登录
7.如图，OA是$\odot O$的半径，B为OA上一点(且不与点O,A重合)，过点B作OA的垂线交$\odot O$于点C.以OB,BC为边作矩形OBCD，连接BD.若$CD=6,BC=8$,则AB的长为（
A.6
B.5
C.4
D.2
C
）A.6
B.5
C.4
D.2
答案
7.C
解析
【分析】
解题时首先从已知的矩形OBCD入手，利用矩形对边相等的性质得到OB的长度；再结合CB垂直OA的条件，可知△OBC是直角三角形，C点在圆上，因此OC是圆的半径，用勾股定理即可算出半径OC的长度；最后根据OA也是圆的半径，通过AB=OA-OB就能求出AB的长度。
【解析】
解：
∵四边形OBCD是矩形，
∴OB=CD=6，∠OBC=90°，
在Rt△OBC中，OB=6，BC=8，根据勾股定理可得：
$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$，
∵OC、OA均为$\odot O$的半径，
∴OA=OC=10，
∴$AB=OA-OB=10-6=4$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，圆的半径相等
【点评】
本题属于基础综合题，将矩形、直角三角形和圆的基础性质结合考查，解题的核心是找到圆的半径和已知线段的关联，解题思路清晰，运算量小。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的矩形OBCD入手，利用矩形对边相等的性质得到OB的长度；再结合CB垂直OA的条件，可知△OBC是直角三角形，C点在圆上，因此OC是圆的半径，用勾股定理即可算出半径OC的长度；最后根据OA也是圆的半径，通过AB=OA-OB就能求出AB的长度。
【解析】
解：
∵四边形OBCD是矩形，
∴OB=CD=6，∠OBC=90°，
在Rt△OBC中，OB=6，BC=8，根据勾股定理可得：
$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$，
∵OC、OA均为$\odot O$的半径，
∴OA=OC=10，
∴$AB=OA-OB=10-6=4$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，圆的半径相等
【点评】
本题属于基础综合题，将矩形、直角三角形和圆的基础性质结合考查，解题的核心是找到圆的半径和已知线段的关联，解题思路清晰，运算量小。
【难度系数】
0.7
8. 如图，CD是$\odot O$的直径，若$AB ⊥ CD$，垂足为B，$∠ OAB=40°$，则$∠ C$的度数为（
A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
C
）A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
答案
8.C
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直关系入手，先得到直角三角形OAB，利用直角三角形两锐角互余求出∠AOB的度数；再根据圆周角定理，即可推出∠C的度数是∠AOB的一半，代入计算即可得到结果。
【解析】
∵AB⊥CD，垂足为B，
∴∠ABO=90°，
在Rt△OAB中，∠OAB=40°，
∴∠AOB=90°-∠OAB=90°-40°=50°，
∵∠C是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×50°=25°。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆相关性质的基础应用题，将直角三角形性质和圆周角定理结合即可求解，解题的关键是找准同弧所对的圆周角和圆心角。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的垂直关系入手，先得到直角三角形OAB，利用直角三角形两锐角互余求出∠AOB的度数；再根据圆周角定理，即可推出∠C的度数是∠AOB的一半，代入计算即可得到结果。
【解析】
∵AB⊥CD，垂足为B，
∴∠ABO=90°，
在Rt△OAB中，∠OAB=40°，
∴∠AOB=90°-∠OAB=90°-40°=50°，
∵∠C是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×50°=25°。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆相关性质的基础应用题，将直角三角形性质和圆周角定理结合即可求解，解题的关键是找准同弧所对的圆周角和圆心角。
【难度系数】
0.7
9. 如图，$X,Y,Z$是某社区内的三栋楼，$XY=40\ \mathrm{m},YZ=30\ \mathrm{m},XZ=50\ \mathrm{m}$. 若在$XZ$中点$M$处建一个5G网络基站，该基站的覆盖半径为26 m，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（
