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7. 在某场足球比赛中，一个足球从地面被向上踢出，它距地面的高度$h$（单位：m）可以用公式$h=-5t^2 + v_0 t$表示，其中$t$（单位：s）表示足球被踢出后经过的时间，$v_0$（单位：m/s）表示足球被踢出时的速度。如果要求足球距地面的最大高度达到20 m，那么足球被踢出时的速度应该达到（
A.5 m/s
B.10 m/s
C.20 m/s
D.40 m/s
C
）A.5 m/s
B.10 m/s
C.20 m/s
D.40 m/s
答案
7.C
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用二次函数的最值性质：对于开口向下的二次函数，其顶点处取得最大值。首先明确足球高度h是关于时间t的二次函数，找到该函数的最大值表达式，再结合题目要求的最大高度建立方程，求解足球被踢出时的速度$v_0$。
【解析】
已知足球高度$h$与时间$t$的关系为二次函数：$h = -5t^2 + v_0 t$，其中二次项系数$a=-5＜0$，因此函数存在最大值，最大值对应二次函数顶点的纵坐标。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点纵坐标公式为$\frac{4ac - b^2}{4a}$，代入本题参数（$a=-5, b=v_0, c=0$）：
$h_{\mathrm{max}} = \frac{4×(-5)×0 - v_0^2}{4×(-5)} = \frac{-v_0^2}{-20} = \frac{v_0^2}{20}$
题目要求最大高度为20m，因此令$\frac{v_0^2}{20}=20$，解方程：
$v_0^2 = 20×20 = 400$
由于速度为正数，故$v_0 = 20 \, \mathrm{m/s}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的最值；实际问题与二次函数
【点评】
本题是二次函数在实际运动问题中的典型应用，核心是利用二次函数顶点求最值，难度适中，属于基础题型，需掌握二次函数最值的计算方法。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需利用二次函数的最值性质：对于开口向下的二次函数，其顶点处取得最大值。首先明确足球高度h是关于时间t的二次函数，找到该函数的最大值表达式，再结合题目要求的最大高度建立方程，求解足球被踢出时的速度$v_0$。
【解析】
已知足球高度$h$与时间$t$的关系为二次函数：$h = -5t^2 + v_0 t$，其中二次项系数$a=-5＜0$，因此函数存在最大值，最大值对应二次函数顶点的纵坐标。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点纵坐标公式为$\frac{4ac - b^2}{4a}$，代入本题参数（$a=-5, b=v_0, c=0$）：
$h_{\mathrm{max}} = \frac{4×(-5)×0 - v_0^2}{4×(-5)} = \frac{-v_0^2}{-20} = \frac{v_0^2}{20}$
题目要求最大高度为20m，因此令$\frac{v_0^2}{20}=20$，解方程：
$v_0^2 = 20×20 = 400$
由于速度为正数，故$v_0 = 20 \, \mathrm{m/s}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的最值；实际问题与二次函数
【点评】
本题是二次函数在实际运动问题中的典型应用，核心是利用二次函数顶点求最值，难度适中，属于基础题型，需掌握二次函数最值的计算方法。
【难度系数】
0.6
8. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究:测得喷水头P距地面0.7 m，水柱在距喷水头P水平距离5 m处达到最高，最高点距地面3.2 m. 建立如图所示的平面直角坐标系，其中x(单位:m)是水柱距喷水头的水平距离，y(单位:m)是水柱距地面的高度.
(1)求抛物线对应的函数表达式.
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P的水平距离为3 m. 身高1.6 m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离.
(1)求抛物线对应的函数表达式.
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P的水平距离为3 m. 身高1.6 m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离.
答案
8.(1)抛物线对应的函数表达式为 $y=-0.1(x-5)^2+3.2$(或$y=-0.1x^2+x+0.7$).
(2)2 m或6 m.
(2)2 m或6 m.
