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9. 若二次函数 $ y = x^{2} - 2x - 3 $ 的图像上有且只有三个点到 $ x $ 轴的距离等于 $ m $，则 $ m $ 的值为
4
.答案
9. 4
解析
解：二次函数$y = x^{2} - 2x - 3$，可化为$y=(x - 1)^{2}-4$，其顶点坐标为$(1,-4)$，开口向上。
点到$x$轴的距离等于$m$，即$|y|=m$，$m＞0$。
当$y = m$时，方程$x^{2}-2x - 3=m$，即$x^{2}-2x-(3 + m)=0$，判别式$\Delta=4 + 4(3 + m)=4m + 16$，因为$m＞0$，所以$\Delta＞0$，此方程有两个不同实根，对应两个点。
当$y=-m$时，方程$x^{2}-2x - 3=-m$，即$x^{2}-2x-(3 - m)=0$，判别式$\Delta'=4 + 4(3 - m)=16 - 4m$。
要使图像上有且只有三个点到$x$轴的距离等于$m$，则$y=-m$对应的方程需有且仅有一个实根，即$\Delta'=0$，$16 - 4m=0$，解得$m = 4$。
$4$
点到$x$轴的距离等于$m$，即$|y|=m$，$m＞0$。
当$y = m$时，方程$x^{2}-2x - 3=m$，即$x^{2}-2x-(3 + m)=0$，判别式$\Delta=4 + 4(3 + m)=4m + 16$，因为$m＞0$，所以$\Delta＞0$，此方程有两个不同实根，对应两个点。
当$y=-m$时，方程$x^{2}-2x - 3=-m$，即$x^{2}-2x-(3 - m)=0$，判别式$\Delta'=4 + 4(3 - m)=16 - 4m$。
要使图像上有且只有三个点到$x$轴的距离等于$m$，则$y=-m$对应的方程需有且仅有一个实根，即$\Delta'=0$，$16 - 4m=0$，解得$m = 4$。
$4$
10. 若点 $ P(m,n) $ 在二次函数 $ y = x^{2} + 2x + 2 $ 的图像上，且点 $ P $ 到 $ y $ 轴的距离小于 2，则 $ n $ 的取值范围是
$ 1 ≤ n ＜ 10 $
.答案
10. $ 1 ≤ n ＜ 10 $
解析
因为点$P(m,n)$在二次函数$y = x^{2} + 2x + 2$的图像上，所以$n=m^{2}+2m+2$。
点$P$到$y$轴的距离小于$2$，即$|m| ＜ 2$，所以$-2 ＜ m ＜ 2$。
$n=m^{2}+2m+2=(m+1)^{2}+1$，抛物线开口向上，对称轴为$m=-1$。
当$m=-1$时，$n$取得最小值，$n_{min}=(-1+1)^{2}+1=1$。
当$m=2$时，$n=(2+1)^{2}+1=10$；当$m=-2$时，$n=(-2+1)^{2}+1=2$。因为$m$取不到$2$，所以$n ＜ 10$。
综上，$n$的取值范围是$1≤ n ＜ 10$。
点$P$到$y$轴的距离小于$2$，即$|m| ＜ 2$，所以$-2 ＜ m ＜ 2$。
$n=m^{2}+2m+2=(m+1)^{2}+1$，抛物线开口向上，对称轴为$m=-1$。
当$m=-1$时，$n$取得最小值，$n_{min}=(-1+1)^{2}+1=1$。
当$m=2$时，$n=(2+1)^{2}+1=10$；当$m=-2$时，$n=(-2+1)^{2}+1=2$。因为$m$取不到$2$，所以$n ＜ 10$。
综上，$n$的取值范围是$1≤ n ＜ 10$。
