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一、选择题(每小题5分,共25分)
1. (2024·镇江二模)关于二次函数 $ y=(x - 3)^2 + 2 $，下列说法正确的是(
A.函数图像的开口向下
B.函数图像的顶点坐标是 $ (-3,2) $
C.该函数有最大值，最大值是2
D.当 $ x＞3 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
1. (2024·镇江二模)关于二次函数 $ y=(x - 3)^2 + 2 $，下列说法正确的是(
D
)A.函数图像的开口向下
B.函数图像的顶点坐标是 $ (-3,2) $
C.该函数有最大值，最大值是2
D.当 $ x＞3 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
答案
1.D
2. (2023·广西)将抛物线 $ y = x^2 $ 先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的函数表达式是(
A.$ y=(x - 3)^2 + 4 $
B.$ y=(x + 3)^2 + 4 $
C.$ y=(x - 3)^2 - 4 $
D.$ y=(x + 3)^2 - 4 $
A
)A.$ y=(x - 3)^2 + 4 $
B.$ y=(x + 3)^2 + 4 $
C.$ y=(x - 3)^2 - 4 $
D.$ y=(x + 3)^2 - 4 $
答案
2.A
解析
抛物线平移规律：向左平移加，向右平移减，向上平移加，向下平移减。
原抛物线为$y = x^2$，向右平移3个单位长度得$y=(x - 3)^2$，再向上平移4个单位长度得$y=(x - 3)^2 + 4$。
A
原抛物线为$y = x^2$，向右平移3个单位长度得$y=(x - 3)^2$，再向上平移4个单位长度得$y=(x - 3)^2 + 4$。
A
3. (2024·苏州月考)若抛物线 $ y = x^2 + ax + 1 $ 的顶点在 $ y $ 轴上，则 $ a $ 的值为(
A.2
B.1
C.0
D.$ -2 $
C
)A.2
B.1
C.0
D.$ -2 $
答案
3.C
解析
抛物线$y = x^2 + ax + 1$的对称轴为直线$x=-\dfrac{a}{2×1}=-\dfrac{a}{2}$。
因为顶点在$y$轴上，所以对称轴为$x=0$，即$-\dfrac{a}{2}=0$，解得$a=0$。
C
因为顶点在$y$轴上，所以对称轴为$x=0$，即$-\dfrac{a}{2}=0$，解得$a=0$。
C
4. (2024·眉山)定义运算：$ a\otimes b=(a + 2b)(a - b) $，例如 $ 4\otimes 3=(4 + 2× 3)(4 - 3) $，则函数 $ y=(x + 1)\otimes 2 $ 的最小值为(
A.$ -21 $
B.$ -9 $
C.$ -7 $
D.$ -5 $
B
)A.$ -21 $
B.$ -9 $
C.$ -7 $
D.$ -5 $
答案
4.B
解析
由定义运算 $a\otimes b=(a + 2b)(a - b)$，得
$y=(x + 1)\otimes 2$
$=(x + 1 + 2×2)(x + 1 - 2)$
$=(x + 5)(x - 1)$
$=x^2 + 4x - 5$
配方得：
$y=(x + 2)^2 - 9$
因为 $(x + 2)^2 ≥ 0$，所以当 $x = -2$ 时，$y$ 取最小值 $-9$。
答案：B
$y=(x + 1)\otimes 2$
$=(x + 1 + 2×2)(x + 1 - 2)$
$=(x + 5)(x - 1)$
$=x^2 + 4x - 5$
配方得：
$y=(x + 2)^2 - 9$
因为 $(x + 2)^2 ≥ 0$，所以当 $x = -2$ 时，$y$ 取最小值 $-9$。
答案：B
5. (2024·姑苏区二模)如图，平面直角坐标系中有一张透明纸片，透明纸片上有抛物线 $ y = x^2 $ 及一点 $ P(2,4) $。若将此透明纸片向右、向上移动后，得抛物线的顶点为 $ (7,2) $，则此时点 $ P $ 的坐标是(
A.$ (9,4) $
B.$ (9,6) $
C.$ (10,4) $
D.$ (10,6) $
B
)A.$ (9,4) $
B.$ (9,6) $
C.$ (10,4) $
D.$ (10,6) $
答案
5.B
解析
解：原抛物线$y = x^2$的顶点为$(0,0)$，移动后抛物线的顶点为$(7,2)$，则抛物线向右平移了$7 - 0 = 7$个单位，向上平移了$2 - 0 = 2$个单位。
点$P(2,4)$同样向右平移7个单位，向上平移2个单位，平移后点$P$的坐标为$(2 + 7, 4 + 2) = (9,6)$。
答案：B
点$P(2,4)$同样向右平移7个单位，向上平移2个单位，平移后点$P$的坐标为$(2 + 7, 4 + 2) = (9,6)$。
答案：B
二、填空题(每小题5分，共25分)
6. (2023·宜兴一模)请写出一个函数的表达式，使其图像是以直线 $ x = -2 $ 为对称轴，开口向上的抛物线：
6. (2023·宜兴一模)请写出一个函数的表达式，使其图像是以直线 $ x = -2 $ 为对称轴，开口向上的抛物线：
$y=(x+2)^{2}$(答案不唯一)
。答案
6.$y=(x+2)^{2}$(答案不唯一)
7. 若函数 $ y=(m + 1)x^2 - x + m(m + 1) $ 的图像经过原点，则 $ m $ 的值为