解析
【分析】
本题是二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：
1. 求抛物线表达式时，已知抛物线的顶点坐标，因此采用顶点式设函数表达式，再代入已知点（喷水头P的坐标）求出系数，即可得到函数表达式；
2. 求小红与爸爸的水平距离时，先根据“头顶接触水柱”即y=1.6m，代入函数表达式求出对应的水平距离x，再结合爸爸的位置（x=3m），计算两者的水平差即可。
【解析】
(1) 因为抛物线的顶点为(5, 3.2)，设抛物线对应的函数表达式为 $ y = a(x - 5)^2 + 3.2 $。
已知喷水头P的坐标为(0, 0.7)，将其代入表达式得：
$ 0.7 = a(0 - 5)^2 + 3.2 $
化简得：$ 0.7 = 25a + 3.2 $
解得：$ a = -0.1 $
因此抛物线对应的函数表达式为 $ y = -0.1(x - 5)^2 + 3.2 $（或展开为 $ y = -0.1x^2 + x + 0.7 $）。
(2) 当小红头顶恰好接触水柱时，$ y = 1.6 $，代入函数表达式：
$ 1.6 = -0.1(x - 5)^2 + 3.2 $
移项化简：$ (x - 5)^2 = 16 $
开方得：$ x - 5 = ±4 $
解得：$ x = 1 $ 或 $ x = 9 $。
爸爸距喷水头的水平距离为3m，因此小红与爸爸的水平距离为 $ |1 - 3| = 2 \, \mathrm{m} $ 或 $ |9 - 3| = 6 \, \mathrm{m} $。
【答案】
(1) $ y=-0.1(x-5)^2+3.2 $（或 $ y=-0.1x^2+x+0.7 $）；(2) 2 m或6 m
【知识点】
二次函数表达式、二次函数的应用
【点评】
本题结合实际喷水景观考查二次函数的应用，核心是利用顶点式求函数解析式，再通过函数值求自变量的值，属于基础应用题型，需要学生掌握二次函数的基本性质和代入计算方法。
【难度系数】
0.3
本题是二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：
1. 求抛物线表达式时，已知抛物线的顶点坐标，因此采用顶点式设函数表达式，再代入已知点（喷水头P的坐标）求出系数，即可得到函数表达式；
2. 求小红与爸爸的水平距离时，先根据“头顶接触水柱”即y=1.6m，代入函数表达式求出对应的水平距离x，再结合爸爸的位置（x=3m），计算两者的水平差即可。
【解析】
(1) 因为抛物线的顶点为(5, 3.2)，设抛物线对应的函数表达式为 $ y = a(x - 5)^2 + 3.2 $。
已知喷水头P的坐标为(0, 0.7)，将其代入表达式得：
$ 0.7 = a(0 - 5)^2 + 3.2 $
化简得：$ 0.7 = 25a + 3.2 $
解得：$ a = -0.1 $
因此抛物线对应的函数表达式为 $ y = -0.1(x - 5)^2 + 3.2 $（或展开为 $ y = -0.1x^2 + x + 0.7 $）。
(2) 当小红头顶恰好接触水柱时，$ y = 1.6 $，代入函数表达式：
$ 1.6 = -0.1(x - 5)^2 + 3.2 $
移项化简：$ (x - 5)^2 = 16 $
开方得：$ x - 5 = ±4 $
解得：$ x = 1 $ 或 $ x = 9 $。
爸爸距喷水头的水平距离为3m，因此小红与爸爸的水平距离为 $ |1 - 3| = 2 \, \mathrm{m} $ 或 $ |9 - 3| = 6 \, \mathrm{m} $。
【答案】
(1) $ y=-0.1(x-5)^2+3.2 $（或 $ y=-0.1x^2+x+0.7 $）；(2) 2 m或6 m
【知识点】
二次函数表达式、二次函数的应用
【点评】
本题结合实际喷水景观考查二次函数的应用，核心是利用顶点式求函数解析式，再通过函数值求自变量的值，属于基础应用题型，需要学生掌握二次函数的基本性质和代入计算方法。
【难度系数】
0.3