11. (2024·启东月考)若二次函数 $ y = ax^{2} + 2 $ 的图像经过 $ P(1,3) $，$ Q(m,n) $ 两点，则代数式 $ n^{2} - 4m^{2} - 4n + 9 $ 的最小值为
1
.答案
11. 1
解析
因为二次函数$y = ax^{2}+2$的图像经过$P(1,3)$，所以将$x = 1$，$y = 3$代入函数可得：$3=a×1^{2}+2$，解得$a = 1$，则二次函数解析式为$y=x^{2}+2$。
因为$Q(m,n)$在该函数图像上，所以$n=m^{2}+2$，即$m^{2}=n - 2$。
将$m^{2}=n - 2$代入代数式$n^{2}-4m^{2}-4n + 9$可得：
$\begin{aligned}n^{2}-4(n - 2)-4n + 9&=n^{2}-4n + 8 - 4n + 9\\&=n^{2}-8n + 17\\&=(n - 4)^{2}+1\end{aligned}$
因为$(n - 4)^{2}≥0$，所以$(n - 4)^{2}+1≥1$，即代数式的最小值为$1$。
1
因为$Q(m,n)$在该函数图像上，所以$n=m^{2}+2$，即$m^{2}=n - 2$。
将$m^{2}=n - 2$代入代数式$n^{2}-4m^{2}-4n + 9$可得：
$\begin{aligned}n^{2}-4(n - 2)-4n + 9&=n^{2}-4n + 8 - 4n + 9\\&=n^{2}-8n + 17\\&=(n - 4)^{2}+1\end{aligned}$
因为$(n - 4)^{2}≥0$，所以$(n - 4)^{2}+1≥1$，即代数式的最小值为$1$。
1
12. 点 $ D(n,y_{1}) $，$ E(3,y_{2}) $ 在抛物线 $ y = -x^{2} + 2x $ 上，若 $ y_{1} ＜ y_{2} $，则 $ n $ 的取值范围是
$ n ＞ 3 $ 或 $ n ＜ -1 $
.答案
12. $ n ＞ 3 $ 或 $ n ＜ -1 $
解析
解：抛物线$y = -x^2 + 2x$的对称轴为$x = -\frac{2}{2×(-1)} = 1$。
点$E(3, y_2)$关于对称轴$x = 1$的对称点为$(-1, y_2)$。
因为抛物线开口向下，所以当$y_1 ＜ y_2$时，点$D(n, y_1)$在点$E(3, y_2)$或其对称点$(-1, y_2)$的外侧。
即$n ＞ 3$或$n ＜ -1$。
$n ＞ 3$或$n ＜ -1$
点$E(3, y_2)$关于对称轴$x = 1$的对称点为$(-1, y_2)$。
因为抛物线开口向下，所以当$y_1 ＜ y_2$时，点$D(n, y_1)$在点$E(3, y_2)$或其对称点$(-1, y_2)$的外侧。
即$n ＞ 3$或$n ＜ -1$。
$n ＞ 3$或$n ＜ -1$
13. (2024·钟楼区月考)已知抛物线 $ y = x^{2} + (k - 1)x + 2 $.
(1)该抛物线经过一个定点：
(2)若抛物线的对称轴为直线 $ x = \frac{3}{2} $，求抛物线的函数表达式；
(3)在(2)的基础上，若 $ P(m,n) $ 为抛物线上一点，且 $ n ＞ 6 $，直接写出 $ m $ 的取值范围.
(1)该抛物线经过一个定点：
$ (0, 2) $
；(写出坐标)(2)若抛物线的对称轴为直线 $ x = \frac{3}{2} $，求抛物线的函数表达式；
(3)在(2)的基础上，若 $ P(m,n) $ 为抛物线上一点，且 $ n ＞ 6 $，直接写出 $ m $ 的取值范围.
