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1.如图,若被击打的小球的飞行高度$h$(单位:m)与飞行时间$t$(单位:s)之间的函数表达式为$h=-t^2 +4t$,则小球从飞出到落地所用的时间为
$\quad$
$\quad$(
A.3 s
B.4 s
C.5 s
D.6 s
$\quad$
$\quad$(
B
)A.3 s
B.4 s
C.5 s
D.6 s
答案
1.B
解析
【分析】
要计算小球从飞出到落地的总时间，首先明确隐含条件：小球飞出瞬间和落地瞬间的飞行高度h都为0。因此只需令函数表达式中h=0，求解对应的t值，其中t=0是飞出的初始时刻，另一个正解就是落地时刻，两个时刻的差值就是总飞行时间。
【解析】
解：当小球落地时，飞行高度$h=0$，将$h=0$代入函数表达式$h=-t^2 +4t$，可得：
$-t^2 +4t=0$
因式分解得：$t(-t+4)=0$
解得：$t_1=0$，$t_2=4$
其中$t=0$是小球飞出的时刻，因此小球落地时刻为$t=4\ \mathrm{s}$，即小球从飞出到落地所用的时间为4 s。
【答案】
B
【知识点】
二次函数实际应用；解一元二次方程
【点评】
本题结合抛体运动的实际情境考查二次函数的应用，解题关键是抓住“落地时高度为0”这一隐含条件，将函数问题转化为解方程问题即可求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要计算小球从飞出到落地的总时间，首先明确隐含条件：小球飞出瞬间和落地瞬间的飞行高度h都为0。因此只需令函数表达式中h=0，求解对应的t值，其中t=0是飞出的初始时刻，另一个正解就是落地时刻，两个时刻的差值就是总飞行时间。
【解析】
解：当小球落地时，飞行高度$h=0$，将$h=0$代入函数表达式$h=-t^2 +4t$，可得：
$-t^2 +4t=0$
因式分解得：$t(-t+4)=0$
解得：$t_1=0$，$t_2=4$
其中$t=0$是小球飞出的时刻，因此小球落地时刻为$t=4\ \mathrm{s}$，即小球从飞出到落地所用的时间为4 s。
【答案】
B
【知识点】
二次函数实际应用；解一元二次方程
【点评】
本题结合抛体运动的实际情境考查二次函数的应用，解题关键是抓住“落地时高度为0”这一隐含条件，将函数问题转化为解方程问题即可求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
2. [易错题]一辆汽车刹车后行驶的距离$s$（单位：m）与行驶时间$t$（单位：s）之间的函数表达式是$s=15t -6t^2$，则$s$与$t$的函数图象大致是（
A
B
C D
D
）A
B
C D
答案
2.D
解析
【分析】解题时需结合二次函数的性质和刹车的实际意义分步分析：首先明确该函数是开口向下的二次函数，刹车后汽车行驶距离先增加，停下后不再变化，不存在距离减小的情况；其次通过二次函数顶点横坐标公式算出距离最大时对应的时间，排除时间不符的选项；最后结合实际意义排除存在距离下降段的选项，即可得到正确答案。
【解析】将函数表达式整理为$s=-6t^2+15t$，可知这是开口向下的二次函数。
根据二次函数顶点横坐标公式$t=-\frac{b}{2a}$，其中$a=-6$，$b=15$，代入得：
$t=-\frac{15}{2×(-6)}=1.25\ \mathrm{s}$
即刹车1.25s后，行驶距离$s$达到最大值，此时汽车停止运动，后续$s$不会再变化，也不会减小，因此函数图像仅包含$t\in[0,1.25]$的上升段抛物线：
① 排除顶点横坐标为2.5的A、C选项；
② 排除存在$s$下降段的B选项，只有D符合要求。
【答案】D
【知识点】二次函数的图象与性质，二次函数的实际应用
【点评】本题属于易错题，解题时不能只关注二次函数的图象性质，还要结合实际情境判断自变量的取值范围和图象的实际意义，避免忽略刹车后距离不会减小的特点错选B。
【难度系数】0.6
【解析】将函数表达式整理为$s=-6t^2+15t$，可知这是开口向下的二次函数。
根据二次函数顶点横坐标公式$t=-\frac{b}{2a}$，其中$a=-6$，$b=15$，代入得：
$t=-\frac{15}{2×(-6)}=1.25\ \mathrm{s}$
即刹车1.25s后，行驶距离$s$达到最大值，此时汽车停止运动，后续$s$不会再变化，也不会减小，因此函数图像仅包含$t\in[0,1.25]$的上升段抛物线：
① 排除顶点横坐标为2.5的A、C选项；
② 排除存在$s$下降段的B选项，只有D符合要求。
【答案】D
