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4. 用公式法解下列方程：
(1) $x^2 + x - 1 = 0$；
(2) $2x^2 + 2x + \frac{1}{2} = 0$；
(3) $x^2 + 5x + 6 = 3(x + \frac{3}{2})$。
(1) $x^2 + x - 1 = 0$；
(2) $2x^2 + 2x + \frac{1}{2} = 0$；
(3) $x^2 + 5x + 6 = 3(x + \frac{3}{2})$。
答案
4. (1) $x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
(2) $x_1=x_2=-\frac{1}{2}$
(3) 方程无实数根
(2) $x_1=x_2=-\frac{1}{2}$
(3) 方程无实数根
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，确定$a、b、c$的取值，注意符号不要出错；②计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根；③若$\Delta≥0$，直接代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算方程的根即可。
(1)小题已经是一般形式，可直接确定$a、b、c$计算；(2)小题为一般形式，也可先化简系数再计算；(3)小题需要先去括号、移项合并同类项，化为一般形式后再按步骤求解。
【解析】
解：
(1) 对于方程$x^2 + x - 1 = 0$，
$a=1$，$b=1$，$c=-1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×1×(-1) = 1 + 4 = 5 ＞ 0$，
代入求根公式得：$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2×1}$，
即$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$。
(2) 对于方程$2x^2 + 2x + \frac{1}{2} = 0$，
先将方程两边同乘2化简得：$4x^2 + 4x + 1 = 0$，
此时$a=4$，$b=4$，$c=1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4×4×1 = 16 - 16 = 0$，
代入求根公式得：$x = \frac{-4\pm\sqrt{0}}{2×4} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$，
即$x_1=x_2=-\frac{1}{2}$。
(3) 先整理方程$x^2 + 5x + 6 = 3(x + \frac{3}{2})$，
去括号得：$x^2 + 5x + 6 = 3x + \frac{9}{2}$，
移项、合并同类项得：$x^2 + 2x + \frac{3}{2} = 0$，
两边同乘2消去分母得：$2x^2 + 4x + 3 = 0$，
此时$a=2$，$b=4$，$c=3$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4×2×3 = 16 - 24 = -8 ＜ 0$，
所以该方程无实数根。
【答案】
(1) $x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
(2) $x_1=x_2=-\frac{1}{2}$
(3) 方程无实数根
【知识点】
1. 公式法解一元二次方程
2. 根的判别式
3. 一元二次方程化简
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，解题核心是严格遵循步骤，先将方程化为一般形式，准确计算判别式判断根的情况，计算过程中要注意系数的符号，避免因符号错误导致解题失误。
【难度系数】
0.75
用公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，确定$a、b、c$的取值，注意符号不要出错；②计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根；③若$\Delta≥0$，直接代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算方程的根即可。
(1)小题已经是一般形式，可直接确定$a、b、c$计算；(2)小题为一般形式，也可先化简系数再计算；(3)小题需要先去括号、移项合并同类项，化为一般形式后再按步骤求解。
【解析】
解：
(1) 对于方程$x^2 + x - 1 = 0$，
$a=1$，$b=1$，$c=-1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×1×(-1) = 1 + 4 = 5 ＞ 0$，
代入求根公式得：$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2×1}$，
即$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$。
(2) 对于方程$2x^2 + 2x + \frac{1}{2} = 0$，
先将方程两边同乘2化简得：$4x^2 + 4x + 1 = 0$，
此时$a=4$，$b=4$，$c=1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4×4×1 = 16 - 16 = 0$，
代入求根公式得：$x = \frac{-4\pm\sqrt{0}}{2×4} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$，
即$x_1=x_2=-\frac{1}{2}$。
(3) 先整理方程$x^2 + 5x + 6 = 3(x + \frac{3}{2})$，
