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例 用公式法解方程 $3x^2 -6x -2=0$.
分析:先确定$a,b,c$的值,再计算判别式的值,然后利用求根公式求解.
解:由题知 $a=3,b=-6,c=-2$,
$\therefore \Delta = b^2 -4ac = (-6)^2 -4×3×(-2) = 36+24=60＞0$.
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根 $x=\frac{6\pm\sqrt{60}}{2×3}=\frac{3\pm\sqrt{15}}{3}$.
$\therefore x_1=\frac{3+\sqrt{15}}{3},x_2=\frac{3-\sqrt{15}}{3}$.
方法点拨 利用公式法求一元二次方程的根时,一定要将方程先化成一般形式,再确定$a,b,c$的值.求解时,要注意各项的符号.
分析:先确定$a,b,c$的值,再计算判别式的值,然后利用求根公式求解.
解:由题知 $a=3,b=-6,c=-2$,
$\therefore \Delta = b^2 -4ac = (-6)^2 -4×3×(-2) = 36+24=60＞0$.
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根 $x=\frac{6\pm\sqrt{60}}{2×3}=\frac{3\pm\sqrt{15}}{3}$.
$\therefore x_1=\frac{3+\sqrt{15}}{3},x_2=\frac{3-\sqrt{15}}{3}$.
方法点拨 利用公式法求一元二次方程的根时,一定要将方程先化成一般形式,再确定$a,b,c$的值.求解时,要注意各项的符号.
答案
解：
方程$3x^2 -6x -2=0$是一元二次方程的一般形式，
可得$a=3$，$b=-6$，$c=-2$，
$\Delta = b^2 -4ac = (-6)^2 -4×3×(-2) = 36 + 24 = 60 ＞ 0$，
∴方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得
$x=\frac{6\pm\sqrt{60}}{2×3}=\frac{3\pm\sqrt{15}}{3}$，
∴$x_1=\frac{3+\sqrt{15}}{3}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{15}}{3}$。
方程$3x^2 -6x -2=0$是一元二次方程的一般形式，
可得$a=3$，$b=-6$，$c=-2$，
$\Delta = b^2 -4ac = (-6)^2 -4×3×(-2) = 36 + 24 = 60 ＞ 0$，
∴方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得
$x=\frac{6\pm\sqrt{60}}{2×3}=\frac{3\pm\sqrt{15}}{3}$，
∴$x_1=\frac{3+\sqrt{15}}{3}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{15}}{3}$。
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程，首先要确认方程是否为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，本题已为一般形式，可直接确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意要保留各项原本的符号；接下来计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根；本题$\Delta＞0$，直接代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，最后将结果化简为最简形式即可。
【解析】
方程$3x^2 -6x -2=0$是一元二次方程的一般形式，
可得$a=3$，$b=-6$，$c=-2$，
计算判别式：$\Delta = b^2 -4ac = (-6)^2 -4×3×(-2) = 36 + 24 = 60 ＞ 0$，
∴方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得
$x=\frac{6\pm\sqrt{60}}{2×3}=\frac{3\pm\sqrt{15}}{3}$，
∴$x_1=\frac{3+\sqrt{15}}{3}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{15}}{3}$。
【答案】
$x_1=\frac{3+\sqrt{15}}{3}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{15}}{3}$
【知识点】
公式法解一元二次方程，根的判别式，一元二次方程求根公式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础应用题型，解题核心是准确识别各项系数的符号，正确计算判别式，代入求根公式后要注意将结果化简为最简形式，避免因符号错误、计算失误或者化简不规范失分。
【难度系数】
0.75
用公式法解一元二次方程，首先要确认方程是否为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，本题已为一般形式，可直接确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意要保留各项原本的符号；接下来计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根；本题$\Delta＞0$，直接代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，最后将结果化简为最简形式即可。
【解析】
方程$3x^2 -6x -2=0$是一元二次方程的一般形式，
可得$a=3$，$b=-6$，$c=-2$，
计算判别式：$\Delta = b^2 -4ac = (-6)^2 -4×3×(-2) = 36 + 24 = 60 ＞ 0$，
∴方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得
$x=\frac{6\pm\sqrt{60}}{2×3}=\frac{3\pm\sqrt{15}}{3}$，
∴$x_1=\frac{3+\sqrt{15}}{3}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{15}}{3}$。
【答案】
$x_1=\frac{3+\sqrt{15}}{3}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{15}}{3}$
【知识点】
公式法解一元二次方程，根的判别式，一元二次方程求根公式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础应用题型，解题核心是准确识别各项系数的符号，正确计算判别式，代入求根公式后要注意将结果化简为最简形式，避免因符号错误、计算失误或者化简不规范失分。
【难度系数】
0.75
将图①所示的正方形纸片剪成四块,可恰好拼成图②所示的矩形.若x=1,则y=
$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
.答案
$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
解析:依题意,得$(x+y)^2=x(x+y+x)$.