【知识点】二次函数的图象与性质，二次函数的实际应用
【点评】本题属于易错题，解题时不能只关注二次函数的图象性质，还要结合实际情境判断自变量的取值范围和图象的实际意义，避免忽略刹车后距离不会减小的特点错选B。
【难度系数】0.6
3.一个网球发射器向空中发射网球，网球飞行的路线呈一条抛物线.如果网球距离地面的高度$h$(单位:$\mathrm{m}$)关于运行时间$t$(单位:$\mathrm{s}$)的函数表达式为$h=-\dfrac{1}{80}t^2+\dfrac{1}{5}t+1(0≤ t≤20)$，那么网球到达最高点时距离地面的高度是
$\frac{9}{5}$
$\mathrm{m}$.答案
3.$\frac{9}{5}$
解析
【分析】
本题要求网球到达最高点的高度，实质是求给定二次函数在定义域$0≤t≤20$内的最大值。首先观察二次项系数$a=-\frac{1}{80}＜0$，可知抛物线开口向下，顶点处函数取得最大值，我们可以通过配方法将函数化为顶点式，再验证顶点对应的横坐标是否在给定的时间范围内，即可求出最大高度。
【解析】
已知函数表达式为$h=-\dfrac{1}{80}t^2+\dfrac{1}{5}t+1(0≤ t≤20)$，对函数配方得：
$\begin{aligned}h&=-\dfrac{1}{80}(t^2 - 16t) + 1\\&=-\dfrac{1}{80}(t^2 -16t +64 -64) +1\\&=-\dfrac{1}{80}(t-8)^2 + \dfrac{64}{80} +1\\&=-\dfrac{1}{80}(t-8)^2 + \dfrac{9}{5}\end{aligned}$
∵ 二次项系数$-\frac{1}{80}＜0$，
∴ 抛物线开口向下，当$t=8$时，$h$取得最大值。
又
∵ $t=8$满足$0≤8≤20$，符合实际意义，因此最大值为$\frac{9}{5}\mathrm{m}$。
【答案】
$\dfrac{9}{5}$
【知识点】
二次函数最值，二次函数实际应用，抛物线性质
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的基础应用，核心是将实际问题中“最高点”转化为二次函数的最值问题求解，解题时需注意验证顶点横坐标是否在自变量的取值范围内，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.8
本题要求网球到达最高点的高度，实质是求给定二次函数在定义域$0≤t≤20$内的最大值。首先观察二次项系数$a=-\frac{1}{80}＜0$，可知抛物线开口向下，顶点处函数取得最大值，我们可以通过配方法将函数化为顶点式，再验证顶点对应的横坐标是否在给定的时间范围内，即可求出最大高度。
【解析】
已知函数表达式为$h=-\dfrac{1}{80}t^2+\dfrac{1}{5}t+1(0≤ t≤20)$，对函数配方得：
$\begin{aligned}h&=-\dfrac{1}{80}(t^2 - 16t) + 1\\&=-\dfrac{1}{80}(t^2 -16t +64 -64) +1\\&=-\dfrac{1}{80}(t-8)^2 + \dfrac{64}{80} +1\\&=-\dfrac{1}{80}(t-8)^2 + \dfrac{9}{5}\end{aligned}$
∵ 二次项系数$-\frac{1}{80}＜0$，
∴ 抛物线开口向下，当$t=8$时，$h$取得最大值。
又
∵ $t=8$满足$0≤8≤20$，符合实际意义，因此最大值为$\frac{9}{5}\mathrm{m}$。
【答案】
$\dfrac{9}{5}$
【知识点】
二次函数最值，二次函数实际应用，抛物线性质
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的基础应用，核心是将实际问题中“最高点”转化为二次函数的最值问题求解，解题时需注意验证顶点横坐标是否在自变量的取值范围内，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.8
4.一名运动员在10 m高的跳台进行跳水，身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(单位:m)与离起跳点A的水平距离x(单位:m)之间的函数图象如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1 m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3 m时，离水面OB的高度为7 m.