9. [教材P39例3改编]甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P，P点距离地面的高度为$\frac{3}{2}$m，羽毛球的运动轨迹是抛物线，并且在距P点水平距离4 m处达到最高点，最高点距离地面$\frac{17}{6}$m，建立如图所示的平面直角坐标系。
(1)求羽毛球距地面的高度y(单位:m)与飞出的水平距离x(单位:m)之间的函数表达式。
(2)已知P点距离甲对面的场地边线为11.7 m，若乙不接球，此球是落在界内还是界外？
(3)已知球网AB距原点5 m，乙(用线段CD表示)扣球的最大高度为$\frac{9}{4}$ m，设乙的起跳点C的横坐标为m。若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，求m的取值范围。
(1)求羽毛球距地面的高度y(单位:m)与飞出的水平距离x(单位:m)之间的函数表达式。
(2)已知P点距离甲对面的场地边线为11.7 m，若乙不接球，此球是落在界内还是界外？
(3)已知球网AB距原点5 m，乙(用线段CD表示)扣球的最大高度为$\frac{9}{4}$ m，设乙的起跳点C的横坐标为m。若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，求m的取值范围。
答案
9.(1)设 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y=a(x-4)^2+\frac{17}{6}$，
将点 $P(0,\frac{3}{2})$ 代入，得 $16a+\frac{17}{6}=\frac{3}{2}$，解得 $a=-\frac{1}{12}$.
$\therefore y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y = -\frac{1}{12}(x-4)^2 +\frac{17}{6}(\mathrm{或 } y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{3}{2})$.
(2)令 $y=0$,得 $-\frac{1}{12}(x-4)^2+\frac{17}{6}=0$,
解得 $x_1=4-\sqrt{34}$(舍去),$x_2=4+\sqrt{34}＜11.7$,
$\therefore$ 此球落在界内.
(3)令 $y=\frac{9}{4}$,即 $-\frac{1}{12}(x-4)^2+\frac{17}{6}=\frac{9}{4}$,
解得 $x_1=4-\sqrt{7}$(舍去),$x_2=4+\sqrt{7}$,
$\therefore m$ 的取值范围是 $5＜m＜4+\sqrt{7}$.
将点 $P(0,\frac{3}{2})$ 代入，得 $16a+\frac{17}{6}=\frac{3}{2}$，解得 $a=-\frac{1}{12}$.
$\therefore y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y = -\frac{1}{12}(x-4)^2 +\frac{17}{6}(\mathrm{或 } y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{3}{2})$.
(2)令 $y=0$,得 $-\frac{1}{12}(x-4)^2+\frac{17}{6}=0$,
解得 $x_1=4-\sqrt{34}$(舍去),$x_2=4+\sqrt{34}＜11.7$,
$\therefore$ 此球落在界内.
(3)令 $y=\frac{9}{4}$,即 $-\frac{1}{12}(x-4)^2+\frac{17}{6}=\frac{9}{4}$,
解得 $x_1=4-\sqrt{7}$(舍去),$x_2=4+\sqrt{7}$,
$\therefore m$ 的取值范围是 $5＜m＜4+\sqrt{7}$.