去括号得：$x^2 + 5x + 6 = 3x + \frac{9}{2}$，
移项、合并同类项得：$x^2 + 2x + \frac{3}{2} = 0$，
两边同乘2消去分母得：$2x^2 + 4x + 3 = 0$，
此时$a=2$，$b=4$，$c=3$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4×2×3 = 16 - 24 = -8 ＜ 0$，
所以该方程无实数根。
【答案】
(1) $x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
(2) $x_1=x_2=-\frac{1}{2}$
(3) 方程无实数根
【知识点】
1. 公式法解一元二次方程
2. 根的判别式
3. 一元二次方程化简
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，解题核心是严格遵循步骤，先将方程化为一般形式，准确计算判别式判断根的情况，计算过程中要注意系数的符号，避免因符号错误导致解题失误。
【难度系数】
0.75
5. 解方程$\sqrt{2}x^2 + 4\sqrt{3}x = 2\sqrt{2}$，有一位同学的解答过程如下：
解：∵ $a=\sqrt{2}, b=4\sqrt{3}, c=2\sqrt{2}$，
∴ $b^2 - 4ac = (4\sqrt{3})^2 - 4×\sqrt{2}×2\sqrt{2} = 32$。
∴ $x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-4\sqrt{3}\pm\sqrt{32}}{2\sqrt{2}} = -\sqrt{6}\pm2$。
∴ $x_1 = -\sqrt{6} + 2, x_2 = -\sqrt{6} - 2$。
请你分析以上解答过程有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的解答过程。
解：∵ $a=\sqrt{2}, b=4\sqrt{3}, c=2\sqrt{2}$，
∴ $b^2 - 4ac = (4\sqrt{3})^2 - 4×\sqrt{2}×2\sqrt{2} = 32$。
∴ $x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-4\sqrt{3}\pm\sqrt{32}}{2\sqrt{2}} = -\sqrt{6}\pm2$。
∴ $x_1 = -\sqrt{6} + 2, x_2 = -\sqrt{6} - 2$。
请你分析以上解答过程有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的解答过程。
答案
5. 有错误,$c$的值应为$-2\sqrt{2}$. 正确的解答过程如下:
$\because \quad a=\sqrt{2},b=4\sqrt{3},c=-2\sqrt{2}$,
$\therefore \quad b^2-4ac=(4\sqrt{3})^2-4×\sqrt{2}×(-2\sqrt{2})=64$.
$\therefore \quad x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-4\sqrt{3}\pm\sqrt{64}}{2\sqrt{2}}=-\sqrt{6}\pm2\sqrt{2}$.
$\therefore \quad x_1=-\sqrt{6}+2\sqrt{2},x_2=-\sqrt{6}-2\sqrt{2}$.
$\because \quad a=\sqrt{2},b=4\sqrt{3},c=-2\sqrt{2}$,
$\therefore \quad b^2-4ac=(4\sqrt{3})^2-4×\sqrt{2}×(-2\sqrt{2})=64$.
$\therefore \quad x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-4\sqrt{3}\pm\sqrt{64}}{2\sqrt{2}}=-\sqrt{6}\pm2\sqrt{2}$.
$\therefore \quad x_1=-\sqrt{6}+2\sqrt{2},x_2=-\sqrt{6}-2\sqrt{2}$.
解析
【分析】
要判断该同学的解答是否正确，首先回忆公式法解一元二次方程的步骤：第一步需先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，再准确确定$a$、$b$、$c$的取值（要注意各项符号），随后计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，最后代入求根公式化简得到结果。该同学的错误在于没有将原方程移项化为一般形式，直接把等号右侧的$2\sqrt{2}$当作常数项$c$，符号出错，导致后续判别式、根的计算都出现错误。我们只要先把方程移项化为一般式，再按公式法的正确步骤计算即可。
【解析】
该同学的解答有错误，错误点：未将原方程化为一元二次方程的一般形式，常数项$c$的取值错误，原方程移项后右边为0，因此$c=-2\sqrt{2}$，而非$2\sqrt{2}$，后续判别式、求根的计算也因此出错。
正确解答过程如下：
先将原方程移项，化为一般形式：$\sqrt{2}x^2 + 4\sqrt{3}x - 2\sqrt{2} = 0$
$\therefore a=\sqrt{2},b=4\sqrt{3},c=-2\sqrt{2}$，
$\therefore b^2-4ac=(4\sqrt{3})^2-4×\sqrt{2}×(-2\sqrt{2})=48+32=64$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-4\sqrt{3}\pm\sqrt{64}}{2\sqrt{2}}=\frac{-4\sqrt{3}\pm8}{2\sqrt{2}}=-\sqrt{6}\pm2\sqrt{2}$，
$\therefore x_1=-\sqrt{6}+2\sqrt{2},x_2=-\sqrt{6}-2\sqrt{2}$。