整理,得$y^2+x^2+2xy=2x^2+xy$,
则$y^2-x^2+xy=0$.
$\because \quad x=1$,
$\therefore \quad y^2-1+y=0$,即$y^2+y-1=0$,
解得$y_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},y_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$(舍去).
$\therefore \quad y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.
解析:依题意,得$(x+y)^2=x(x+y+x)$.
整理,得$y^2+x^2+2xy=2x^2+xy$,
则$y^2-x^2+xy=0$.
$\because \quad x=1$,
$\therefore \quad y^2-1+y=0$,即$y^2+y-1=0$,
解得$y_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},y_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$(舍去).
$\therefore \quad y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住图形剪拼前后总面积不变的特点。首先观察图①，它是边长为$(x+y)$的正方形，可先表示出它的面积；再观察图②，它是矩形，长为$(x+x+y)$，宽为$x$，也可表示出它的面积。根据两个图形面积相等列出方程，代入$x=1$后得到关于$y$的一元二次方程，用公式法求解后，结合$y$是线段长度为正数的实际意义舍去负根，即可得到$y$的值。
【解析】
解：由剪拼前后图形总面积相等，可得：
$(x+y)^2 = x(x + x + y)$
整理等式：
$x^2 + 2xy + y^2 = 2x^2 + xy$
移项合并同类项得：$y^2 + xy - x^2 = 0$
已知$x=1$，代入上式得：
$y^2 + y - 1 = 0$
其中$a=1,b=1,c=-1$，由一元二次方程求根公式$y=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，代入得：
$y=\frac{-1\pm\sqrt{1^2 - 4×1×(-1)}}{2×1}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
∵$y$表示线段长度，为正数，
∴$y=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$不符合题意，舍去。
【答案】
$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
1. 等积变换 2. 公式法解一元二次方程 3. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题将几何拼图与代数计算结合，考查数形结合思想，解题关键是找准拼图前后面积相等的等量关系建立方程，求解后需注意结合实际意义对根进行取舍。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是抓住图形剪拼前后总面积不变的特点。首先观察图①，它是边长为$(x+y)$的正方形，可先表示出它的面积；再观察图②，它是矩形，长为$(x+x+y)$，宽为$x$，也可表示出它的面积。根据两个图形面积相等列出方程，代入$x=1$后得到关于$y$的一元二次方程，用公式法求解后，结合$y$是线段长度为正数的实际意义舍去负根，即可得到$y$的值。
【解析】
解：由剪拼前后图形总面积相等，可得：
$(x+y)^2 = x(x + x + y)$
整理等式：
$x^2 + 2xy + y^2 = 2x^2 + xy$
移项合并同类项得：$y^2 + xy - x^2 = 0$
已知$x=1$，代入上式得：
$y^2 + y - 1 = 0$
其中$a=1,b=1,c=-1$，由一元二次方程求根公式$y=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，代入得：
$y=\frac{-1\pm\sqrt{1^2 - 4×1×(-1)}}{2×1}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
∵$y$表示线段长度，为正数，
∴$y=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$不符合题意，舍去。
【答案】
$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
1. 等积变换 2. 公式法解一元二次方程 3. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题将几何拼图与代数计算结合，考查数形结合思想，解题关键是找准拼图前后面积相等的等量关系建立方程，求解后需注意结合实际意义对根进行取舍。
【难度系数】
0.6
1. 用公式法解方程$x^2 - 2 = -3x$时，$a,b,c$的值依次是 （
A.$0,-2,-3$
B.$1,3,-2$
C.$1,-3,-2$
D.$1,-2,-3$
B
）A.$0,-2,-3$
B.$1,3,-2$
C.$1,-3,-2$
D.$1,-2,-3$
答案
1. B
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程的前提是先将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。解题时先对给定方程移项，将所有项移到等号左侧，整理成标准一般形式后，再对应匹配$a、b、c$即可，注意移项要变号，避免系数符号判断错误。
【解析】
1. 整理原方程为一元二次方程一般形式：
原方程为$x^2 - 2 = -3x$，将右侧的$-3x$移到左侧并变号，得：
$x^2 + 3x - 2 = 0$
2. 对照一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）确定系数：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-2$。