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长.
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长.
答案
4.(1)$y=-x^2+2x+10$ (2)$(1+\sqrt{11})\mathrm{m}$
解析
【分析】
(1) 求解函数表达式时，首先根据“水平距离为1m时达到最高点”可知抛物线对称轴为直线x=1，因此可以设二次函数的顶点式，再代入已知的两个点：起跳点(0,10)、x=3时y=7，通过解方程组求出系数即可得到函数式。
(2) 求入水点水平距离OB，入水时运动员离水面高度为0，即令y=0，代入第一问得到的函数表达式解一元二次方程，取正的解即为OB的长度（距离为非负数，舍去负根）。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线的对称轴为直线$x=1$，设$y$与$x$的函数表达式为$y=a(x-1)^2+k\ (a≠0)$。
已知起跳点坐标为$(0,10)$，且$x=3$时$y=7$，将两点代入解析式得：
$\begin{cases}a(0-1)^2 +k=10\\a(3-1)^2 +k=7\end{cases}$，化简得$\begin{cases}a+k=10①\\4a+k=7②\end{cases}$
用②式减①式得：$3a=-3$，解得$a=-1$，将$a=-1$代入①式得$k=11$。
因此函数表达式为$y=-(x-1)^2+11$，展开得$\boldsymbol{y=-x^2+2x+10}$。
(2) 运动员入水时离水面高度$y=0$，令$y=0$，则：
$-x^2+2x+10=0$，整理得$x^2-2x-10=0$
由求根公式得$x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4×1×(-10)}}{2×1}=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{2}=1\pm\sqrt{11}$
因为水平距离为正数，所以舍去负根$x=1-\sqrt{11}$，得$x=1+\sqrt{11}$，即OB的长为$(1+\sqrt{11})\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1)$y=-x^2+2x+10$
(2)$(1+\sqrt{11})\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数实际应用；解一元二次方程
【点评】
本题以跳水实际场景为背景考查二次函数的应用，解题核心是准确提取题干中的条件确定函数解析式，再结合实际意义求解问题，需要注意实际问题中自变量的取值要符合现实逻辑。
【难度系数】
0.7
(1) 求解函数表达式时，首先根据“水平距离为1m时达到最高点”可知抛物线对称轴为直线x=1，因此可以设二次函数的顶点式，再代入已知的两个点：起跳点(0,10)、x=3时y=7，通过解方程组求出系数即可得到函数式。
(2) 求入水点水平距离OB，入水时运动员离水面高度为0，即令y=0，代入第一问得到的函数表达式解一元二次方程，取正的解即为OB的长度（距离为非负数，舍去负根）。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线的对称轴为直线$x=1$，设$y$与$x$的函数表达式为$y=a(x-1)^2+k\ (a≠0)$。
已知起跳点坐标为$(0,10)$，且$x=3$时$y=7$，将两点代入解析式得：
$\begin{cases}a(0-1)^2 +k=10\\a(3-1)^2 +k=7\end{cases}$，化简得$\begin{cases}a+k=10①\\4a+k=7②\end{cases}$
用②式减①式得：$3a=-3$，解得$a=-1$，将$a=-1$代入①式得$k=11$。
因此函数表达式为$y=-(x-1)^2+11$，展开得$\boldsymbol{y=-x^2+2x+10}$。
(2) 运动员入水时离水面高度$y=0$，令$y=0$，则：
$-x^2+2x+10=0$，整理得$x^2-2x-10=0$
由求根公式得$x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4×1×(-10)}}{2×1}=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{2}=1\pm\sqrt{11}$
因为水平距离为正数，所以舍去负根$x=1-\sqrt{11}$，得$x=1+\sqrt{11}$，即OB的长为$(1+\sqrt{11})\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1)$y=-x^2+2x+10$
(2)$(1+\sqrt{11})\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数实际应用；解一元二次方程
【点评】
本题以跳水实际场景为背景考查二次函数的应用，解题核心是准确提取题干中的条件确定函数解析式，再结合实际意义求解问题，需要注意实际问题中自变量的取值要符合现实逻辑。
【难度系数】
0.7
5. 加工爆米花时，爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”. 在特定条件下，可食用率 $ p $ 与加工时间 $ t $（单位：min）满足函数关系 $ p = at^2 + bt - 2 $（$ a,b $ 是常数）. 