A.$X,Y,Z$
B.$X,Z$
C.$Y,Z$
D.$Y$
A
）A.$X,Y,Z$
B.$X,Z$
C.$Y,Z$
D.$Y$
答案
9.A
解析
【分析】
解题时首先根据三角形三边长度，利用勾股定理逆定理判断$△ XYZ$的形状，再分别计算三栋楼到基站$M$的距离，将距离与基站覆盖半径$26\ \mathrm{m}$比较，距离小于等于半径的楼就在覆盖范围内。第一步先验证三边是否满足勾股定理逆定理，确定是直角三角形后，利用中点性质求出$X$、$Z$到$M$的距离，再利用直角三角形斜边中线的性质求出$Y$到$M$的距离，最后比较即可。
【解析】
解：已知$XY=40\ \mathrm{m}$，$YZ=30\ \mathrm{m}$，$XZ=50\ \mathrm{m}$，
$\because 30^2+40^2=900+1600=2500=50^2$，即$YZ^2+XY^2=XZ^2$，
$\therefore △ XYZ$是直角三角形，且$∠ Y=90°$。
$\because M$是$XZ$的中点，
$\therefore XM=MZ=\frac{1}{2}XZ=\frac{1}{2}×50=25\ \mathrm{m}$，
$\because 25\ \mathrm{m}＜26\ \mathrm{m}$，$\therefore X$、$Z$在覆盖范围内。
又$\because$直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
$\therefore YM=\frac{1}{2}XZ=25\ \mathrm{m}$，
$\because 25\ \mathrm{m}＜26\ \mathrm{m}$，$\therefore Y$也在覆盖范围内。
综上，$X$、$Y$、$Z$三栋楼都在基站覆盖范围内。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理逆定理，直角三角形斜边中线性质，点与圆的位置关系
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，解题核心是先判断三角形为直角三角形，再借助直角三角形的性质求出各点到基站的距离，通过和覆盖半径比较得到结果，注重基础知识点的综合运用，和生活实际结合紧密。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据三角形三边长度，利用勾股定理逆定理判断$△ XYZ$的形状，再分别计算三栋楼到基站$M$的距离，将距离与基站覆盖半径$26\ \mathrm{m}$比较，距离小于等于半径的楼就在覆盖范围内。第一步先验证三边是否满足勾股定理逆定理，确定是直角三角形后，利用中点性质求出$X$、$Z$到$M$的距离，再利用直角三角形斜边中线的性质求出$Y$到$M$的距离，最后比较即可。
【解析】
解：已知$XY=40\ \mathrm{m}$，$YZ=30\ \mathrm{m}$，$XZ=50\ \mathrm{m}$，
$\because 30^2+40^2=900+1600=2500=50^2$，即$YZ^2+XY^2=XZ^2$，
$\therefore △ XYZ$是直角三角形，且$∠ Y=90°$。
$\because M$是$XZ$的中点，
$\therefore XM=MZ=\frac{1}{2}XZ=\frac{1}{2}×50=25\ \mathrm{m}$，
$\because 25\ \mathrm{m}＜26\ \mathrm{m}$，$\therefore X$、$Z$在覆盖范围内。
又$\because$直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
$\therefore YM=\frac{1}{2}XZ=25\ \mathrm{m}$，
$\because 25\ \mathrm{m}＜26\ \mathrm{m}$，$\therefore Y$也在覆盖范围内。
综上，$X$、$Y$、$Z$三栋楼都在基站覆盖范围内。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理逆定理，直角三角形斜边中线性质，点与圆的位置关系
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，解题核心是先判断三角形为直角三角形，再借助直角三角形的性质求出各点到基站的距离，通过和覆盖半径比较得到结果，注重基础知识点的综合运用，和生活实际结合紧密。
【难度系数】
0.8
10.如图，$\odot O$的周长为$4π$，B是弦CD上任意一点(不与点C，D重合)，过点B作OC的平行线交OD于点E，则$EO+EB$的值为
