1.某工厂生产一批漏斗，工人师傅要把一块矩形铁皮加工成底面圆的半径为20 cm、高为$40\sqrt{2}$ cm的圆锥形漏斗，并且要求只有一条接缝（接缝忽略不计）.请问：选长、宽分别为多少的矩形铁皮（如图所示），才能最节约成本（即用料最少）？

1. 解 根据圆锥的底面圆半径为 20 cm,高为$40\sqrt{2}$ cm,得侧面展开扇形的半径为$\sqrt{(40\sqrt{2})^2+20^2}=60(\mathrm{cm})$,弧长为 $2π×20=40π(\mathrm{cm}).$
∴扇形的圆心角为$\frac{40π×180°}{π×60}=120°.$
如图,在矩形铁皮内画出一半径为 60 cm,圆心角为$120°$的扇形.
在矩形 ABCD 中,$∠B=90°,∠AFG=120°,AD=AF=FG=60$ cm.
∴$∠FGB=∠AFG-∠B=120°-90°=30°.$
∴$FB=\frac{1}{2}FG=30$ cm.
∴$AB=AF+FB=60+30=90(\mathrm{cm}).$
∴选长为 90 cm,宽为 60 cm 的矩形铁皮才能最节约成本.

2. 释迦果,又名佛头果,原产于热带美洲,多栽种于热带地区,如:我国云南南部、海南、广东、广西、福建等地.它含有大量的蛋白质及各种人体必需的矿物质和营养元素.某水果店打算采购一批达到最佳赏味期的释迦果,释迦果批发商提供如下三种配货方案:

批发商根据店铺需求进行配送,配送一次收取100元“配送服务费”,配送时间忽略不计.释迦果的存放时间会影响口感,某水果店针对品质进行如下分类.从释迦果到店日起,存放10天内(含10天)的释迦果按“精品释迦果”出售,存放11～30天的释迦果按“特价释迦果”出售,剩余还未售完的释迦果全部由释迦果干加工厂回收,各品类具体标价如下表:

(1)若店长按方案A采购,该店每售出一个“精品释迦果”盈利元;
(2)若日均售出20个释迦果.对于店长提出的“售出400个释迦果”目标,一位店员提出了两种策略.
策略一:按方案B采购;
策略二:按方案A采购,待释迦果售空后,再次按方案A采购.
从利润最大化的角度判断,你认为哪种策略较好?并说明理由;
(3)该水果店按方案C采购一批释迦果进店销售,日均售出20个释迦果.这批释迦果的总利润为6 500元,试求方案C中x的值.

2. 解 (1) 9.5
(2) 策略一比较好.
理由:按策略一采购的利润为$(30-20×0.9)×20×10+(26-20×0.9)×10×20-100=3900$(元).
按策略二采购的利润为$2×(30-20)×20×10-2×100=3800$(元).
∵$3900＞3800$,
∴策略一比较好.
(3)按方案C采购的进价为$20×0.8=16$(元).
由题意,得$(30-16)×20×10+20×20×(26-16)+(15-16)(x-600)-100=6500$,解得$x=800$.
答:方案C中x的值为800.