解析
【分析】
本题是二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：
(1) 已知羽毛球轨迹抛物线的顶点（最高点）坐标，选择顶点式设函数表达式，代入出手点P的坐标求解系数a，得到函数关系式；
(2) 球落地时高度y=0，令函数式中y=0，解一元二次方程得到水平距离，与场地边线距离11.7m比较，判断球的落点；
(3) 乙扣球最大高度为$\frac{9}{4}$m，令函数式中y=$\frac{9}{4}$，解对应的一元二次方程，结合球网位置（x=5）确定m的取值范围。
【解析】
(1) 设羽毛球高度y与水平距离x的函数表达式为顶点式：$y=a(x-4)^2+\frac{17}{6}$，
将点$P(0,\frac{3}{2})$代入，得：
$\frac{3}{2}=16a+\frac{17}{6}$，
解得$a=-\frac{1}{12}$，
因此函数表达式为$y=-\frac{1}{12}(x-4)^2+\frac{17}{6}$（或展开为$y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{3}{2}$）。
(2) 球落地时$y=0$，令$-\frac{1}{12}(x-4)^2+\frac{17}{6}=0$，
整理得$(x-4)^2=34$，
解得$x_1=4-\sqrt{34}$（舍去，距离为正），$x_2=4+\sqrt{34}\approx9.83$，
因为$9.83＜11.7$，所以此球落在界内。
(3) 令$y=\frac{9}{4}$，则$-\frac{1}{12}(x-4)^2+\frac{17}{6}=\frac{9}{4}$，
整理得$(x-4)^2=7$，
解得$x_1=4-\sqrt{7}$（舍去），$x_2=4+\sqrt{7}$，
结合球网横坐标为5，乙起跳点C的横坐标m需满足$5＜m＜4+\sqrt{7}$，此时球在C点高度高于扣球最大高度，导致接球失败。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{12}(x-4)^2+\frac{17}{6}$（或$y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{3}{2}$）；
(2) 界内；
(3) $5＜m＜4+\sqrt{7}$
【知识点】
二次函数的应用；抛物线顶点式；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题结合羽毛球比赛的实际场景，考查二次函数的解析式求解及实际应用，需注意根据实际意义舍去不符合的解，核心是掌握顶点式求解析式、利用函数与方程的关系解决实际问题。
【难度系数】
0.5
本题是二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：
(1) 已知羽毛球轨迹抛物线的顶点（最高点）坐标，选择顶点式设函数表达式，代入出手点P的坐标求解系数a，得到函数关系式；
(2) 球落地时高度y=0，令函数式中y=0，解一元二次方程得到水平距离，与场地边线距离11.7m比较，判断球的落点；
(3) 乙扣球最大高度为$\frac{9}{4}$m，令函数式中y=$\frac{9}{4}$，解对应的一元二次方程，结合球网位置（x=5）确定m的取值范围。
【解析】
(1) 设羽毛球高度y与水平距离x的函数表达式为顶点式：$y=a(x-4)^2+\frac{17}{6}$，
将点$P(0,\frac{3}{2})$代入，得：
$\frac{3}{2}=16a+\frac{17}{6}$，
解得$a=-\frac{1}{12}$，
因此函数表达式为$y=-\frac{1}{12}(x-4)^2+\frac{17}{6}$（或展开为$y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{3}{2}$）。
(2) 球落地时$y=0$，令$-\frac{1}{12}(x-4)^2+\frac{17}{6}=0$，
整理得$(x-4)^2=34$，
解得$x_1=4-\sqrt{34}$（舍去，距离为正），$x_2=4+\sqrt{34}\approx9.83$，
因为$9.83＜11.7$，所以此球落在界内。
(3) 令$y=\frac{9}{4}$，则$-\frac{1}{12}(x-4)^2+\frac{17}{6}=\frac{9}{4}$，
整理得$(x-4)^2=7$，
解得$x_1=4-\sqrt{7}$（舍去），$x_2=4+\sqrt{7}$，
结合球网横坐标为5，乙起跳点C的横坐标m需满足$5＜m＜4+\sqrt{7}$，此时球在C点高度高于扣球最大高度，导致接球失败。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{12}(x-4)^2+\frac{17}{6}$（或$y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{3}{2}$）；
(2) 界内；
(3) $5＜m＜4+\sqrt{7}$
【知识点】
二次函数的应用；抛物线顶点式；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题结合羽毛球比赛的实际场景，考查二次函数的解析式求解及实际应用，需注意根据实际意义舍去不符合的解，核心是掌握顶点式求解析式、利用函数与方程的关系解决实际问题。
【难度系数】
0.5
