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知识点1）过三点的圆
重点提示
这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一条直线上的三个点不能作圆.“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆.
不在同一条直线上
的三个点确定一个圆.重点提示
这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一条直线上的三个点不能作圆.“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆.
答案
不在同一条直线上
解析
【分析】
本题考查过三点确定圆的基本条件，解题时首先要明确“确定一个圆”的含义是有且只有一个圆，核心是找到唯一的圆心（到三个点距离相等的点）。我们可以从垂直平分线的性质出发分析：若三点共线，两两连线的垂直平分线互相平行，无交点，不存在符合要求的圆心；只有三点不共线时，垂直平分线有唯一交点，能确定唯一的圆，由此就能得出答案。
【解析】
要判断什么样的三个点能确定一个圆，需结合圆心的性质推导：
1. 圆心到圆上任意点的距离相等，因此过三点的圆的圆心，必须同时在这三点中任意两点连线的垂直平分线上。
2. 若三个点在同一条直线上，相邻两点连线的垂直平分线互相平行，没有交点，不存在满足条件的圆心，因此共线三点无法确定圆。
3. 若三个点不在同一条直线上，任意两点连线的垂直平分线会交于唯一一点，即存在唯一的圆心，对应的半径也唯一，因此过这三个点有且只有一个圆。
综上，横线处应填“不在同一条直线上”。
【答案】
不在同一条直线上
【知识点】
过三点的圆；确定圆的条件
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对“过三点确定圆”的前提条件的识记与理解，只要准确掌握共线三点不能作圆、不共线三点可确定唯一圆的结论，就能快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查过三点确定圆的基本条件，解题时首先要明确“确定一个圆”的含义是有且只有一个圆，核心是找到唯一的圆心（到三个点距离相等的点）。我们可以从垂直平分线的性质出发分析：若三点共线，两两连线的垂直平分线互相平行，无交点，不存在符合要求的圆心；只有三点不共线时，垂直平分线有唯一交点，能确定唯一的圆，由此就能得出答案。
【解析】
要判断什么样的三个点能确定一个圆，需结合圆心的性质推导：
1. 圆心到圆上任意点的距离相等，因此过三点的圆的圆心，必须同时在这三点中任意两点连线的垂直平分线上。
2. 若三个点在同一条直线上，相邻两点连线的垂直平分线互相平行，没有交点，不存在满足条件的圆心，因此共线三点无法确定圆。
3. 若三个点不在同一条直线上，任意两点连线的垂直平分线会交于唯一一点，即存在唯一的圆心，对应的半径也唯一，因此过这三个点有且只有一个圆。
综上，横线处应填“不在同一条直线上”。
【答案】
不在同一条直线上
【知识点】
过三点的圆；确定圆的条件
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对“过三点确定圆”的前提条件的识记与理解，只要准确掌握共线三点不能作圆、不共线三点可确定唯一圆的结论，就能快速作答。
【难度系数】
0.9
知识点2）三角形的外接圆与外心
外接圆:经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫作三角形的外接圆.
外心:三角形外接圆的圆心是三角形三条边的
重点提示
1.“接”是说明三角形的顶点在圆上或者经过三角形的三个顶点.
2.锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点;钝角三角形的外心在三角形的外部.
3.找三角形的外心,就是找这个三角形的三条边的垂直平分线的交点,三角形的外接圆只有一个,而一个圆的内接三角形却有无数个.
外接圆:经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫作三角形的外接圆.
外心:三角形外接圆的圆心是三角形三条边的
垂直平分线
的交点,叫作这个三角形的外心,这个三角形叫作圆的内接三角形.重点提示
1.“接”是说明三角形的顶点在圆上或者经过三角形的三个顶点.
2.锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点;钝角三角形的外心在三角形的外部.
3.找三角形的外心,就是找这个三角形的三条边的垂直平分线的交点,三角形的外接圆只有一个,而一个圆的内接三角形却有无数个.
答案
垂直平分线
解析
【分析】
本题考查三角形外心的定义相关内容，可结合外心的性质推导答案：首先明确外心是三角形外接圆的圆心，因此它到三角形三个顶点的距离都等于外接圆半径，即三点到外心的距离相等。根据线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，因此满足到三个顶点距离都相等的点，必然同时在三角形三条边的垂直平分线上，即可得出外心是三条边垂直平分线的交点。
【解析】
三角形的外心是外接圆的圆心，需要到三角形三个顶点的距离相等（等于外接圆半径）。根据线段垂直平分线的判定，到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，因此同时到三角形三个顶点距离相等的点，是三角形三条边的垂直平分线的公共交点，即外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，故空缺处填垂直平分线。
【答案】
垂直平分线
【知识点】
1. 三角形外心的定义
2. 线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对三角形外心相关基础定义的掌握情况，熟记相关概念即可快速作答，是后续学习三角形与圆结合类问题的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形外心的定义相关内容，可结合外心的性质推导答案：首先明确外心是三角形外接圆的圆心，因此它到三角形三个顶点的距离都等于外接圆半径，即三点到外心的距离相等。根据线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，因此满足到三个顶点距离都相等的点，必然同时在三角形三条边的垂直平分线上，即可得出外心是三条边垂直平分线的交点。
【解析】
三角形的外心是外接圆的圆心，需要到三角形三个顶点的距离相等（等于外接圆半径）。根据线段垂直平分线的判定，到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，因此同时到三角形三个顶点距离相等的点，是三角形三条边的垂直平分线的公共交点，即外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，故空缺处填垂直平分线。
【答案】
垂直平分线
【知识点】
1. 三角形外心的定义
2. 线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对三角形外心相关基础定义的掌握情况，熟记相关概念即可快速作答，是后续学习三角形与圆结合类问题的基础。
【难度系数】
0.9
例 已知直线$l:y=x-4$，点$A(1,0)$，$B(0,2)$，设$P$为直线$l$上的一动点，当点$P$的坐标为
分析:设直线$AB$的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将点$A(1,0)$，$B(0,2)$的坐标分别代入，得
$\begin{cases}k+b=0, \\ b=2.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-2, \\ b=2.\end{cases}$
∴ 直线$AB$的解析式为$y=-2x+2$.