【答案】
解答有错误，$c$的值应为$-2\sqrt{2}$；正确的解为$x_1=-\sqrt{6}+2\sqrt{2},x_2=-\sqrt{6}-2\sqrt{2}$。
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程的一般形式，二次根式化简
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的典型易错题，解题的核心是先将方程转化为一般形式，确定各项系数时要注意符号，避免因符号疏忽导致解题错误，同时要熟练掌握二次根式的化简运算。
【难度系数】
0.7
要判断该同学的解答是否正确，首先回忆公式法解一元二次方程的步骤：第一步需先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，再准确确定$a$、$b$、$c$的取值（要注意各项符号），随后计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，最后代入求根公式化简得到结果。该同学的错误在于没有将原方程移项化为一般形式，直接把等号右侧的$2\sqrt{2}$当作常数项$c$，符号出错，导致后续判别式、根的计算都出现错误。我们只要先把方程移项化为一般式，再按公式法的正确步骤计算即可。
【解析】
该同学的解答有错误，错误点：未将原方程化为一元二次方程的一般形式，常数项$c$的取值错误，原方程移项后右边为0，因此$c=-2\sqrt{2}$，而非$2\sqrt{2}$，后续判别式、求根的计算也因此出错。
正确解答过程如下：
先将原方程移项，化为一般形式：$\sqrt{2}x^2 + 4\sqrt{3}x - 2\sqrt{2} = 0$
$\therefore a=\sqrt{2},b=4\sqrt{3},c=-2\sqrt{2}$，
$\therefore b^2-4ac=(4\sqrt{3})^2-4×\sqrt{2}×(-2\sqrt{2})=48+32=64$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-4\sqrt{3}\pm\sqrt{64}}{2\sqrt{2}}=\frac{-4\sqrt{3}\pm8}{2\sqrt{2}}=-\sqrt{6}\pm2\sqrt{2}$，
$\therefore x_1=-\sqrt{6}+2\sqrt{2},x_2=-\sqrt{6}-2\sqrt{2}$。
【答案】
解答有错误，$c$的值应为$-2\sqrt{2}$；正确的解为$x_1=-\sqrt{6}+2\sqrt{2},x_2=-\sqrt{6}-2\sqrt{2}$。
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程的一般形式，二次根式化简
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的典型易错题，解题的核心是先将方程转化为一般形式，确定各项系数时要注意符号，避免因符号疏忽导致解题错误，同时要熟练掌握二次根式的化简运算。
【难度系数】
0.7
6.如图,点A在数轴的负半轴上,点B在数轴的正半轴上,且点A表示的数是$2x-1$,点B表示的数是$x^2+x$,已知$AB=5$,求x的值.
答案
6. 根据题意,得$x^2+x-(2x-1)=5$.
整理,得$x^2-x-4=0$.
$\because \quad a=1,b=-1,c=-4$,
$\therefore \quad \Delta=(-1)^2-4×1×(-4)=17＞0$.
$\therefore \quad x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$,
即$x_1=\frac{1+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$.
$\because \quad$ 点$A$在数轴的负半轴上,点$B$在数轴的正半轴上,
$\therefore \quad 2x-1＜0,x^2+x＞0$.
当$x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$时,$2x-1=\sqrt{17}＞0$,不合题意,舍去;
当$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$时,$2x-1=-\sqrt{17}＜0,x^2+x=5-\sqrt{17}＞0$,符合题意.
$\therefore \quad x$的值为$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$.
整理,得$x^2-x-4=0$.
$\because \quad a=1,b=-1,c=-4$,
$\therefore \quad \Delta=(-1)^2-4×1×(-4)=17＞0$.
$\therefore \quad x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$,
即$x_1=\frac{1+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$.
$\because \quad$ 点$A$在数轴的负半轴上,点$B$在数轴的正半轴上,
$\therefore \quad 2x-1＜0,x^2+x＞0$.
当$x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$时,$2x-1=\sqrt{17}＞0$,不合题意,舍去;
当$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$时,$2x-1=-\sqrt{17}＜0,x^2+x=5-\sqrt{17}＞0$,符合题意.
$\therefore \quad x$的值为$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$.
