1. (2024·姑苏区二模)若点 $ M(-2,y_{1}) $，$ N(-1,y_{2}) $，$ P(5,y_{3}) $ 在抛物线 $ y = x^{2} - 2x $ 上，则下列结论正确的是()

A.$ y_{1} ＜ y_{2} ＜ y_{3} $
B.$ y_{2} ＜ y_{1} ＜ y_{3} $
C.$ y_{3} ＜ y_{1} ＜ y_{2} $
D.$ y_{1} ＜ y_{3} ＜ y_{2} $

1. B

当$x=-2$时，$y_{1}=(-2)^{2}-2×(-2)=4 + 4=8$；
当$x=-1$时，$y_{2}=(-1)^{2}-2×(-1)=1 + 2=3$；
当$x=5$时，$y_{3}=5^{2}-2×5=25 - 10=15$。
因为$3＜8＜15$，所以$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$。
B

2. (2023·惠山区期中)若抛物线 $ y = x^{2} + 2x + c $ 与 $ y $ 轴的交点坐标为 $ (0,-3) $，则下列说法不正确的是()

A.抛物线开口向上
B.对称轴为直线 $ x = -1 $
C.当 $ x ＞ -1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减少
D.$ c $ 的值为 $ -3 $

2. C

∵抛物线$y = x^{2} + 2x + c$与$y$轴的交点坐标为$(0,-3)$，
∴将$x=0$，$y=-3$代入抛物线方程得：$-3 = 0^{2} + 2×0 + c$，解得$c=-3$，D正确；
抛物线方程为$y = x^{2} + 2x - 3$，其中二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，A正确；
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×1}=-1$，B正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为$x=-1$，
∴当$x ＞ -1$时，$y$随$x$的增大而增大，C不正确。
答案：C

3. (2024·包头)将抛物线 $ y = x^{2} + 2x $ 向下平移 2 个单位长度后，所得新抛物线的顶点式为()

A.$ y = (x + 1)^{2} - 3 $
B.$ y = (x + 1)^{2} - 2 $
C.$ y = (x - 1)^{2} - 3 $
D.$ y = (x - 1)^{2} - 2 $

3. A

将抛物线$y = x^{2} + 2x$化为顶点式：$y=(x+1)^{2}-1$。向下平移2个单位长度，顶点纵坐标减2，新抛物线顶点式为$y=(x+1)^{2}-1 - 2=(x+1)^{2}-3$。
A

4. 已知二次函数 $ y = x^{2} - 2mx + 4m - 8 $，当 $ x ＜ 2 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，则 $ m $ 的取值范围为.

4. $ m ≥ 2 $

解：二次函数$y = x^{2} - 2mx + 4m - 8$的对称轴为$x = -\frac{-2m}{2×1}=m$。
因为二次项系数$1＞0$，所以抛物线开口向上，当$x＜ m$时，$y$随$x$的增大而减小。
已知当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小，所以$m≥2$。
$m≥2$

5. (2024·扬州)如图，二次函数 $ y = -x^{2} + bx + c $ 的图像与 $ x $ 轴交于 $ A(-2,0) $，$ B(1,0) $ 两点.
(1)求 $ b $，$ c $ 的值；
(2)若点 $ P $ 在该二次函数的图像上，且 $ △ PAB $ 的面积为 6，求点 $ P $ 的坐标.

5. 解：(1) 把 $ A(-2,0) $，$ B(1,0) $ 代入 $ y = -x^{2} + bx + c $，得 $ \begin{cases} -4 - 2b + c = 0, \\ -1 + b + c = 0, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} b = -1, \\ c = 2. \end{cases} $
(2) 由(1)知二次函数的表达式为 $ y = -x^{2} - x + 2 $，设点 $ P $ 的坐标为 $ (m, -m^{2} - m + 2) $，$ \because △ PAB $ 的面积为 6，$ AB = 1 - (-2) = 3 $，$ \therefore S_{△ PAB} = \frac{1}{2}AB · |y_{P}| = \frac{1}{2} × 3 × | - m^{2} - m + 2| = 6 $，$ \therefore |m^{2} + m - 2| = 4 $，即 $ m^{2} + m - 2 = 4 $ 或 $ m^{2} + m - 2 = -4 $，解得 $ m = -3 $ 或 $ m = 2 $，$ \therefore $ 点 $ P $ 的坐标为 $ (-3, -4) $ 或 $ (2, -4) $。

6. (2023·大连)已知抛物线 $ y = x^{2} - 2x - 1 $，则当 $ 0 ≤ x ≤ 3 $ 时，函数的最大值为()

A.$ -2 $
B.$ -1 $
C.$ 0 $
D.$ 2 $

6. D

对于抛物线$y = x^{2}-2x - 1$，其对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$。
当$x = 0$时，$y=0^{2}-2×0 - 1=-1$；
当$x = 1$时，$y=1^{2}-2×1 - 1=-2$；
当$x = 3$时，$y=3^{2}-2×3 - 1=2$。
比较可得，当$0≤ x≤3$时，函数的最大值为$2$。
D

7. (2023·扬州)已知二次函数 $ y = ax^{2} - 2x + \frac{1}{2} $($ a $ 为常数，且 $ a ＞ 0 $)，下列结论：①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；④当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大. 其中所有正确结论的序号是()

A.①②
B.②③
C.②
D.③④

7. B

对于二次函数$y = ax^{2}-2x+\frac{1}{2}$（$a＞0$）：
结论①：抛物线开口向上，对称轴为$x = \frac{1}{a}＞0$，与$y$轴交于$(0,\frac{1}{2})$。当$x$足够小时，$y$可能为正，图像不一定经过第四象限，①错误。
结论②：因$a＞0$，抛物线开口向上，对称轴在$y$轴右侧，与$y$轴交点$(0,\frac{1}{2})$在正半轴，图像一定不经过第三象限，②正确。
结论③：对称轴$x=\frac{1}{a}＞0$，当$x＜0$时，在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小，③正确。
结论④：当$0＜x＜\frac{1}{a}$时，$y$随$x$的增大而减小，④错误。
正确结论的序号是②③。
B

8. (2023·内蒙古)已知二次函数 $ y = -ax^{2} + 2ax + 3 $($ a ＞ 0 $)，若点 $ P(m,3) $ 在该函数的图像上，且 $ m ≠ 0 $，则 $ m $ 的值为.

8. 2

解：因为点$P(m,3)$在二次函数$y = -ax^{2} + 2ax + 3$的图像上，所以将$P(m,3)$代入函数可得：
$3=-a{m}^{2}+2am+3$
移项得：$-a{m}^{2}+2am=0$
提取公因式$-am$得：$-am(m - 2)=0$
因为$a＞0$，所以$-a≠0$，则$m(m - 2)=0$
解得$m=0$或$m=2$
又因为$m≠0$，所以$m=2$