解方程组$\begin{cases}y=x-4, \\ y=-2x+2,\end{cases}$得$\begin{cases}x=2, \\ y=-2.\end{cases}$
∴ 当点$P$的坐标为$(2,-2)$时，过$P,A,B$三点不能作出一个圆.
答案:$(2,-2)$
方法点拨 由题意可知，当$P,A,B$三点共线时，过这三点不能作出一个圆.
(2,-2)
时，过$P,A,B$三点不能作出一个圆.分析:设直线$AB$的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将点$A(1,0)$，$B(0,2)$的坐标分别代入，得
$\begin{cases}k+b=0, \\ b=2.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-2, \\ b=2.\end{cases}$
∴ 直线$AB$的解析式为$y=-2x+2$.
解方程组$\begin{cases}y=x-4, \\ y=-2x+2,\end{cases}$得$\begin{cases}x=2, \\ y=-2.\end{cases}$
∴ 当点$P$的坐标为$(2,-2)$时，过$P,A,B$三点不能作出一个圆.
答案:$(2,-2)$
方法点拨 由题意可知，当$P,A,B$三点共线时，过这三点不能作出一个圆.
答案
$(2,-2)$
解析
【分析】
解题的核心依据是：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，若三点共线则无法作出过这三点的圆。因此本题需要先找到直线AB与直线l的交点，该交点就是所求的点P（此时P、A、B三点共线）。解题步骤分为两步：第一步用待定系数法求出直线AB的解析式，第二步联立直线AB和直线l的解析式，解方程组得到交点坐标，即为P的坐标。
【解析】
根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”可知：当P、A、B三点共线时，过这三点不能作出一个圆。
1. 求直线AB的解析式：
设直线AB的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$A(1,0)$、$B(0,2)$代入解析式得：
$\begin{cases}k + b = 0 \\b = 2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2 \\ b=2\end{cases}$，因此直线AB的解析式为$y=-2x+2$。
2. 求直线AB与直线$l:y=x-4$的交点：
联立两个直线的解析式得方程组：
$\begin{cases}y = x - 4 \\y = -2x + 2\end{cases}$
将第一个方程代入第二个方程得：$x-4=-2x+2$，解得$x=2$，把$x=2$代入$y=x-4$得$y=2-4=-2$，即方程组的解为$\begin{cases}x=2 \\ y=-2\end{cases}$。
因此当点P的坐标为$(2,-2)$时，过P、A、B三点不能作出一个圆。
【答案】
$(2,-2)$
【知识点】
确定圆的条件，待定系数法求一次函数解析式，二元一次方程组的解法
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题，解题关键是将“三点不能作圆”的几何条件转化为“三点共线”，进而转化为求两条直线交点的代数问题，考查学生对基础定理的理解和知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
解题的核心依据是：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，若三点共线则无法作出过这三点的圆。因此本题需要先找到直线AB与直线l的交点，该交点就是所求的点P（此时P、A、B三点共线）。解题步骤分为两步：第一步用待定系数法求出直线AB的解析式，第二步联立直线AB和直线l的解析式，解方程组得到交点坐标，即为P的坐标。
【解析】
根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”可知：当P、A、B三点共线时，过这三点不能作出一个圆。
1. 求直线AB的解析式：
设直线AB的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$A(1,0)$、$B(0,2)$代入解析式得：
$\begin{cases}k + b = 0 \\b = 2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2 \\ b=2\end{cases}$，因此直线AB的解析式为$y=-2x+2$。
2. 求直线AB与直线$l:y=x-4$的交点：
联立两个直线的解析式得方程组：
$\begin{cases}y = x - 4 \\y = -2x + 2\end{cases}$
将第一个方程代入第二个方程得：$x-4=-2x+2$，解得$x=2$，把$x=2$代入$y=x-4$得$y=2-4=-2$，即方程组的解为$\begin{cases}x=2 \\ y=-2\end{cases}$。
因此当点P的坐标为$(2,-2)$时，过P、A、B三点不能作出一个圆。
【答案】
$(2,-2)$
【知识点】
确定圆的条件，待定系数法求一次函数解析式，二元一次方程组的解法
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题，解题关键是将“三点不能作圆”的几何条件转化为“三点共线”，进而转化为求两条直线交点的代数问题，考查学生对基础定理的理解和知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