因此$a、b、c$的值依次为1、3、-2，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题为基础题型，核心考查一元二次方程一般形式的识别，常见错误是移项时忽略符号变化，导致一次项系数或常数项符号出错，解题时需先将方程化为标准形式再确定系数。
【难度系数】
0.9
用公式法解一元二次方程的前提是先将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。解题时先对给定方程移项，将所有项移到等号左侧，整理成标准一般形式后，再对应匹配$a、b、c$即可，注意移项要变号，避免系数符号判断错误。
【解析】
1. 整理原方程为一元二次方程一般形式：
原方程为$x^2 - 2 = -3x$，将右侧的$-3x$移到左侧并变号，得：
$x^2 + 3x - 2 = 0$
2. 对照一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）确定系数：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-2$。
因此$a、b、c$的值依次为1、3、-2，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题为基础题型，核心考查一元二次方程一般形式的识别，常见错误是移项时忽略符号变化，导致一次项系数或常数项符号出错，解题时需先将方程化为标准形式再确定系数。
【难度系数】
0.9
2. 下列一元二次方程中，根是 $x =$ 
的是（
A.$2x^2 +4x -1=0$
B.$3x^2 +2x -1=0$
C.$-x^2 -2x +3=0$
D.$3x^2 -2x -1=0$
的是（D
）A.$2x^2 +4x -1=0$
B.$3x^2 +2x -1=0$
C.$-x^2 -2x +3=0$
D.$3x^2 -2x -1=0$
答案
2. D
解析
【分析】
我们知道一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，解题时可以先把题干给出的根的表达式和求根公式结构对照，先确定a、b、c的取值，再匹配对应的一元二次方程；也可以逐个写出各选项方程的求根表达式，和题干对比后选出正确答案，解题时要注意符号不要出错。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，对应的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
将题干给出的根的表达式$\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4×3×(-1)}}{2×3}$与求根公式对照：
1. 由分母$2a=2×3$，可得$a=3$；
2. 由分子的第一项$-b=2$，可得$b=-2$；
3. 由根号内的$4ac=4×3×(-1)$，结合$a=3$，可得$c=-1$。
因此对应的一元二次方程为$3x^2-2x-1=0$，对应选项D。
也可逐一验证选项排除错误答案：
A选项：$2x^2+4x-1=0$的求根表达式为$x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4×2×(-1)}}{2×2}$，与题干不符，排除；
B选项：$3x^2+2x-1=0$的求根表达式为$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4×3×(-1)}}{2×3}$，与题干不符，排除；
C选项：$-x^2-2x+3=0$的求根表达式为$x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4×(-1)×3}}{2×(-1)}$，与题干不符，排除；
D选项表达式与题干一致，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求根公式，一元二次方程一般形式
【点评】
本题重点考查对一元二次方程求根公式结构的理解与应用，解题的关键是明确求根公式中各部分与方程系数的对应关系，尤其要注意符号的判断，属于基础类题型，熟练掌握求根公式即可快速得分。
【难度系数】
0.8
我们知道一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，解题时可以先把题干给出的根的表达式和求根公式结构对照，先确定a、b、c的取值，再匹配对应的一元二次方程；也可以逐个写出各选项方程的求根表达式，和题干对比后选出正确答案，解题时要注意符号不要出错。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，对应的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
将题干给出的根的表达式$\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4×3×(-1)}}{2×3}$与求根公式对照：
1. 由分母$2a=2×3$，可得$a=3$；
2. 由分子的第一项$-b=2$，可得$b=-2$；
3. 由根号内的$4ac=4×3×(-1)$，结合$a=3$，可得$c=-1$。
因此对应的一元二次方程为$3x^2-2x-1=0$，对应选项D。
也可逐一验证选项排除错误答案：
A选项：$2x^2+4x-1=0$的求根表达式为$x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4×2×(-1)}}{2×2}$，与题干不符，排除；
B选项：$3x^2+2x-1=0$的求根表达式为$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4×3×(-1)}}{2×3}$，与题干不符，排除；
C选项：$-x^2-2x+3=0$的求根表达式为$x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4×(-1)×3}}{2×(-1)}$，与题干不符，排除；
D选项表达式与题干一致，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求根公式，一元二次方程一般形式
【点评】
本题重点考查对一元二次方程求根公式结构的理解与应用，解题的关键是明确求根公式中各部分与方程系数的对应关系，尤其要注意符号的判断，属于基础类题型，熟练掌握求根公式即可快速得分。
【难度系数】
0.8
3. 用公式法解方程$x^2 -4x=2$.