解析
【分析】
解题时首先明确数轴上两点距离的计算规则：右侧点表示的数减去左侧点表示的数即为两点的距离，本题中点B在点A右侧，AB=5，据此可列出关于x的方程；再将方程整理为一元二次方程的一般形式，用公式法求解两根；最后结合“点A在负半轴、对应数小于0，点B在正半轴、对应数大于0”的限制条件，对两根进行检验，舍去不符合要求的根，即可得到x的正确值。
【解析】
根据题意，B在数轴右侧，A在左侧，AB=5，因此列方程：
$x^2+x-(2x-1)=5$
整理得一元二次方程一般形式：
$x^2-x-4=0$
其中$a=1,b=-1,c=-4$，计算判别式：
$\Delta=(-1)^2-4×1×(-4)=17＞0$，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$
即$x_1=\frac{1+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$
根据点的位置限制验根：
∵点A在负半轴，点B在正半轴，
∴$2x-1＜0,x^2+x＞0$
当$x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$时，$2x-1=\sqrt{17}＞0$，不符合A在负半轴的要求，舍去；
当$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$时，$2x-1=-\sqrt{17}＜0,x^2+x=5-\sqrt{17}＞0$，符合题意。
【答案】
$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$
【知识点】
数轴两点距离计算；公式法解一元二次方程；一元二次方程验根
【点评】
本题结合数轴性质与一元二次方程的求解，考查基础运算能力的同时，提醒我们求解带限制条件的方程问题时，要注意结合实际要求对根进行取舍，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确数轴上两点距离的计算规则：右侧点表示的数减去左侧点表示的数即为两点的距离，本题中点B在点A右侧，AB=5，据此可列出关于x的方程；再将方程整理为一元二次方程的一般形式，用公式法求解两根；最后结合“点A在负半轴、对应数小于0，点B在正半轴、对应数大于0”的限制条件，对两根进行检验，舍去不符合要求的根，即可得到x的正确值。
【解析】
根据题意，B在数轴右侧，A在左侧，AB=5，因此列方程：
$x^2+x-(2x-1)=5$
整理得一元二次方程一般形式：
$x^2-x-4=0$
其中$a=1,b=-1,c=-4$，计算判别式：
$\Delta=(-1)^2-4×1×(-4)=17＞0$，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$
即$x_1=\frac{1+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$
根据点的位置限制验根：
∵点A在负半轴，点B在正半轴，
∴$2x-1＜0,x^2+x＞0$
当$x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$时，$2x-1=\sqrt{17}＞0$，不符合A在负半轴的要求，舍去；
当$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$时，$2x-1=-\sqrt{17}＜0,x^2+x=5-\sqrt{17}＞0$，符合题意。
【答案】
$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$
【知识点】
数轴两点距离计算；公式法解一元二次方程；一元二次方程验根
【点评】
本题结合数轴性质与一元二次方程的求解，考查基础运算能力的同时，提醒我们求解带限制条件的方程问题时，要注意结合实际要求对根进行取舍，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
7. 阅读理解:
方程 $ax^2 + bx + c = 0\ (a ≠ 0)$ 的根是 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. 方程 $y^2 + by + ac = 0$ 的根是 $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2}$. 因此, 要求 $ax^2 + bx + c = 0\ (a ≠ 0)$ 的根, 只要求出方程 $y^2 + by + ac = 0$ 的根, 再除以 $a$ 就可以了. 举例:
解方程: $72x^2 + 8x + \frac{1}{6} = 0$.
解: 先解方程 $y^2 + 8y + 72 × \frac{1}{6} = 0$, 得 $y_1 = -2$, $y_2 = -6$.
$\therefore$ 方程 $72x^2 + 8x + \frac{1}{6} = 0$ 的两根是 $x_1 = -\frac{2}{72}$, $x_2 = -\frac{6}{72}$, 即 $x_1 = -\frac{1}{36}$, $x_2 = -\frac{1}{12}$.
请按上述阅读理解中所提供的方法解方程:
$49x^2 + 6x - \frac{1}{7} = 0$.
方程 $ax^2 + bx + c = 0\ (a ≠ 0)$ 的根是 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. 方程 $y^2 + by + ac = 0$ 的根是 $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2}$. 因此, 要求 $ax^2 + bx + c = 0\ (a ≠ 0)$ 的根, 只要求出方程 $y^2 + by + ac = 0$ 的根, 再除以 $a$ 就可以了. 举例:
解方程: $72x^2 + 8x + \frac{1}{6} = 0$.
解: 先解方程 $y^2 + 8y + 72 × \frac{1}{6} = 0$, 得 $y_1 = -2$, $y_2 = -6$.