0或 - 1
。答案
7.0或 - 1
解析
解：因为函数图像经过原点$(0,0)$，将$x=0$，$y=0$代入函数$y=(m + 1)x^2 - x + m(m + 1)$，得：
$0=(m + 1)×0^2 - 0 + m(m + 1)$
即$m(m + 1)=0$
解得$m=0$或$m=-1$
当$m=-1$时，函数为$y=0× x^2 - x + (-1)×0=-x$，是一次函数，图像经过原点，符合题意；
当$m=0$时，函数为$y=(0 + 1)x^2 - x + 0×1=x^2 - x$，是二次函数，图像经过原点，符合题意。
综上，$m$的值为$0$或$-1$。
$0=(m + 1)×0^2 - 0 + m(m + 1)$
即$m(m + 1)=0$
解得$m=0$或$m=-1$
当$m=-1$时，函数为$y=0× x^2 - x + (-1)×0=-x$，是一次函数，图像经过原点，符合题意；
当$m=0$时，函数为$y=(0 + 1)x^2 - x + 0×1=x^2 - x$，是二次函数，图像经过原点，符合题意。
综上，$m$的值为$0$或$-1$。
8. (2023·仪征模拟)已知点 $ (1,m) $，$ (2,n) $ 在二次函数 $ y = ax^2 + 2ax + 3 $($ a $ 为常数)的图像上. 若 $ a＜0 $，则 $ m $
＞
$ n $。(填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)答案
8.＞
解析
二次函数$y = ax^2 + 2ax + 3$的对称轴为$x=-\frac{2a}{2a}=-1$。
因为$a＜0$，所以抛物线开口向下，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小。
点$(1,m)$，$(2,n)$都在对称轴$x=-1$的右侧，且$1＜2$，所以$m＞n$。
＞
因为$a＜0$，所以抛物线开口向下，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小。
点$(1,m)$，$(2,n)$都在对称轴$x=-1$的右侧，且$1＜2$，所以$m＞n$。
＞
9. 如图，抛物线 $ y = x^2 $ 经过平移得到抛物线 $ y = x^2 - 4x $，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为
8
。答案
9.8
解析
解：将抛物线$y = x^2 - 4x$配方得$y=(x - 2)^2 - 4$，其对称轴为直线$x = 2$。
设$y_1 = x^2$，$y_2=(x - 2)^2 - 4$，则两抛物线的交点为$O(0,0)$。
阴影部分面积$S=\int_{0}^{2}[y_1 - y_2]dx=\int_{0}^{2}[x^2 - ((x - 2)^2 - 4)]dx$
$=\int_{0}^{2}(x^2 - (x^2 - 4x + 4 - 4))dx=\int_{0}^{2}4xdx$
$=2x^2\big|_{0}^{2}=2×2^2 - 0 = 8$。
8
设$y_1 = x^2$，$y_2=(x - 2)^2 - 4$，则两抛物线的交点为$O(0,0)$。
阴影部分面积$S=\int_{0}^{2}[y_1 - y_2]dx=\int_{0}^{2}[x^2 - ((x - 2)^2 - 4)]dx$
$=\int_{0}^{2}(x^2 - (x^2 - 4x + 4 - 4))dx=\int_{0}^{2}4xdx$
$=2x^2\big|_{0}^{2}=2×2^2 - 0 = 8$。
8
10. (2024·鼓楼区模拟)已知点 $ A(m,y_1) $，$ B(m + 2,y_2) $，$ C(x_0,y_0) $ 在二次函数 $ y = ax^2 + 4ax + c(a≠ 0) $ 的图像上，且 $ C $ 为抛物线的顶点. 若 $ y_0≥ y_2＞y_1 $，则 $ m $ 的取值范围是
$m ＜ - 3$
。答案
10.$m ＜ - 3$
解析
解：二次函数$y = ax^2 + 4ax + c$的对称轴为$x=-\frac{4a}{2a}=-2$，顶点$C$的横坐标$x_0=-2$。
因为$y_0≥ y_2＞y_1$，抛物线开口向下，即$a＜0$。
点$A(m,y_1)$到对称轴距离为$|m - (-2)| = |m + 2|$，点$B(m + 2,y_2)$到对称轴距离为$|(m + 2) - (-2)| = |m + 4|$。
由$y_2＞y_1$得$|m + 4|＜|m + 2|$，两边平方：$(m + 4)^2＜(m + 2)^2$，展开得$m^2 + 8m + 16＜m^2 + 4m + 4$，化简得$4m＜-12$，即$m＜-3$。
又因为$y_0≥ y_2$恒成立（顶点为最值点），所以$m$的取值范围是$m＜-3$。
$m＜-3$
因为$y_0≥ y_2＞y_1$，抛物线开口向下，即$a＜0$。
点$A(m,y_1)$到对称轴距离为$|m - (-2)| = |m + 2|$，点$B(m + 2,y_2)$到对称轴距离为$|(m + 2) - (-2)| = |m + 4|$。
由$y_2＞y_1$得$|m + 4|＜|m + 2|$，两边平方：$(m + 4)^2＜(m + 2)^2$，展开得$m^2 + 8m + 16＜m^2 + 4m + 4$，化简得$4m＜-12$，即$m＜-3$。
又因为$y_0≥ y_2$恒成立（顶点为最值点），所以$m$的取值范围是$m＜-3$。
$m＜-3$