解:将方程化为一般形式,得
∵ $a=$
∴ $\Delta = b^2 -4ac =$
∴ 方程
∴ $x_1=$
解:将方程化为一般形式,得
$x^2-4x-2=0$
.∵ $a=$
$1$
, $b=$$-4$
, $c=$$-2$
,∴ $\Delta = b^2 -4ac =$
$24$
.∴ 方程
有两个不相等的
实数根 $x=$$\frac{4\pm2\sqrt{6}}{2}$
.∴ $x_1=$
$2+\sqrt{6}$
, $x_2=$$2-\sqrt{6}$
.答案
3. $x^2-4x-2=0$，$1$，$-4$，$-2$，$24$，有两个不相等的，$\frac{4\pm2\sqrt{6}}{2}$，$2+\sqrt{6}$，$2-\sqrt{6}$
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程需按固定步骤思考：首先要把方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，移项时注意常数项的符号变化；再对应确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，取值要带本身的符号；接着计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的正负判断根的个数；最后代入求根公式计算，把结果化简为最简形式即可。
【解析】
1. 整理一般形式：将原方程$x^2-4x=2$右边的2移到左边，变号后得$x^2-4x-2=0$；
2. 确定系数：对应一般形式$ax^2+bx+c=0$，得$a=1$，$b=-4$，$c=-2$；
3. 计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4×1×(-2) = 16 + 8 = 24$；
4. 判断根的情况：$\Delta=24＞0$，因此方程有两个不相等的实数根；
5. 代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得$x=\frac{4\pm2\sqrt{6}}{2}$；
6. 化简结果：约分后得$x_1=2+\sqrt{6}$，$x_2=2-\sqrt{6}$。
【答案】
$x^2-4x-2=0$，$1$，$-4$，$-2$，$24$，有两个不相等的，$\frac{4\pm2\sqrt{6}}{2}$，$2+\sqrt{6}$，$2-\sqrt{6}$
【知识点】
一元二次方程的一般形式，公式法解一元二次方程，根的判别式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，核心考查公式法解题的标准流程，解题时要注意移项需变号，确定$a、b、c$时不要遗漏符号，计算结果要化为最简二次根式，熟练掌握步骤即可快速得分。
【难度系数】
0.8
用公式法解一元二次方程需按固定步骤思考：首先要把方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，移项时注意常数项的符号变化；再对应确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，取值要带本身的符号；接着计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的正负判断根的个数；最后代入求根公式计算，把结果化简为最简形式即可。
【解析】
1. 整理一般形式：将原方程$x^2-4x=2$右边的2移到左边，变号后得$x^2-4x-2=0$；
2. 确定系数：对应一般形式$ax^2+bx+c=0$，得$a=1$，$b=-4$，$c=-2$；
3. 计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4×1×(-2) = 16 + 8 = 24$；
4. 判断根的情况：$\Delta=24＞0$，因此方程有两个不相等的实数根；
5. 代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得$x=\frac{4\pm2\sqrt{6}}{2}$；
6. 化简结果：约分后得$x_1=2+\sqrt{6}$，$x_2=2-\sqrt{6}$。
【答案】
$x^2-4x-2=0$，$1$，$-4$，$-2$，$24$，有两个不相等的，$\frac{4\pm2\sqrt{6}}{2}$，$2+\sqrt{6}$，$2-\sqrt{6}$
【知识点】
一元二次方程的一般形式，公式法解一元二次方程，根的判别式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，核心考查公式法解题的标准流程，解题时要注意移项需变号，确定$a、b、c$时不要遗漏符号，计算结果要化为最简二次根式，熟练掌握步骤即可快速得分。
【难度系数】
0.8