2
。答案
10.2
解析
【分析】
解题时首先从已知的圆周长入手，先计算出圆的半径；再利用圆的半径相等得到△OCD为等腰三角形，得到两个底角相等；结合EB平行于OC的条件，通过平行线同位角相等的性质进行角的等量代换，推出△EBD为等腰三角形，得到EB=ED；最后将待求的EO+EB转化为线段OD的长度，即可得到结果。
【解析】
1. 求圆的半径：设⊙O的半径为r，由圆的周长公式$C=2π r$，已知周长为$4π$，可得$2π r=4π$，解得$r=2$，因此$OC=OD=2$。
2. 推导等腰三角形：因为OC和OD都是⊙O的半径，故$OC=OD$，$△ OCD$为等腰三角形，因此$∠ OCD=∠ ODC$。
3. 平行线性质应用：因为$EB// OC$，根据平行线同位角相等，可得$∠ EBD=∠ OCD$。
4. 等量代换得等腰三角形：由$∠ EBD=∠ OCD=∠ ODC$，可得$∠ EBD=∠ EDB$，根据等角对等边，因此$EB=ED$。
5. 计算待求式：$EO+EB=EO+ED=OD=2$。
【答案】
2
【知识点】
圆的基本性质；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础综合题，核心解题思路是利用转化思想，将待求线段和转化为圆的半径，解题过程中综合运用了圆、平行线、等腰三角形的基础性质，侧重对学生基础知识灵活运用能力的考察。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的圆周长入手，先计算出圆的半径；再利用圆的半径相等得到△OCD为等腰三角形，得到两个底角相等；结合EB平行于OC的条件，通过平行线同位角相等的性质进行角的等量代换，推出△EBD为等腰三角形，得到EB=ED；最后将待求的EO+EB转化为线段OD的长度，即可得到结果。
【解析】
1. 求圆的半径：设⊙O的半径为r，由圆的周长公式$C=2π r$，已知周长为$4π$，可得$2π r=4π$，解得$r=2$，因此$OC=OD=2$。
2. 推导等腰三角形：因为OC和OD都是⊙O的半径，故$OC=OD$，$△ OCD$为等腰三角形，因此$∠ OCD=∠ ODC$。
3. 平行线性质应用：因为$EB// OC$，根据平行线同位角相等，可得$∠ EBD=∠ OCD$。
4. 等量代换得等腰三角形：由$∠ EBD=∠ OCD=∠ ODC$，可得$∠ EBD=∠ EDB$，根据等角对等边，因此$EB=ED$。
5. 计算待求式：$EO+EB=EO+ED=OD=2$。
【答案】
2
【知识点】
圆的基本性质；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础综合题，核心解题思路是利用转化思想，将待求线段和转化为圆的半径，解题过程中综合运用了圆、平行线、等腰三角形的基础性质，侧重对学生基础知识灵活运用能力的考察。
【难度系数】
0.7
11.如图，AB是$\odot O$的直径，D是$\odot O$上的一点，$∠ BOD=75°$，DC交BA的延长线于点E，交$\odot O$于点C，且$CE=AO$.求$∠ E$的度数.
答案
11.如图,连接OC.
∵ $CE=AO,OA=OC$,
∴ $OC=CE$.
∴ $∠E=∠1$.
∴ $∠2=∠E+∠1=2∠E$.
∵ $OC=OD$,
∴ $∠D=∠2=2∠E$.
∵ $∠BOD=∠E+∠D,∠BOD=75°$,
∴ $∠E+2∠E=75°$.
∴ $∠E=25°$.
解析
【分析】
要求∠E的度数，可通过构造等腰三角形，结合等边对等角、三角形外角的性质建立角的数量关系求解。首先已知CE=AO，AO是⊙O的半径，而圆的所有半径相等，因此先连接辅助线OC，可得到OC=AO=CE，进而得到等腰△EOC；再结合等腰三角形两底角相等、三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，逐步将∠BOD用含∠E的式子表示，最后代入已知∠BOD的度数即可求解。
【解析】
连接OC，
∵ $CE=AO$，OA、OC均为$\odot O$的半径，即$OA=OC$，
∴ $OC=CE$，
∴ $∠E=∠1$，
由三角形外角性质可得，$∠2$是$△ EOC$的外角，
∴ $∠2=∠E+∠1=2∠E$，
又
∵ OC、OD均为$\odot O$的半径，即$OC=OD$，
∴ $∠D=∠2=2∠E$，
又
∵ $∠BOD$是$△ EOD$的外角，
∴ $∠BOD=∠E+∠D$，
将$∠BOD=75°$代入得：
$∠E+2∠E=75°$，
解得$∠E=25°$。
【答案】
11.如图,连接OC.
∵ $CE=AO,OA=OC$,
∴ $OC=CE$.
∴ $∠E=∠1$.
∴ $∠2=∠E+∠1=2∠E$.
∵ $OC=OD$,
∴ $∠D=∠2=2∠E$.
∵ $∠BOD=∠E+∠D,∠BOD=75°$,
∴ $∠E+2∠E=75°$.
∴ $∠E=25°$.