记录了两次试验的数据，则最佳的加工时间为（
A.3.50 min
B.3.75 min
C.4.00 min
D.4.25 min
记录了两次试验的数据，则最佳的加工时间为（B
）A.3.50 min
B.3.75 min
C.4.00 min
D.4.25 min
答案
5.B
解析
【分析】
要找到最佳加工时间，即求可食用率$p$取最大值时对应的$t$值。解题思路如下：首先根据图像给出的两组$(t,p)$数据，代入二次函数表达式，通过解二元一次方程组求出常数$a$、$b$的值；再利用二次函数的性质，开口向下的二次函数在对称轴处取得最大值，对称轴对应的$t$值就是最佳加工时间。
【解析】
由图可知：当$t=3$时，$p=0.7$；当$t=4$时，$p=0.8$，将两组值分别代入函数$p = at^2 + bt - 2$得：
$\begin{cases}9a + 3b - 2 = 0.7 \\16a + 4b - 2 = 0.8\end{cases}$
化简方程组：
$\begin{cases}3a + b = 0.9 \quad \mathrm{(1)} \\4a + b = 0.7 \quad \mathrm{(2)}\end{cases}$
用(2)-(1)得：$a = -0.2$，将$a=-0.2$代入(1)得：$3×(-0.2) + b = 0.9$，解得$b=1.5$。
因此函数表达式为$p = -0.2t^2 + 1.5t - 2$，因为$a=-0.2＜0$，该二次函数开口向下，对称轴处$p$取最大值。
二次函数对称轴公式为$t=-\frac{b}{2a}$，代入$a$、$b$的值：
$t = -\frac{1.5}{2×(-0.2)} = \frac{1.5}{0.4} = 3.75$
即最佳加工时间为3.75min。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；二次函数最值
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数的相关知识，解题的核心是理解最佳加工时间对应可食用率的最大值，即二次函数顶点的横坐标，掌握待定系数法求解析式和二次函数最值的求法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
要找到最佳加工时间，即求可食用率$p$取最大值时对应的$t$值。解题思路如下：首先根据图像给出的两组$(t,p)$数据，代入二次函数表达式，通过解二元一次方程组求出常数$a$、$b$的值；再利用二次函数的性质，开口向下的二次函数在对称轴处取得最大值，对称轴对应的$t$值就是最佳加工时间。
【解析】
由图可知：当$t=3$时，$p=0.7$；当$t=4$时，$p=0.8$，将两组值分别代入函数$p = at^2 + bt - 2$得：
$\begin{cases}9a + 3b - 2 = 0.7 \\16a + 4b - 2 = 0.8\end{cases}$
化简方程组：
$\begin{cases}3a + b = 0.9 \quad \mathrm{(1)} \\4a + b = 0.7 \quad \mathrm{(2)}\end{cases}$
用(2)-(1)得：$a = -0.2$，将$a=-0.2$代入(1)得：$3×(-0.2) + b = 0.9$，解得$b=1.5$。
因此函数表达式为$p = -0.2t^2 + 1.5t - 2$，因为$a=-0.2＜0$，该二次函数开口向下，对称轴处$p$取最大值。
二次函数对称轴公式为$t=-\frac{b}{2a}$，代入$a$、$b$的值：
$t = -\frac{1.5}{2×(-0.2)} = \frac{1.5}{0.4} = 3.75$
即最佳加工时间为3.75min。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；二次函数最值
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数的相关知识，解题的核心是理解最佳加工时间对应可食用率的最大值，即二次函数顶点的横坐标，掌握待定系数法求解析式和二次函数最值的求法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
6. 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线(不考虑空气阻力)，足球距离地面的高度h(单位:m)与足球被踢出后经过的时间t(单位:s)之间的关系如下表：
下列结论正确的是 (