答案
13. (1) $ (0, 2) $
(2) 解：$ \because $ 抛物线的对称轴为直线 $ x = \frac{1 - k}{2} = \frac{3}{2} $，$ \therefore k = -2 $，$ \therefore $ 抛物线的函数表达式为 $ y = x^{2} - 3x + 2 $。
(3) 解：$ \because P(m, n) $ 为抛物线上一点，当 $ n = 6 $ 时，$ m^{2} - 3m + 2 = 6 $，解得 $ m = -1 $ 或 $ m = 4 $。$ \because n ＞ 6 $，$ \therefore m ＜ -1 $ 或 $ m ＞ 4 $。
(2) 解：$ \because $ 抛物线的对称轴为直线 $ x = \frac{1 - k}{2} = \frac{3}{2} $，$ \therefore k = -2 $，$ \therefore $ 抛物线的函数表达式为 $ y = x^{2} - 3x + 2 $。
(3) 解：$ \because P(m, n) $ 为抛物线上一点，当 $ n = 6 $ 时，$ m^{2} - 3m + 2 = 6 $，解得 $ m = -1 $ 或 $ m = 4 $。$ \because n ＞ 6 $，$ \therefore m ＜ -1 $ 或 $ m ＞ 4 $。
14. 如图，抛物线 $ y = x^{2} - 3x + \frac{5}{4} $ 与 $ x $ 轴相交于 $ A $，$ B $ 两点，与 $ y $ 轴相交于点 $ C $，$ D $ 是直线 $ BC $ 下方抛物线上一点，过点 $ D $ 作 $ y $ 轴的平行线，与直线 $ BC $ 相交于点 $ E $.
(1)求直线 $ BC $ 的函数表达式；
(2)当线段 $ DE $ 的长度最大时，求点 $ D $ 的坐标.
(1)求直线 $ BC $ 的函数表达式；
(2)当线段 $ DE $ 的长度最大时，求点 $ D $ 的坐标.
答案
14. 解：(1) $ \because $ 抛物线 $ y = x^{2} - 3x + \frac{5}{4} $ 与 $ x $ 轴相交于 $ A $，$ B $ 两点，与 $ y $ 轴相交于点 $ C $，$ \therefore $ 令 $ y = 0 $，可得 $ x = \frac{1}{2} $ 或 $ x = \frac{5}{2} $，$ \therefore A(\frac{1}{2}, 0) $，$ B(\frac{5}{2}, 0) $。令 $ x = 0 $，则 $ y = \frac{5}{4} $，$ \therefore C(0, \frac{5}{4}) $。设直线 $ BC $ 的函数表达式为 $ y = kx + b $，则 $ \begin{cases} \frac{5}{2}k + b = 0, \\ b = \frac{5}{4}, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = -\frac{1}{2}, \\ b = \frac{5}{4}, \end{cases} $ $ \therefore $ 直线 $ BC $ 的函数表达式为 $ y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{4} $。
(2) 设点 $ D $ 的坐标为 $ (m, m^{2} - 3m + \frac{5}{4}) $，$ \therefore $ 点 $ E $ 的坐标为 $ (m, -\frac{1}{2}m + \frac{5}{4}) $。$ \because D $ 是直线 $ BC $ 下方抛物线上一点，$ \therefore DE = -\frac{1}{2}m + \frac{5}{4} - (m^{2} - 3m + \frac{5}{4}) = -m^{2} + \frac{5}{2}m $。$ \because -1 ＜ 0 $，$ \therefore $ 当 $ m = -\frac{\frac{5}{2}}{2 × (-1)} = \frac{5}{4} $ 时，线段 $ DE $ 的长度有最大值。此时 $ y_{D} = (\frac{5}{4})^{2} - 3 × \frac{5}{4} + \frac{5}{4} = -\frac{15}{16} $，$ \therefore $ 点 $ D $ 的坐标为 $ (\frac{5}{4}, -\frac{15}{16}) $。
(2) 设点 $ D $ 的坐标为 $ (m, m^{2} - 3m + \frac{5}{4}) $，$ \therefore $ 点 $ E $ 的坐标为 $ (m, -\frac{1}{2}m + \frac{5}{4}) $。$ \because D $ 是直线 $ BC $ 下方抛物线上一点，$ \therefore DE = -\frac{1}{2}m + \frac{5}{4} - (m^{2} - 3m + \frac{5}{4}) = -m^{2} + \frac{5}{2}m $。$ \because -1 ＜ 0 $，$ \therefore $ 当 $ m = -\frac{\frac{5}{2}}{2 × (-1)} = \frac{5}{4} $ 时，线段 $ DE $ 的长度有最大值。此时 $ y_{D} = (\frac{5}{4})^{2} - 3 × \frac{5}{4} + \frac{5}{4} = -\frac{15}{16} $，$ \therefore $ 点 $ D $ 的坐标为 $ (\frac{5}{4}, -\frac{15}{16}) $。
