3. 活动与探究
解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的？
蜜蜂的“集体宿舍”是由多个正六边形密铺在一起的，这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙，一点儿也不浪费空间。这是数学中的密铺（或镶嵌）问题。平面图形的密铺（或镶嵌）是指用形状、大小完全相同的一种或多种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。
探究一:若只用一种正多边形,哪些正多边形可以密铺？
平面图形 | 每个内角的度数 | 能否整除 | 能否密铺
--- | --- | --- | ---
正三角形 | $60°$ | $360°÷60°=6$ | 能
正方形 | ① | ② | 能
正五边形 | $108°$ | $360°÷108°=\frac{10}{3}$ | 不能
正六边形 | $120°$ | $360°÷120°=3$ | 能
正七边形 | $\frac{900°}{7}$ | $360°÷\frac{900°}{7}=\frac{14}{5}$ | 不能
正八边形 | $135°$ | ③ | ④
… | … | … | …
(1)请补全上述表格①；②；③；④。
探究二:在能密铺的正多边形中,哪种形状最省材料？
数学视角:蜜蜂的身体可近似看成圆柱,若圆柱底面半径为1,当蜂房恰好容纳一只蜜蜂(正多边形的内切圆半径均为1)时,比较正三角形,正方形和正六边形周长的大小。
观察图1,发现$\odot O$是正三角形ABC的内切圆,与AC切于点D,$OD⊥ AD$,
$∠ OAD=30°,OD=1$,在$Rt△ ADO$中,$AD=\sqrt{3}$,则$△ ABC$的周长为$6\sqrt{3}$.
(2)如图2,正方形ABCD的周长为；
(3)如图3,求出正六边形的周长(写出求解过程).
探究三:在能密铺的正多边形中,哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大？
数学视角:假设蜜蜂建造蜂房的材料总量(即周长)一定,比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小.
(4)若正多边形的周长都为12,则正三角形的面积为；正方形的面积为；正六边形的面积为.
【得出结论】
综上所述:在相同条件下,正六边形结构最省材料,能使蜜蜂的活动空间最大,是建造蜂房的最优方案.

3. 解 (1)①$90°$ ②$360°÷90°=4$ ③$360°÷135°=\frac{8}{3}$ ④不能
(2) 8
(3) 如图,设 AB 切$\odot O$于点G,连接OG,OA,OB,则$OG⊥AB$,$OA=OB$.
∴$AG=BG=\frac{1}{2}AB$.
∵$∠AOB=\frac{360°}{6}=60°$,
∴$∠AOG=\frac{1}{2}∠AOB=30°$,
∴$OA=2AG$.
∵$AG^2+OG^2=OA^2$,
∴$AG=\frac{\sqrt{3}}{3}OG=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴$AB=\frac{2\sqrt{3}}{3}$,正六边形的周长为$4\sqrt{3}$.
(4)$4\sqrt{3}$ 9 $6\sqrt{3}$