A.足球距离地面的最大高度为20 m
B.足球飞行路线的对称轴是直线$t=4$
C.足球被踢出9 s时落地
D.足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m
下列结论正确的是 (
C
)A.足球距离地面的最大高度为20 m
B.足球飞行路线的对称轴是直线$t=4$
C.足球被踢出9 s时落地
D.足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m
答案
6.C
解析
【分析】
本题中足球高度h与时间t满足二次函数关系，解题思路如下：①先根据表格中t=0时h=0的特点，设二次函数解析式为$h=at^2+bt$（常数项为0）；②代入表格中两组已知的t、h值，求解得到函数的系数a、b，确定完整解析式；③结合二次函数的性质，分别计算最大高度、对称轴、落地时间、t=1.5s时的高度，逐一判断四个选项的正误，最终选出正确结论。
【解析】
设足球高度h与时间t的二次函数解析式为$h=at^2+bt(a≠0)$，
将$t=1,h=8$和$t=2,h=14$代入解析式得：
$\begin{cases}a+b=8\\4a+2b=14\end{cases}$
解方程组：将第二个方程化简为$2a+b=7$，减去第一个方程得$a=-1$，代入$a+b=8$得$b=9$，
因此函数解析式为$\boldsymbol{h=-t^2+9t}$。
逐一判断选项：
A. 二次函数开口向下，顶点处为最大高度，顶点横坐标$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{9}{2×(-1)}=4.5\mathrm{s}$，代入得最大高度$h=-4.5^2+9×4.5=20.25\mathrm{m}$，不是20m，A错误；
B. 二次函数对称轴为直线$t=4.5$，不是$t=4$，B错误；
C. 足球落地时$h=0$，解方程$-t^2+9t=0$，得$t_1=0$（踢出初始时刻），$t_2=9$，即9s时落地，C正确；
D. 当$t=1.5\mathrm{s}$时，代入解析式得$h=-1.5^2+9×1.5=11.25\mathrm{m}$，不是11m，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的性质；解一元二次方程
【点评】
本题结合抛体运动场景考查二次函数的应用，解题核心是先根据已知点求出二次函数解析式，再利用二次函数的顶点、对称轴、解方程等知识逐一验证选项，计算时注意避免粗心出错。
【难度系数】
0.7
本题中足球高度h与时间t满足二次函数关系，解题思路如下：①先根据表格中t=0时h=0的特点，设二次函数解析式为$h=at^2+bt$（常数项为0）；②代入表格中两组已知的t、h值，求解得到函数的系数a、b，确定完整解析式；③结合二次函数的性质，分别计算最大高度、对称轴、落地时间、t=1.5s时的高度，逐一判断四个选项的正误，最终选出正确结论。
【解析】
设足球高度h与时间t的二次函数解析式为$h=at^2+bt(a≠0)$，
将$t=1,h=8$和$t=2,h=14$代入解析式得：
$\begin{cases}a+b=8\\4a+2b=14\end{cases}$
解方程组：将第二个方程化简为$2a+b=7$，减去第一个方程得$a=-1$，代入$a+b=8$得$b=9$，
因此函数解析式为$\boldsymbol{h=-t^2+9t}$。
逐一判断选项：
A. 二次函数开口向下，顶点处为最大高度，顶点横坐标$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{9}{2×(-1)}=4.5\mathrm{s}$，代入得最大高度$h=-4.5^2+9×4.5=20.25\mathrm{m}$，不是20m，A错误；
B. 二次函数对称轴为直线$t=4.5$，不是$t=4$，B错误；
C. 足球落地时$h=0$，解方程$-t^2+9t=0$，得$t_1=0$（踢出初始时刻），$t_2=9$，即9s时落地，C正确；
D. 当$t=1.5\mathrm{s}$时，代入解析式得$h=-1.5^2+9×1.5=11.25\mathrm{m}$，不是11m，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的性质；解一元二次方程
【点评】
本题结合抛体运动场景考查二次函数的应用，解题核心是先根据已知点求出二次函数解析式，再利用二次函数的顶点、对称轴、解方程等知识逐一验证选项，计算时注意避免粗心出错。
【难度系数】
0.7
