取值范围是$1≤y≤19$。
【答案】
(1)$y=2(x-1)^2+1$
(2)对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,1)$
(3)$1≤ y≤19$
【知识点】
二次函数配方；顶点式的性质；二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数的基础常规题型，重点考查配方法的应用和二次函数增减性的理解，掌握顶点式相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问需将二次函数一般式转化为顶点式，核心用配方法：先提取二次项系数，再对括号内的二次项、一次项配方，通过“加一次项系数一半的平方再减相同数”保证式子值不变，整理即可得到目标形式。
(2) 第二问直接利用顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，代入第一问结果即可求解。
(3) 第三问求定区间内的函数取值范围，先根据二次项系数判断开口方向，确定顶点处为最小值点，再比较区间两个端点到对称轴的距离，离对称轴越远的点函数值越大，分别计算最值即可得到取值范围。
【解析】
(1) 对$y=2x^2-4x+3$配方：
先提取二次项系数2：$y=2(x^2-2x)+3$
将括号内配成完全平方：$x^2-2x=(x-1)^2-1$，代入得：
$y=2[(x-1)^2-1]+3=2(x-1)^2-2+3=2(x-1)^2+1$
(2) 由(1)得到的顶点式$y=2(x-1)^2+1$，对应$h=1,k=1$，因此该二次函数图象的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,1)$。
(3) 因为$a=2＞0$，二次函数开口向上，顶点为图象最低点，所以当$x=1$时，$y$取最小值1。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-1$时，$y=2×(-1-1)^2+1=9$；
当$x=4$时，$y=2×(4-1)^2+1=19$。
因为$19＞9$，所以区间内$y$的最大值为19，因此$y$的取值范围是$1≤y≤19$。
【答案】
(1)$y=2(x-1)^2+1$
(2)对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,1)$
(3)$1≤ y≤19$
【知识点】
二次函数配方；顶点式的性质；二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数的基础常规题型，重点考查配方法的应用和二次函数增减性的理解，掌握顶点式相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
【例2】已知二次函数$y=x^2+bx+c$。
(1)若点$P(-2,c)$在该函数图象上，求此函数图象的对称轴。
(2)在(1)的基础上，若$c=-3$，当$-5≤x≤1$时，求该二次函数的最大值。
(3)若该函数在$x≤1$时，$y$随$x$的增大而减小；在$x≥3$时，$y$随$x$的增大而增大，请求出$b$的取值范围。
解：
【规律方法】
研究二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象及确定函数值范围的一般思路
(1)配方：将$y=ax^2+bx+c$转化为$y=a(x-h)^2+k$的形式，可确定图象的顶点坐标与对称轴，有利于研究图象平移时对应解析式的变化。
(2)分析：结合给定的自变量的取值范围判断增减性，再求端点和对称轴处的函数值，以确定函数值的取值范围。
变式训练
(1)若点$P(-2,c)$在该函数图象上，求此函数图象的对称轴。
(2)在(1)的基础上，若$c=-3$，当$-5≤x≤1$时，求该二次函数的最大值。
(3)若该函数在$x≤1$时，$y$随$x$的增大而减小；在$x≥3$时，$y$随$x$的增大而增大，请求出$b$的取值范围。
解：
【规律方法】
研究二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象及确定函数值范围的一般思路
(1)配方：将$y=ax^2+bx+c$转化为$y=a(x-h)^2+k$的形式，可确定图象的顶点坐标与对称轴，有利于研究图象平移时对应解析式的变化。
(2)分析：结合给定的自变量的取值范围判断增减性，再求端点和对称轴处的函数值，以确定函数值的取值范围。
变式训练
答案
(1)直线$x=-1$.
(2)二次函数的最大值为12.
(3)$-6≤ b≤-2$.
(2)二次函数的最大值为12.
(3)$-6≤ b≤-2$.
解析
【分析】
(1) 点在二次函数图象上时，坐标满足函数解析式，将点$P$坐标代入解析式可消去$c$求出$b$，再结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$即可求出对称轴；
(2) 代入$c$的值得到完整解析式，结合函数开口方向和对称轴，判断给定自变量区间内离对称轴最远的点，代入计算即可得到最大值；
(3) 该二次函数开口向上，对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，右侧$y$随$x$增大而增大。根据题中给出的增减性区间可确定对称轴的取值范围，列不等式求解即可得到$b$的范围。
【解析】
(1) 将点$P(-2,c)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$c=(-2)^2-2b+c$
化简得$0=4-2b$，解得$b=2$。
二次函数中$a=1$，代入对称轴公式得$x=-\frac{2}{2×1}=-1$，即对称轴为直线$x=-1$。
(2) 当$c=-3$、$b=2$时，函数解析式为$y=x^2+2x-3$。
该函数开口向上，对称轴为$x=-1$，在$-5≤x≤1$区间内，点离对称轴越远函数值越大：
当$x=-5$时，$y=(-5)^2+2×(-5)-3=12$；
当$x=1$时，$y=1^2+2×1-3=0$，对比得最大值为12。
(3) 该二次函数开口向上，对称轴为$x=-\frac{b}{2}$。
由题意得对称轴需满足$1≤-\frac{b}{2}≤3$，
不等式两边同乘2得$2≤-b≤6$，同乘$-1$（不等号方向改变）得$-6≤b≤-2$。
【答案】
(1)直线$x=-1$；(2)12；(3)$-6≤ b≤-2$
【知识点】
二次函数图象与性质；二次函数对称轴；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数基础综合题，覆盖了对称轴求解、定区间求最值、根据增减性求参数三类常考题型，掌握二次函数开口方向、对称轴与增减性的对应关系是解题核心。
【难度系数】
0.7
(1) 点在二次函数图象上时，坐标满足函数解析式，将点$P$坐标代入解析式可消去$c$求出$b$，再结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$即可求出对称轴；
(2) 代入$c$的值得到完整解析式，结合函数开口方向和对称轴，判断给定自变量区间内离对称轴最远的点，代入计算即可得到最大值；
(3) 该二次函数开口向上，对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，右侧$y$随$x$增大而增大。根据题中给出的增减性区间可确定对称轴的取值范围，列不等式求解即可得到$b$的范围。
【解析】
(1) 将点$P(-2,c)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$c=(-2)^2-2b+c$
化简得$0=4-2b$，解得$b=2$。
二次函数中$a=1$，代入对称轴公式得$x=-\frac{2}{2×1}=-1$，即对称轴为直线$x=-1$。
(2) 当$c=-3$、$b=2$时，函数解析式为$y=x^2+2x-3$。
该函数开口向上，对称轴为$x=-1$，在$-5≤x≤1$区间内，点离对称轴越远函数值越大：
当$x=-5$时，$y=(-5)^2+2×(-5)-3=12$；
当$x=1$时，$y=1^2+2×1-3=0$，对比得最大值为12。
(3) 该二次函数开口向上，对称轴为$x=-\frac{b}{2}$。
由题意得对称轴需满足$1≤-\frac{b}{2}≤3$，
不等式两边同乘2得$2≤-b≤6$，同乘$-1$（不等号方向改变）得$-6≤b≤-2$。
【答案】
(1)直线$x=-1$；(2)12；(3)$-6≤ b≤-2$
【知识点】
二次函数图象与性质；二次函数对称轴；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数基础综合题，覆盖了对称轴求解、定区间求最值、根据增减性求参数三类常考题型，掌握二次函数开口方向、对称轴与增减性的对应关系是解题核心。
【难度系数】
0.7