【知识点】
圆的半径相等、等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题，解题核心是通过连接半径构造等腰三角形，将已知边的关系转化为角的关系，再结合三角形外角性质建立方程求解，掌握这类辅助线的构造方法是解决同类问题的关键。
【难度系数】
0.7
要求∠E的度数，可通过构造等腰三角形，结合等边对等角、三角形外角的性质建立角的数量关系求解。首先已知CE=AO，AO是⊙O的半径，而圆的所有半径相等，因此先连接辅助线OC，可得到OC=AO=CE，进而得到等腰△EOC；再结合等腰三角形两底角相等、三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，逐步将∠BOD用含∠E的式子表示，最后代入已知∠BOD的度数即可求解。
【解析】
连接OC，
∵ $CE=AO$，OA、OC均为$\odot O$的半径，即$OA=OC$，
∴ $OC=CE$，
∴ $∠E=∠1$，
由三角形外角性质可得，$∠2$是$△ EOC$的外角，
∴ $∠2=∠E+∠1=2∠E$，
又
∵ OC、OD均为$\odot O$的半径，即$OC=OD$，
∴ $∠D=∠2=2∠E$，
又
∵ $∠BOD$是$△ EOD$的外角，
∴ $∠BOD=∠E+∠D$，
将$∠BOD=75°$代入得：
$∠E+2∠E=75°$，
解得$∠E=25°$。
【答案】
11.如图,连接OC.
∵ $CE=AO,OA=OC$,
∴ $OC=CE$.
∴ $∠E=∠1$.
∴ $∠2=∠E+∠1=2∠E$.
∵ $OC=OD$,
∴ $∠D=∠2=2∠E$.
∵ $∠BOD=∠E+∠D,∠BOD=75°$,
∴ $∠E+2∠E=75°$.
∴ $∠E=25°$.
【知识点】
圆的半径相等、等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题，解题核心是通过连接半径构造等腰三角形，将已知边的关系转化为角的关系，再结合三角形外角性质建立方程求解，掌握这类辅助线的构造方法是解决同类问题的关键。
【难度系数】
0.7
12. 如图，CE是$\odot O$的直径，弦AD的延长线与CE的延长线交于点B，若$BD=OD$，$∠ B=38°$，求$∠ AOD$的度数.
答案
12. $∠AOD$的度数为$28°$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件BD=OD入手，首先得到等腰△ODB，利用等腰三角形等角对等边的性质求出∠DOB的度数；接着观察∠ODA是△ODB的外角，结合三角形外角性质计算出∠ODA的度数；再根据圆的半径相等得到OA=OD，可知△AOD也是等腰三角形，得到∠OAD=∠ODA，最后利用三角形内角和为180°即可求出∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵BD=OD，∠B=38°，
∴∠DOB=∠B=38°（等腰三角形两底角相等），
∵∠ODA是△ODB的外角，
∴∠ODA=∠DOB+∠B=38°+38°=76°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），
∵OA和OD都是⊙O的半径，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=76°（等腰三角形两底角相等），
在△AOD中，根据三角形内角和为180°，
∴∠AOD=180°-∠OAD-∠ODA=180°-76°-76°=28°。
【答案】
$28°$
【知识点】
1. 圆的半径相等
2. 等腰三角形性质
3. 三角形外角定理
【点评】
本题是圆的性质与三角形性质结合的基础计算题，解题的核心是利用圆的半径相等构造等腰三角形，再结合三角形内角和、外角性质逐步推导角度，解题时要注意观察角与角之间的位置关系，熟练运用相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件BD=OD入手，首先得到等腰△ODB，利用等腰三角形等角对等边的性质求出∠DOB的度数；接着观察∠ODA是△ODB的外角，结合三角形外角性质计算出∠ODA的度数；再根据圆的半径相等得到OA=OD，可知△AOD也是等腰三角形，得到∠OAD=∠ODA，最后利用三角形内角和为180°即可求出∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵BD=OD，∠B=38°，
∴∠DOB=∠B=38°（等腰三角形两底角相等），
∵∠ODA是△ODB的外角，
∴∠ODA=∠DOB+∠B=38°+38°=76°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），
∵OA和OD都是⊙O的半径，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=76°（等腰三角形两底角相等），
在△AOD中，根据三角形内角和为180°，
∴∠AOD=180°-∠OAD-∠ODA=180°-76°-76°=28°。
【答案】
$28°$
【知识点】
1. 圆的半径相等
2. 等腰三角形性质
3. 三角形外角定理
【点评】
本题是圆的性质与三角形性质结合的基础计算题，解题的核心是利用圆的半径相等构造等腰三角形，再结合三角形内角和、外角性质逐步推导角度，解题时要注意观察角与角之间的位置关系，熟练运用相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
