知识点一 方差与标准差的定义
1. 离差平方和：$S^2=(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2$。
2. 方差：$s^2=$，其中$\overline{x}$为该组数据平均数。
3. 标准差：方差的算术平方根，记为$s$，即$s=\sqrt{s^2}$。

2. $\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$

【分析】
首先明确方差的作用是衡量一组数据的波动大小，题目已经给出离差平方和的表达式，离差平方和是所有数据与平均数差值的平方的总和，该总和的大小会受到数据个数n的影响。为了消除数据个数的影响，公平比较不同样本量的数据的波动情况，我们需要将离差平方和除以数据的总个数n，得到的平均值就是方差的表达式。
【解析】
根据方差的定义：方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数。
已知一组数据共有n个，平均数为$\overline{x}$，离差平方和为$(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2$，将离差平方和除以数据个数n，即可得到方差的表达式：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
【答案】
$\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
【知识点】
1.方差的定义
2.离差平方和的概念
【点评】
本题属于基础概念考察题，直接考查方差的定义式，是统计模块中方差相关计算的基础，熟练掌握该定义是后续分析数据离散程度的前提。
【难度系数】
0.9

知识点二 方差、标准差的统计意义
一组数据的方差、标准差越小，这组数据的波动，数据就；反之数据波动越大，稳定性越差。

一组数据的方差、标准差越小，这组数据的波动越小，数据就越稳定；反之数据波动越大，稳定性越差。

【分析】
解题时首先回忆方差、标准差的统计作用：二者是衡量一组数据波动程度的特征量。我们可以从其定义推导对应关系：方差是各数据与平均数差值的平方的平均数，若方差、标准差越小，说明多数数据和平均数的偏差越小，数据分布更集中，对应波动就更小，稳定性更强；结合题干给出的“反之数据波动越大，稳定性越差”的反向描述，就能直接推出空缺位置的内容。
【解析】
方差和标准差均用于反映数据的波动大小：
当一组数据的方差、标准差越小时，各数据与平均水平的偏差越小，因此数据的波动越小，数据就越稳定，与后半句的反向表述形成对应。
【答案】
越小；越稳定
【知识点】
方差的统计意义、标准差的统计意义、数据稳定性判断
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查对方差、标准差统计意义的理解，是统计部分的基础考点，熟练掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9

例1 已知样本数据1,2,3,4,5,求这个样本的：
(1)平均数$\bar{x}$；
(2)离差平方和$S^2$；
(3)方差$s^2$。
[点拨] (1)根据平均数的公式计算即可。
(2)根据离差平方和公式$S^2=(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2$进行计算即可。
(3)根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$进行计算即可。
[解] (1)$\bar{x}=\frac{1}{5}(1+2+3+4+5)=3$。
(2)$S^2=(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2=10$。
(3)$s^2=\frac{1}{5}[(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2]=2$。

解：
(1) $\bar{x} = \frac{1}{5}(1+2+3+4+5) = 3$。
(2) $S^2 = (1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2 = 4+1+0+1+4 = 10$。
(3) $s^2 = \frac{1}{5}[(1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2] = \frac{1}{5}×10 = 2$。

【分析】
本题考查基础统计量的计算，解题思路清晰：首先计算平均数，将所有样本数据相加求和，再除以数据的总个数即可得到平均数；接着计算离差平方和，先算出每个数据与平均数的差值，将每个差值平方后全部相加即可；最后计算方差，方差是离差平方和除以数据总个数，可直接利用第二问算出的离差平方和代入计算，运算时注意细心计算平方、加法，避免失误。
【解析】
(1) 根据平均数公式$\bar{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots+x_n)$，样本共有5个数据，代入得：
$\bar{x} = \frac{1}{5}(1+2+3+4+5) = 3$。
(2) 根据离差平方和公式$S^2=(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2$，代入平均数$\bar{x}=3$计算：
$S^2 = (1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2 = 4+1+0+1+4 = 10$。
(3) 根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，代入离差平方和的结果计算：
$s^2 = \frac{1}{5}×10 = 2$。
【答案】
(1) $\bar{x}=3$；(2) $S^2=10$；(3) $s^2=2$
【知识点】
平均数计算；离差平方和计算；方差计算
【点评】
本题属于统计基础题型，核心考查三个常见统计量的公式记忆与直接应用，运算难度低，只要准确掌握公式、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9

变式训练1 一组数据8,0,2,−4,4的平均数、离差平方和、方差等于多少？

解:平均数 $\overline{x}=\frac{8+0+2-4+4}{5}=2$，
离差平方和 $S^2=(8-2)^2+(0-2)^2+(2-2)^2+(-4-2)^2+(4-2)^2=80$，
方差 $s^2=\frac{1}{5}(36+4+36+4)=16$。

【分析】
本题需要依次计算平均数、离差平方和、方差三个统计量，解题思路按照三者的逻辑关联递进：①首先根据平均数的定义，先求出所有数据的总和，再除以数据的个数得到平均数，后两个统计量的计算都需要用到平均数；②其次根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数的差值，再对差值求平方，最后把所有平方值相加，即可得到离差平方和；③最后根据方差的定义，用离差平方和除以数据的个数，就能得到方差。计算过程中注意负数的平方运算符号不要出错。
【解析】
解：首先计算平均数，本组数据共有5个，数据总和为$8+0+2+(-4)+4=10$，
则平均数$\overline{x}=\frac{10}{5}=2$；
接下来计算离差平方和，即每个数据与平均数的差的平方之和：
$\begin{split}S&=(8-2)^2+(0-2)^2+(2-2)^2+(-4-2)^2+(4-2)^2\\&=36+4+0+36+4\\&=80\end{split}$；
最后计算方差，方差为离差平方和除以数据个数：
$s^2=\frac{80}{5}=16$。
【答案】
平均数为2，离差平方和为80，方差为16
【知识点】
平均数的计算；离差平方和的计算；方差的计算
【点评】
本题属于统计量计算的基础题，重点考查对三个统计量计算公式的掌握程度，计算时需注意负数运算的准确性，熟练掌握公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8