$\therefore$ 方程 $72x^2 + 8x + \frac{1}{6} = 0$ 的两根是 $x_1 = -\frac{2}{72}$, $x_2 = -\frac{6}{72}$, 即 $x_1 = -\frac{1}{36}$, $x_2 = -\frac{1}{12}$.
请按上述阅读理解中所提供的方法解方程:
$49x^2 + 6x - \frac{1}{7} = 0$.
答案
7. 先解方程$y^2+6y-49×\frac{1}{7}=0$,
即$y^2+6y-7=0$,得$y_1=1,y_2=-7$.
$\therefore \quad$ 方程$49x^2+6x-\frac{1}{7}=0$的根是$x_1=\frac{1}{49}$,$x_2=-\frac{1}{7}$.
即$y^2+6y-7=0$,得$y_1=1,y_2=-7$.
$\therefore \quad$ 方程$49x^2+6x-\frac{1}{7}=0$的根是$x_1=\frac{1}{49}$,$x_2=-\frac{1}{7}$.
解析
【分析】
本题是阅读理解类的一元二次方程求解问题，首先要明确题干给出的简便解法逻辑：对于方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，可先构造关于$y$的方程$y^2+by+ac=0$，求出$y$的根后，将$y$的值除以$a$即可得到原方程的根。解题时第一步先从待解方程$49x^2 + 6x - \frac{1}{7} = 0$中对应找出$a=49$，$b=6$，$c=-\frac{1}{7}$；第二步计算$ac$的值，构造$y$的方程；第三步求解$y$的方程；第四步将$y$的根除以$a$得到原方程的解，注意计算时不要弄错$c$的符号。
【解析】
解：根据材料给出的方法，待解方程$49x^2 + 6x - \frac{1}{7} = 0$中，$a=49$，$b=6$，$c=-\frac{1}{7}$。
先构造并解关于$y$的方程：
$y^2 + 6y + 49×(-\frac{1}{7}) = 0$
整理得：$y^2 + 6y - 7 = 0$
因式分解得：$(y-1)(y+7)=0$
解得：$y_1=1$，$y_2=-7$
因此原方程的两根为：
$x_1=\frac{y_1}{a}=\frac{1}{49}$，$x_2=\frac{y_2}{a}=\frac{-7}{49}=-\frac{1}{7}$
【答案】
$x_1=\frac{1}{49}$，$x_2=-\frac{1}{7}$
【知识点】
一元二次方程解法，阅读理解应用，转化思想
【点评】
本题属于阅读迁移类题型，核心是读懂题干给出的新解法，按照步骤对应代入求解即可，解题时需注意常数项的符号，避免计算$ac$时出错。
【难度系数】
0.8
本题是阅读理解类的一元二次方程求解问题，首先要明确题干给出的简便解法逻辑：对于方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，可先构造关于$y$的方程$y^2+by+ac=0$，求出$y$的根后，将$y$的值除以$a$即可得到原方程的根。解题时第一步先从待解方程$49x^2 + 6x - \frac{1}{7} = 0$中对应找出$a=49$，$b=6$，$c=-\frac{1}{7}$；第二步计算$ac$的值，构造$y$的方程；第三步求解$y$的方程；第四步将$y$的根除以$a$得到原方程的解，注意计算时不要弄错$c$的符号。
【解析】
解：根据材料给出的方法，待解方程$49x^2 + 6x - \frac{1}{7} = 0$中，$a=49$，$b=6$，$c=-\frac{1}{7}$。
先构造并解关于$y$的方程：
$y^2 + 6y + 49×(-\frac{1}{7}) = 0$
整理得：$y^2 + 6y - 7 = 0$
因式分解得：$(y-1)(y+7)=0$
解得：$y_1=1$，$y_2=-7$
因此原方程的两根为：
$x_1=\frac{y_1}{a}=\frac{1}{49}$，$x_2=\frac{y_2}{a}=\frac{-7}{49}=-\frac{1}{7}$
【答案】
$x_1=\frac{1}{49}$，$x_2=-\frac{1}{7}$
【知识点】
一元二次方程解法，阅读理解应用，转化思想
【点评】
本题属于阅读迁移类题型，核心是读懂题干给出的新解法，按照步骤对应代入求解即可，解题时需注意常数项的符号，避免计算$ac$时出错。
【难度系数】
0.8
