1. 二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能表明气候变化和农事季节，在农业生产上有重要的意义.下面四幅图片分别代表“芒种”“白露”“立夏”“大雪”，其中是中心对称图形的是（）


A
B
C D

D

根据中心对称图形的定义：将一个图形绕某一点旋转180°，若旋转后的图形能够与原图形完全重合，则该图形为中心对称图形。逐一判断：选项A、B、C中的图形绕圆心旋转180°后，均无法与原图形重合，不属于中心对称图形；选项D中的图形绕圆心旋转180°后与原图形完全重合，是中心对称图形。

2. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为$(a,b)$，点B的坐标为$(m,n)$，且点A与点B关于原点对称.若$a+b=-3$，则$m+n$的值为()

A.$-\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$-3$
D.$3$

D

根据关于原点对称的点的坐标性质：两点关于原点对称时，横、纵坐标分别互为相反数。由点A(a,b)与点B(m,n)关于原点对称，可得$m=-a$，$n=-b$。因此$m+n=-a-b=-(a+b)$，将$a+b=-3$代入，得$m+n=-(-3)=3$。

3.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,将$△ ABC$绕点A逆时针旋转$60°$得到$△ ADE$.连接BE,则$∠ CBE$的度数为()


A.$50°$
B.$60°$
C.$75°$
D.$80°$

C

1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，可得$∠ BAC=∠ ABC=45°$。
2. 由旋转的性质可知：$AC=AE$，旋转角$∠ CAE=60°$，因此$△ ACE$是等边三角形，得$CE=AC$，$∠ ACE=60°$。
3. 结合$AC=BC$，可得$CE=BC$，且$∠ BCE=∠ ACB-∠ ACE=90°-60°=30°$。
4. 在等腰$△ BCE$中，$∠ CBE=\frac{180°-∠ BCE}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$。

4.若点P(2,3)绕着原点按顺时针方向旋转$90°$与点$P'$重合，则点$P'$的坐标为。

$\boldsymbol{(3,-2)}$

解：
过点P作PA⊥x轴于点A，过点P'作P'B⊥y轴于点B。
由P(2,3)可得OA=2，PA=3。
∵点P绕原点按顺时针方向旋转90°得到点P'，
∴OP=OP'，∠POP'=90°，
∴∠AOP + ∠POB = 90°，
又∵∠P'OB + ∠POB = 90°，
∴∠AOP = ∠P'OB。
在△AOP和△BOP'中：
$\{\begin{array}{l}∠OAP = ∠P'BO = 90° \\∠AOP = ∠BOP' \\OP = P'O\end{array} $
∴△AOP ≌ △BOP'(AAS)，
∴OB = PA = 3，P'B = OA = 2，
结合点P'所在象限可得点P'的坐标为$(3,-2)$。
最终

5.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点C的对应点E落在CB的延长线上，连接BD。若CE=7，则AC=。（第5题）（第6题）

解：
由旋转的性质可得：$AC = AE$，$∠ CAE = 90°$，
$\therefore △ ACE$为等腰直角三角形，$∠ C = ∠ AEC = 45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ CAE = 90°$，$CE = 7$，
$AC = CE · \cos∠ C = 7 × \cos45° = 7 × \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{7\sqrt{2}}{2}$。
$\dfrac{7\sqrt{2}}{2}$

6.一副三角尺如图放置，将三角尺ADE绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜90°)，使得三角尺ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为.

$\boldsymbol{15°}$或$\boldsymbol{60°}$

解：
由三角尺的性质可知，$∠ B=60°$，$∠ C=30°$，$∠ DAE=45°$，$∠ BAC=90°$，分两种情况讨论：
1. 当$DE ⊥ BC$时，设$DE$与$BC$交于点$M$，
$\because DE ⊥ BC$，$∠ C=30°$，
$\therefore ∠ CEM=90°-30°=60°$，
$\therefore ∠ CAE=∠ CEM-∠ AED=60°-45°=15°$，
$\therefore α=∠ BAD=90°-∠ DAE-∠ CAE=90°-45°-30°=15°$。
2. 当$AE ⊥ BC$时，
$\because AE ⊥ BC$，$∠ C=30°$，
$\therefore ∠ CAE=90°-30°=60°$，
$\therefore α=∠ BAD=90°-∠ CAE=90°-30°=60°$。
综上，$α$的度数为$15°$或$60°$。

7. 提升题 如图，在$△ ABC$中，$AB=\sqrt{2}$，$AC=4$。若以点$C$为旋转中心，将线段$CB$顺时针旋转$90°$得到线段$CD$，连接$AD$，则$AD$的最小值为。

$\boldsymbol{3\sqrt{2}}$

解：
将线段$AC$绕点$C$顺时针旋转$90°$得到线段$CE$，连接$AE$、$DE$。
由旋转性质得：$CE=AC=4$，$∠ ACE=90°$，
$\therefore AE=\sqrt{AC^2+CE^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
由题意知：$CD=CB$，$∠ BCD=90°$，
$\therefore ∠ ACB+∠ ACD=∠ ECD+∠ ACD=90°$，即$∠ ACB=∠ ECD$。
在$△ ACB$和$△ ECD$中：
$\begin{cases}AC=EC \\∠ ACB=∠ ECD \\CB=CD\end{cases}$
$\therefore △ ACB ≌ △ ECD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DE=AB=\sqrt{2}$。
根据两点之间线段最短，可得$AD\ge AE-DE$，当且仅当$A$、$D$、$E$三点共线且$D$在$A$、$E$之间时取等号，
$\therefore AD$的最小值为$4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。

8.在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,有图示四边形ABCD(顶点都在格点上).请仅用无刻度的直尺按下列步骤完成作图(保留作图痕迹,不写作法).
(1)将线段BC绕点B逆时针旋转90°,画出对应线段BE;
(2)在线段CD上作点F,使∠CBF=45°;
(3)连接BD,作点F关于直线BD的对称点H.

解：
按要求完成作图，保留全部作图痕迹：
(1) 找到格点E，满足BE=BC且BE⊥BC，连接BE，线段BE即为线段BC绕点B逆时针旋转90°的对应线段；
(2) 连接点B与CE的中点，该连线与CD的交点即为所求点F，此时∠CBF=45°；
(3) 利用网格平行特性连线，得到点F关于直线BD的对称点H，点H即为所求。