例2 甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm的零件，为了检验产品的质量，从加工的产品中各随机抽出6件进行测量，测得数据(单位:mm)如下：
甲机床:99,100,98,100,100,103；
乙机床:99,100,102,99,100,100。
(1)求上述两组数据的平均数及方差；
(2)根据(1)中的计算结果,哪一台机床加工这种零件更符合要求?
[点拨] (1)根据平均数的公式和方差的公式求解即可。
(2)方差反映了一组数据的波动程度,方差越大,波动性越大,故方差小的机床加工这种零件更符合要求。
[解] (1)$\overline{x}_甲 = 100 + \frac{1}{6}(-1 + 0 - 2 + 0 + 0 + 3)=100$，
$\overline{x}_乙 = 100 + \frac{1}{6}(-1 + 0 + 2 - 1 + 0 + 0)=100$。
$s^2_甲 = \frac{1}{6}[(99 - 100)^2 + (100 - 100)^2 + (98 - 100)^2 + (100 - 100)^2 + (100 - 100)^2 + (103 - 100)^2]=\frac{1}{6}(1 + 0 + 4 + 0 + 0 + 9)=\frac{7}{3}$，
$s^2_乙 = \frac{1}{6}[(99 - 100)^2 + (100 - 100)^2 + (102 - 100)^2 + (99 - 100)^2 + (100 - 100)^2 + (100 - 100)^2]=\frac{1}{6}(1 + 0 + 4 + 1 + 0 + 0)=1$。
(2)$\because \overline{x}_甲 = \overline{x}_乙, s^2_甲 ＞ s^2_乙$，
$\therefore$乙机床加工这种零件更符合要求。

解：
(1) 甲机床数据的平均数：
$\overline{x}_甲 = \frac{1}{6}×(99+100+98+100+100+103) = 100$
乙机床数据的平均数：
$\overline{x}_乙 = \frac{1}{6}×(99+100+102+99+100+100) = 100$
甲机床数据的方差：
$s^2_甲 = \frac{1}{6}[(99-100)^2+(100-100)^2+(98-100)^2+(100-100)^2+(100-100)^2+(103-100)^2]$
$=\frac{1}{6}×(1+0+4+0+0+9)=\frac{7}{3}$
乙机床数据的方差：
$s^2_乙 = \frac{1}{6}[(99-100)^2+(100-100)^2+(102-100)^2+(99-100)^2+(100-100)^2+(100-100)^2]$
$=\frac{1}{6}×(1+0+4+1+0+0)=1$
(2) $\because \overline{x}_甲 = \overline{x}_乙$，$s^2_甲 ＞ s^2_乙$，
$\therefore$ 乙机床加工这种零件更符合要求。

【分析】
(1) 求解两组数据的平均数时，可直接使用算术平均数公式：$\overline{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots+x_n)$，分别将甲、乙机床的6个测量数据代入计算即可。求解方差时，先使用得到的平均数，代入方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，分别计算两组数据的方差即可。
(2) 判断哪台机床更符合要求时，首先比较两组数据的平均数，若平均数相同，说明两台机床加工零件的平均直径均符合标准；再比较方差，方差反映数据的波动程度，方差越小说明零件直径的波动越小、加工质量越稳定，对应机床就更符合要求。
【解析】
(1) 计算甲机床数据的平均数：
$\overline{x}_甲 = \frac{1}{6}×(99+100+98+100+100+103) = 100$
计算乙机床数据的平均数：
$\overline{x}_乙 = \frac{1}{6}×(99+100+102+99+100+100) = 100$
计算甲机床数据的方差：
$s^2_甲 = \frac{1}{6}[(99-100)^2+(100-100)^2+(98-100)^2+(100-100)^2+(100-100)^2+(103-100)^2]$
$=\frac{1}{6}×(1+0+4+0+0+9)=\frac{7}{3}$
计算乙机床数据的方差：
$s^2_乙 = \frac{1}{6}[(99-100)^2+(100-100)^2+(102-100)^2+(99-100)^2+(100-100)^2+(100-100)^2]$
$=\frac{1}{6}×(1+0+4+1+0+0)=1$
(2) 由(1)的计算结果可知，$\overline{x}_甲 = \overline{x}_乙$，说明两台机床加工零件的平均直径都符合要求；又$s^2_甲 ＞ s^2_乙$，说明乙机床加工的零件直径波动更小，质量更稳定。
$\therefore$ 乙机床加工这种零件更符合要求。
【答案】
(1) 甲机床数据的平均数为100，方差为$\frac{7}{3}$；乙机床数据的平均数为100，方差为1；
(2) 乙机床加工这种零件更符合要求。
【知识点】
平均数的计算、方差的计算、方差的意义
【点评】
本题是统计类基础应用题，核心考查平均数、方差的计算方法，以及方差在实际生产中的应用，解题的关键是熟记相关公式，理解方差越小数据稳定性越高的性质。
【难度系数】
0.8